2.2直线的方程（13大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（人教A版2019选择性必修第一册）

2.2直线的方程 题型一 直线的点斜式方程 1．（21-22高二上·广东湛江·期中）经过点，倾斜角为的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由倾斜角得到直线的斜率，再利用直线的点斜式方程得到直线方程. 【详解】因为直线的倾斜角为，所以斜率， 又因为直线过点，所以直线的点斜式方程为，即. 故选：B. 2．（23-24高二下·四川成都·开学考试）过点，且倾斜角为的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据倾斜角为的直线的方程形式，即可得到正确选项. 【详解】因为过点的直线倾斜角为，即直线垂直于轴， 所以直线方程为， 故选：A. 3．（24-25高二上·上海·课后作业）已知直线经过点，且倾斜角等于直线的倾斜角的一半，则直线的点斜式方程为 ． 【答案】 【分析】由直线可知该直线的斜率，由斜率计算出倾斜角，可得直线的倾斜角，继而可得直线的斜率，即可得出直线的点斜式方程. 【详解】设直线的倾斜角为， 则斜率，又，故， 设直线的的倾斜角为，则， 直线的斜率， 又直线经过点， 则直线的点斜式方程为：. 故答案为：. 4．（24-25高二上·上海·课堂例题）已知直线过点，且倾斜角的正弦值为，此直线方程为 ． 【答案】 【分析】根据同角三角函数的基本关系求出斜率，然后由点斜式可得. 【详解】记直线倾斜角为，由题知， 所以，所以， 由点斜式方程可得，即. 故答案为： 5. （24-25高二上·全国·单元测试）若直线l过点，且倾斜角是直线的倾斜角的一半，则直线l的方程为 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用二倍角的正切公式求出直线l的斜率，再利用直线的点斜式方程求出方程. 【详解】设直线的倾斜角为，则，显然， 由，得，而，解得， 所以直线l的斜率为3，方程为，即. 故答案为：. 题型二 直线的斜截式方程 1．（2024高二下·上海·专题练习）已知两点、，则直线的斜截式方程是 ． 【答案】 【分析】直接利用两点的坐标求出直线的方程，进一步转换为斜截式． 【详解】已知两点、，故直线的斜率， 则方程为：，整理得， 转化为直线的斜截式为． 故答案为：． 2．（24-25高二上·上海·课堂例题）已知的三个顶点分别为、、，求边上的中线所在直线的斜截式方程． 【答案】 【分析】首先求出边上的中点的坐标，再求出，即可求出直线的方程. 【详解】因为、，所以边上的中点， 而，所以，所以所在直线的斜截式方程为． 3．（2023高二上·江苏·专题练习）已知直线的倾斜角为，与轴的交点到坐标原点的距离为，求直线的斜截式方程. 【答案】或 【分析】求出直线的斜率及其在轴上的截距，即可得出直线的斜截式方程. 【详解】解：因为直线的倾斜角为，则直线的斜率为， 因为直线与轴的交点到坐标原点的距离为， 所以，直线在轴上的截距为， 故直线的斜截式方程为或. 4．（23-24高二上·山西太原·期中）已知的三个顶点，分别是的中点． (1)求直线的一般式方程； (2)求边的垂直平分线的斜截式方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求得的坐标，进而求得直线的方程并转化为一般式方程. （2）求得垂直平分线的斜率，进而求得其斜截式方程. 【详解】（1）由于分别是的中点，所以， 所以，直线的方程为，即. （2），所以边的垂直平分线的斜率为， 所以边的垂直平分线的斜截式方程为.    5. （23-24高二上·全国·课后作业）与直线垂直，且在y轴上的截距为4的直线的斜截式方程为 ；它与y轴的交点为 . 【答案】 【分析】根据与直线垂直，求出斜率，再根据在y轴上的截距为4，求出直线方程. 【详解】设所求直线斜率为k，则， 即，又在y轴上的截距为4， 则直线为，与y轴交点为. 故答案为：；. 题型三 直线的两点式方程 1．（24-25高二上·全国·课后作业）直线的一个方向向量为，且经过点，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】方法一：由直线的方向量求出直线斜率，然后利用点斜式可求出直线方程；方法二：由已知可得直线的一个法向量为，则设直线为，再将代入求出，从而可得直线方程. 