21.2.4 一元二次方程根与系数的关系专题练习2024-2025学年人教版数学九年级上册

一元二次方程根与系数的关系 ✮根与系数的关系：若一元二次方程（a、b、c为常数，）的两根为，，则，．注意它的使用条件为，， . 解读：（1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q=0的两根时，x1+x2=-p，x1x2=q，反过来可得p=-（x1+x2），q=x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数． （2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=−，x1x2= 常用变形技巧： ①；②； ③；④； ⑤；⑥； ⑦； ✮根与系数的关系（韦达定理）主要应用于以下几个方面： ①已知方程的一个根，求另一个根以及确定方程参数的值； ②已知方程，求关于方程的两根的代数式的值； ③已知方程的两根，求作方程； ④结合根的判别式，讨论根的符号特征； ⑤逆用构造一元二次方程辅助解题：当已知等式具有相同的结构时，就可以把某两个变元看作某个一元二次方程的两根，以便利用韦达定理； ⑥利用韦达定理求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的．一些考试中，往往利用这一点设置陷阱． ⑦在的条件下，我们有如下结论： 当时，方程的两根必一正一负．若，则此方程的正根不小于负根的绝对值；若，则此方程的正根小于负根的绝对值． 当时，方程的两根同正或同负．若，则此方程的两根均为正根；若，则此方程的两根均为负根 一、单选题 1．已知一元二次方程有两根，分别为，，则、的值分别为（    ） A． B． C． D． 2．已知，是方程的两个根，则代数式的值为（   ） A． B． C． D． 3．若，是方程的两个根，则（    ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 4．已知一元二次方程的两根分别为，则的值为（    ） A． B． C． D． 5．关于的方程的两个根，满足，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 6．已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程的两个根，则这个直角三角形的斜边上的高是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 7．已知，是方程的两个根，则 ． 8．若a，b是两个不相等的实数，且满足，，则代数式的值为 ． 9．已知，是方程的两个实数根，则的值为 ； 10．关于的方程，当 时，两根互为倒数；当 时，两根互为相反数． 11．关于x的一元二次方程的两根为，，则关于x的方程的两根为 ． 12．已知α，β是关于x的一元二次方程两个实根，且满足，则m的值为 ． 三、解答题 13．已知关于的方程的两个根，求： (1) (2)的值． 14．已知，是关于的方程的两个实数根． (1)求的取值范围； (2)若，求的值． 15．已知关于的一元二次方程有实数根． (1)求实数k的取值范围． (2)设方程的两个实数根分别为，若，求k的值． 16．已知是关于x的一元二次方程的两个实数根． (1)若，求m的值． (2)已知等腰的一个边长为7，若恰好是另外两边的边长，求这个三角形的周长． 17．如果，是一元二次方程的两根，那么有，，这是一元二次方程根与系数的关系，我们利用它可以用来解题． 例：，是方程的两根，求的值．解法可以这样：，，则，请你根据以上解法解答下题： 题目：已知，是方程的两根，求： (1)的值； (2)的值． 18．已知关于x的方程． (1)求证：无论k取什么实数值，这个方程总有实数根； (2)能否找到一个实数k，使方程的两实数根互为相反数？若能找到，求出k的值；若不能，请说明理由． (3)当等腰三角形的边长，另两边的长b、c恰好是这个方程的两根时，求的周长． 19．“新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求现学现用，更多的考查阅读理解能力、应变能力和创新能力． 定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中a、b、c均不为 0．请根据此定义解决下列问题： (1)方程的倒方程是 ． (2)若是的倒方程的解，求出c的值； (3)若m，n是一元二次方程的倒方程的两个不相等的实数根，求代数式的值． 20．阅读与思考 阅读材料并解决下列问题： 材料1 若一元二次方程的两根为，则，． 