【详解】方法一  ∵直线的一个方向向量为，∴， ∴直线的方程为，即． 方法二  由题意知直线的一个法向量为， ∴直线的方程可设为，将点代入得， 故所求直线的方程为． 故选：B 2．（22-23高二上·云南临沧·阶段练习）直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将直线方程化成斜截式方程，得到斜率，再求出其倾斜角即可. 【详解】直线整理得，设直线倾斜角为，则，由于，故. 故选:C. 3．（23-24高二上·全国·课后作业）已知直线的倾斜角为，且在轴上的截距为，则直线的一般式方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由斜截式方程求解即可. 【详解】由直线的倾斜角可得直线的斜率， 所以直线的方程为，即直线的一般方程为：. 故选：D. 4．（23-24高二下·云南·开学考试）已知直线的倾斜角与直线的倾斜角互补，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直线方程求出直线的斜率，进而求出倾斜角，最后得出答案. 【详解】直线的斜率为，所以倾斜角为， 因为直线的倾斜角与直线的倾斜角互补，所以. 故选：B. 5．（22-23高二下·上海闵行·期末）若直线的倾斜角为且在轴上的截距为，则直线的一般方程是 . 【答案】 【分析】根据题意，求得直线的斜率，结合点斜式方程，即可求解. 【详解】由直线的倾斜角为，可得直线的斜率为， 又由直线在轴上的截距为，所以直线方程为，即. 故答案为：. 题型四 直线的截距式方程 1．（2024高二上·全国·专题练习）已知直线与两坐标轴围成的三角形的面积为，则（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】求出直线在坐标轴上的截距，再利用面积公式解方程可得. 【详解】令，得；令,得． 故与坐标轴围成的三角形的面积为，解得. 故选：B 2．（23-24高二上·四川成都·期中）直线过点，则直线与轴、轴的正半轴围成的三角形的面积最小值为（    ） A．9 B．12 C．18 D．24 【答案】B 【分析】利用截距式设直线的方程得到，然后利用基本不等式求最值即可. 【详解】设直线：，， 因为直线过点，所以，即， 所以，解得，当且仅当，即，时等号成立， 则直线与轴、轴的正半轴围城的三角形面积. 故选：B. 3．（23-24高二上·江苏徐州·阶段练习）若过点的直线与坐标轴交于两点，围成三角形的面积为16，则符合条件的直线的条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】由题意可设直线的方程为：，则满足关系式，化简得，对进行分类讨论即可求解. 【详解】由题意直线显然不过原点，所以不妨设直线：，， 又点在直线上，所以，， 又三角形的面积为16，所以，， 所以，整理得； 当时，方程变为，解得或满足题意， 将和分别代入，解得对应的分别为； 当时，方程变为，解得或满足题意， 将和分别代入，解得对应的分别为； 综上所述：满足题意的直线为：，共有4条. 故选：D. 4．（多选）（23-24高二上·广东揭阳·期中）直线中，已知．若与坐标轴围成的三角形的面积不小于10，则实数对可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】由题意可得该三角形的面积为，得，结合选项即可求解. 【详解】因为， 所以直线与坐标轴围成的三角形的面积为， 则，得， 结合选项可知，满足题意. 故选：AC. 5．（多选）（23-24高三上·江西宜春·阶段练习）已知直线，则（ ） A．若，则 B．若，则 C．若与坐标轴围成的三角形面积为1，则 D．当时，不经过第一象限 【答案】BCD 【分析】根据两直线的位置关系即可判断AB；分别求出直线在坐标轴上的截距，结合计算即可判断C；结合一次函数的性质即可判断D. 【详解】A：当时，，解得或，故A错误； B：当时，，解得，故B正确； C：对于直线，令，得，令，得， 所以与坐标轴围成的三角形面积为，解得，故C正确； D：由题意知当时，：，斜率，在y轴上的截距， 所以直线过第二三四象限，故D正确. 故选：BCD. 题型五 直线的一般式方程 1．（23-24高二下·贵州·阶段练习）已知直线l倾斜角的余弦值为，且经过点，则直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意利用同角三角关系可得直线l的斜率，结合直线的点斜式方程运算求解. 【详解】设直线l的倾斜角为，则，可得， 则直线l的斜率， 且直线l经过点， 所以直线l的方程为，即. 故选：A. 2．（23-24高二上·安徽马鞍山·阶段练习）过点，倾斜角为的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先求出直线的斜率，再利用点斜式求出直线方程. 【详解】由倾斜角为知，直线的斜率为，又直线过点， 所以直线方程为，化简得. 故选：C. 3．（22-23高二上·安徽芜湖·阶段练习）若直线与轴，轴分别交于，两点，则线段的垂直平分线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先求出，两点坐标，从而求出、的中点坐标，再由点斜式计算可得. 【详解】对于直线，令可得，即， 令可得，即， 则、的中点坐标为，又， 所以线段的垂直平分线方程为，即. 故选：D 4. （24-25高二上·上海·课后作业）在直线上，当时，恰好，则此直线的一般式方程为 ． 【答案】或 【分析】方程化为，根据函数的单调性分为和来讨论，利用单调性求最值即可求解. 【详解】方程化为， 当时，为增函数， 则，解得， 此时方程为，即； 当时，为减函数， 则，解得， 此时方程为，即； 综上：此直线的一般式方程为或. 故答案为：或. 5. （23-24高二下·上海·阶段练习）过点，且在轴上的截距是3的直线的方程是 . 【答案】 【分析】利用斜率公式及直线的点斜式即可求解. 【详解】由题意知直线经过两点，则 直线的斜率为, 故直线的方程是,即. 故答案为：. 题型六 直线与坐标轴围成三角形（面积）问题 1．（23-24高二上·河北邯郸·阶段练习）直线的倾斜角是直线倾斜角的一半，且直线与坐标轴所围成的三角形的面积为，则直线的方程可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由斜率的几何意义结合二倍角公式可以先求出所求直线的斜率，再结合已知条件即可求出直线方程. 【详解】由题意不妨设直线与直线的斜率分别为，倾斜角分别为， 而，，又由二倍角公式， 所以有，整理得，解得或（舍去）， 所以设直线的方程为， 则直线与坐标轴分别交于， 所以由题意直线与坐标轴所围成的三角形的面积为， 解得，所以设直线的方程为， 当时，它可以变形为. 故选：C. 2．（21-22高一下·山东德州·阶段练习）直线与坐标轴所围成的三角形的面积为3，则m的值可以为（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】D 【分析】求出直线与坐标轴的交点，根据面积公式即可求解. 【详解】很显然，直线与轴和轴既不平行也不垂直， 当时，，当时，， 所以直线与轴和轴的交点分别为和， 因为直线与坐标轴所围成的三角形的面积为3， 所以有，解得：或. 故选：D 3．（多选）（2023高二下·海南·学业考试）若直线经过点，且与坐标轴围成的三角形面积为2，则的方程可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】设直线的方程，分别求出直线在轴与轴上的截距，由三角形面积为2列方程求出即可得直线的方程. 【详解】易知直线的斜率存在，故设直线的方程， 令，得；令，得. 故围成的三角形面积为, 化简可得或. 对于方程，，故方程无解. 对于方程，可得或. 故直线的方程或， 即或. 故选:CD. 4．（23-24高二上·北京顺义·期中）平面直角坐标系中，已知直线过点，与两坐标轴围成的三角形的面积为4，则直线的方程为 ． 【答案】 【分析】 根据题意假设直线的截距式方程，从而得到关于的方程组，解之即可得解. 【详解】 依题意，直线的两个截距都不为0，故设直线为， 则，解得， 所以直线为，即. 故答案为：. 5．（22-23高二上·全国·课后作业）已知直线l过点P(0，1)，且与x，y轴的正半轴所围成的三角形的面积等于2，则直线l的方程是 . 【答案】 【分析】设所求直线方程为，求出直线与x，y轴的交点坐标，根据三角形的面积等于2即可得解. 【详解】设直线l的方程为，由题意得k<0，令x=0，得y=1;令y=0，得， 所以，即，解得， 所以直线l的方程为，即. 故答案为： 题型七 直线过定点问题 1．