材料2 已知实数m，n满足，且，求的值． 解：由题知m，n是方程的两个不相等的实数根，根据材料1，得，， ． 根据上述材料解决下面的问题： (1)一元二次方程的两根为，，则_________，_________． (2)已知实数m，n满足，且，求的值． (3)已知实数p，q满足，且，求的值 参考答案： 1．D 【详解】解：一元二次方程的两根分别为，， ，， ，， 故选：D． 2．D 【详解】解：，是方程的两个根， ，， ， 将，代入得：原式， 代数式的值为， 故选：D． 3．B 【详解】解：∵，是方程的两个根， ∴， 由得：， ∴． 故选：B． 4．A 【详解】解：∵一元二次方程的两根分别为， ∴，， ∴， 故选：． 5．C 【详解】解：方程的两个根，， ，， ， ，， ，， ， 解得：，， ， ， 解得：，故， 故选：C. 6．D 【详解】解：设直角三角形的两直角边分别为、，斜边上的高为， ∵一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程的两个根， ∴，， ∴直角三角形斜边长为， ∴，， ∴， 解得：， 这个直角三角形的斜边上的高是， 故选：． 7． 【详解】解：∵，是方程的两个根， ∴，，， ∴ 故答案为：． 8．4 【详解】解：∵a，b是两个不相等的实数，且满足，， ∴a，b是方程的两个根， ∴， ∵， ∴， ∴， ， 故答案为：4． 9．9 【详解】解：由题意得：，， 且， ， ， 故原式， 故答案为：． 10． 1 【详解】解：设方程两个为， 两根互为倒数，则，解得，此时方程为，即，满足，此时方程有两个不相等的实数根， ∴符合题意； 两根互为相反数，则，解得或， 当时，原方程变形为，此方程没有实数根； ∴时，原方程变形为，此方程有两个实数根； ∴符合题意， 故答案为：1，． 11．， 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的两根为，， ∴，， ∴， ∴方程可以化为， 整理得：， 解得：，， 故答案为：，． 12． 【详解】∵一元二次方程有两个实数根α，β． ∴， 解之得且， 而，， 又， ∴， 解之得， 经检验都是原方程的根． ∵， ∴不合题意，舍去， ∴m的值为． 故答案为：． 13．(1)； (2)． 【详解】（1）解：∵关于的方程的两个根，， ∴，， ∴； （2）解：∵关于的方程的两个根，， ∴，， ∴； 14．(1)，且 (2) 【详解】（1）解：∵，是关于的方程的两个实数根， ∴，， 解得：，且； （2）解：∵，是关于的方程的两个实数根， ∴，， ∵， ∴， 整理得：， 解得：或， ∵， ∴． 15．(1) (2) 【详解】（1）解：∵一元二次方程有实数根． ∴，即， 解得：； （2）解：∵关于x的一元二次方程的两个实数根分别为， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：． 16．(1)5 (2)17 【详解】（1）解：根据题意得：，解得， ，， ，即， ， 解得，， 而， 的值为5； （2）解：当腰长为7时，则是一元二次方程的一个解， 把代入方程得， 整理得，解得，， 当时，，解得，而，故舍去； 当时，，解得，则三角形周长为； 当7为等腰三角形的底边时，则，所以，方程化为，解得，则，故舍去， 所以这个三角形的周长为17． 17．(1)8 (2)6 【详解】（1）解：是方程的两根， 可变形为：， ， ； （2）由（1）可知：， ． 18．(1)证明见解析 (2)能找到， (3)9 【详解】（1）证明：方程表达式为， 又                   无论k取什么实数值，这个方程总有实数根； （2）解：能找到，            设两根分别为，， 由题意要使方程的两实数根互为相反数，则， ， ； （3）解：当时，则，即，则， 此时方程为，解得， 则等腰三角形三边分别为4，1 ，1， ，不能构成三角形， 故舍去；     当时，假设或，由题意可知4是原方程的解， ， ， 原方程为，解得，， 则等腰三角形三边分别，4，4，1，能构成三角形， 所以三角形的周长为． 19．(1) (2) (3) 【详解】（1）解：方程的倒方程是； （2）解：由题意得：方程的倒方程为， 把代入方程得 ：， ∴ （3）由题意得：方程的倒方程为， ∵m，n是方程的两个实数根， ∴， ， ∴ ∴ ； 20．(1)， (2) (3) 【详解】（1）解：由题意得 ， ， 故答案：，； （2）解：由题知m，n是方程的两个不相等的实数根，根据材料1，得 ，， ； （3）解：， ， ， ， 、是方程的两个不相等的实数根， ，， ， ， 学科网（北京）股份有限公司 $$