（24-25高二上·上海·课堂例题）已知直线l：，则下列说法不正确的是（    ） A．直线l恒过点 B．若直线l与y轴的夹角为30°，则或 C．直线l的斜率可以等于0 D．若直线l在两坐标轴上的截距相等，则或 【答案】C 【分析】将方程化为判断直线过定点，判断A的正误；利用倾斜角和斜率的关系判断B的正误；讨论和时直线的斜率和截距情况，判断CD的正误. 【详解】直线的方程可化为， 所以直线过定点，故A正确； 因为直线与轴的夹角为， 所以直线的倾斜角为或， 而直线的斜率为，所以或， 所以或，故B正确； 当时，直线，斜率不存在， 当时，直线的斜率为， 不可能等于，故C错误； 当时，直线在轴上的截距不存在， 当时，令，得， 令，得，令， 得，故D选项正确. 故选：C. 2．（23-24高二上·江苏南京·期末）方程所表示的直线（    ） A．恒过点 B．恒过点 C．恒过点和点 D．恒过点和点 【答案】A 【分析】将方程化为 ，令的系数等于0，即可得到答案. 【详解】，， 令，解得， 即方程所表示的直线恒过定点． 故选：． 3．（24-25高二·上海·课堂例题）若直线必过一定点，则该定点坐标是 ． 【答案】 【分析】将直线变形成为，令参数的系数为0,剩余部分为0,解出关于的二元一次方程组,即可得定点. 【详解】由得， 要是恒成立，只需，解之得， 所以过定点. 故答案为： 4．（23-24高二上·甘肃庆阳·阶段练习）已知直线过定点． (1)求点的坐标； (2)若直线在轴和轴上的截距相等，求的值． 【答案】(1) (2)或2 【分析】（1）利用直线求定点的方法直接列方程求解即可. （2）首先得出，然后根据截距相等列方程求解即可. 【详解】（1）直线， 则， 定点. （2）由直线在轴和轴上的截距相等，显然不为0（否则直线在坐标轴上的截距不相等，与题意矛盾）， 令，可得， 令，可得， 由直线在轴和轴上的截距相等，有，解得或2， 故或2． 5．（23-24高一下·浙江宁波·期末）已知直线. (1)求证：直线过定点； (2)若直线不经过第二象限，求实数的取值范围； (3)若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求的方程. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）由方程变形可得，列方程组，解方程即可； （2）数形结合，结合直线图像可得解； （3）求得直线与坐标轴的交点，可得面积，进而利用二次函数的性质可得最值. 【详解】（1）由，即， 则，解得， 所以直线过定点； （2） 如图所示，结合图像可知， 当时，直线斜率不存在，方程为，不经过第二象限，成立； 当时，直线斜率存在，方程为， 又直线不经过第二象限，则，解得； 综上所述； （3）已知直线，且由题意知， 令，得，得， 令，得，得， 则， 所以当时，取最大值， 此时直线的方程为，即. 题型八 一般式方程与象限问题 1．（多选）（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线的图象如图，则（   ）    A．若，则， B．若，则， C．若，则， D．若，则， 【答案】BD 【分析】将直线方程化为斜截式，则由图象可得，，从而分析判断. 【详解】易知，由直线，可得， 根据图象可得，， ∴若，则，；若，则，． 故选：BD 2．（24-25高二上·上海·课后作业）直线过第一、二、四象限的充要条件是（    ） A．， B． C．， D．， 【答案】A 【分析】由直线过第一、二、四象限的充要条件是直线斜率小于0且在y轴上的截距大于0，列不等式求解，即得答案. 【详解】由题意直线过第一、二、四象限的充要条件是直线斜率小于0且在y轴上的截距大于0， 即，即，， 故选：A 3．（多选）（23-24高二上·贵州·开学考试）已知直线（不同时为0），则（    ） A．当时，与轴垂直 B．当时，与轴重合 C．当时，过原点 D．当时，的倾斜角为锐角 【答案】BC 【分析】根据直线方程的特征一一分析即可. 【详解】对于A：当时直线（），即，表示与轴平行（重合）的直线，故A错误； 对于B：当时直线，即，即与轴重合，故B正确； 对于C：当时直线，此时满足方程，即过原点，故C正确； 对于D：当时直线，即，斜率， 所以的倾斜角为钝角，故D错误； 故选：BC 4．（24-25高二上·上海·课堂例题）如果且，那么直线不经过第 象限. 【答案】三 【分析】比较直线的斜率与的大小关系，在轴上的截距与的大小关系即可求解. 【详解】因为且，则， 所以，，所以直线， 即直线的斜率小于零， 在y轴上的截距大于零， 故直线经过第一、第二、第四象限，不经过第三象限. 5．（23-24高二上·安徽六安·期中）设直线的方程为，直线的方程为，其中. (1)若直线经过第二､三､四象限，求的取值范围； (2)若直线 ，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用直线方程的特征计算即可； （2）利用直线的位置关系计算即可. 【详解】（1）由题意可知直线斜率为负，且在纵轴上的截距为负， 即， 所以； （2）因为 ，所以或， 检验：当时，与重合，应舍去；当时， . 综上：. 题型九 图象选择问题 1．（23-24高二上·全国·课后作业）如图所示，直线与的图象只可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两直线分别经过第几象限，对应的一次项系数和常数项需要满足的条件对选项一一判断即可得出答案. 【详解】对A，由经过第一，四，三象限，可知，， 由过第一，二，三象限知，，故本选项错误； 对B，由经过第一，二，四象限，可知，， 由过第一，二，三象限知，，故本选项错误； 对C，由经过第一，三，四象限，可知，， 由过第一，三，四象限知，，故本选项错误； 对D，由经过第一，二，四象限，可知，， 由过第一，二，四象限知，，故本选项正确； 故选：D. 2．（19-20高二·全国·课后作业）两直线与的图象可能是图中的哪一个（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把直线化为斜截式方程，结合直线的斜率和在轴上的截距，即可求解. 【详解】由题意，直线和， 可化为和， 若，此时斜率，可排除A、C、D项； 只有当时，此时斜率， 其中直线在y轴上的截距，在y轴上的截距， 选项B符合题意. 故选：B. 【点睛】本题主要考查直线的斜截式方程及应用，以及直线在坐标轴上的截距的概念及应用，着重考查分析问题和解答问题的能力，属于基础题. 3．（多选）（23-24高二上·湖南常德·期中）直线，的图象可能是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】BC 【分析】分析两直线的斜率以及在轴上的截距，可得出、的符号，即可得出合适的选项. 【详解】直线的斜率为，该直线在轴上的截距为， 直线的斜率为，该直线在轴上的截距为， 对于A选项，由直线的图象可得，由直线的图象可得，即，A不满足条件； 对于B选项，由直线的图象可得，由直线的图象可得，即，B满足条件； 对于C选项，由直线的图象可得，由直线的图象可得，即，C满足条件； 对于D选项，由直线的图象可得，由直线的图象可得，即，D不满足条件. 故选：BC. 4．（多选）（20-21高二上·山东潍坊·期中）在同一平面直角坐标系中，表示直线与的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】分情况讨论与的正负情况，分别判断各选项. 【详解】A选项：由的图象可知，，经过一、三、四象限，则需经过二、三、四象限，故A选项正确； B选项：由的图象可知，，经过一、二、三象限，则需经过一、三、四象限，故B选项错误； C选项：由的图象可知，，经过一、二、四象限，则需经过一、二、三象限，故C选项正确； D选项：由的图象可知，，经过二、三、四象限，则需经过一、二、四象限，故D选项错误； 故选：AC. 5．（23-24高二上·山东泰安·阶段练习）直线：与直线：在同一平面直角坐标系内的图象只可能是 （填写正确的序号）． 【答案】④ 【分析】根据直线方程斜截式与图像的关系进行判断即可. 【详解】对于①，由得，，而由得，，矛盾，故①错误； 对于②，由得，，而由得，，矛盾，故②错误； 对于③，由得，，而由得，，矛盾，故③错误； 对于④，由得，，由得，，故④正确． 故答案为：④. 题型十 由一般式方程判断两条直线的位置关系 1．（23-24高二下·上海虹口·期末）已知两条直线和，以下说法正确的是（   ）. A． B．与重合 C． D．与的夹角为 【答案】A 【分析】由与一般式方程的系数关系，即可判断出正确答案. 【详解】依题意，，所以，与的夹角为， 故A正确，B、C、D错误. 故选：A 2．（22-23高二上·广西河池·阶段练习）直线与直线的位置关系是（    ） A．平行 B．相交 C．不确定 D．重合 【答案】C 【分析】根据直线方程判断直线的位置关系，注意讨论参数的数量关系. 【详解】当时，两直线重合， 当时，两直线平行， 所以题设两直线位置可能重合、平行. 故选：C. 3．（23-24高二上·上海·期末）已知直线，直线，则是直线的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．即不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】充分性与必要性分析即可. 【详解】充分性：若，则，则直线，充分性满足； 必要性：若直线，则， 当时，不成立，则必要性不满足, 所以是直线的充分不必要条件. 故选：A 4．（23-24高二上·北京·期中）直线和直线的位置关系是 ． 【答案】相交（不垂直） 【分析】求得两直线斜率，根据两直线的斜率，即可判断两直线的位置关系. 【详解】由题意得直线的斜率为， 直线的斜率为， 由于且，即两直线相交且不垂直， 故答案为：相交（不垂直） 5．（21-22高二·全国·课后作业）讨论直线：和：的位置关系． 【答案】答案见详解 【分析】根据直线位置关系与系数之间的关系分类讨论可得. 【详解】当，即且时，直线、相交； 当，即时，直线，垂直； 当，即时，直线、平行； 当，即时，直线、重合． 题型十一 由直线的平行关系求参数 1．（23-24高三上·山东青岛·期末）“”是“直线与平行”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据直线平行的条件，判断“”和“直线与平行”之间的逻辑关系，即可得答案. 【详解】当时，直线与平行； 当直线与平行时， 有且，解得， 故“”是“直线与平行”的充要条件， 故选：C 2．（23-24高二上·广西百色·期末）若直线和平行，则的值为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】利用两条直线的平行关系，求出的值即可. 【详解】因为直线和平行， 所以，解得或； 当时，此时直线和平行，满足题意； 当时，此时直线和重合，不满足题意，舍去. 综上所述：. 故选：A. 3．（23-24高二上·甘肃·期末）若直线和直线平行，则（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】C 【分析】根据两条直线平行求出的值，验证即可. 【详解】直线和直线平行， ，解得或， 当时，两条直线重合； 当时，两条直线平行. 综上，. 故选：C. 4．（22-23高二上·广东广州·阶段练习）直线与直线相交，则实数k的值为（    ） A．或 B．或 C．且 D．且 【答案】D 【分析】 根据给定条件，利用两条直线相交的充要条件，列式求解作答. 【详解】由题意，， 解得且， 所以实数k的值为且. 故选：D. 5．（23-24高二上·吉林辽源·期末）已知直线，直线，且 ，则的值为 . 【答案】0 【分析】根据两直线平行，列式计算，经验证即可确定答案. 【详解】由 ，可得，即， 故或， 当时，直线和直线平行，符合题意； 当时，直线和直线重合，不合题意， 故， 故答案为：0 题型十二 由直线的垂直关系求参数 1．（23-24高二上·福建福州·期末）若直线与直线垂直，则实数a的取值是（    ） A．或 B． C． D． 【答案】A 【分析】由两直线垂直的条件，列方程求实数a的值. 【详解】直线与直线垂直， 则有，解得或， 故选：A． 2．（23-24高二下·河南·开学考试）已知直线，䒴，，则（    ） A．或 B． C．或 D． 【答案】B 【分析】由两直线平行和垂直的条件，列方程求解. 【详解】已知直线， 由，得，且，解得， 由，得，故. 故选：B. 3．（23-24高三上·四川·阶段练习）已知直线，.则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【分析】求出时，或，从而得到是的充分不必要条件. 【详解】当时，直线的斜率为，的斜率为， 又，所以，充分性成立； 直线，， 若，则有，解得或，必要性不成立. 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 4．（23-24高二上·江苏镇江·期中）已知直线，，若，则实数（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】由两直线垂直的关系求解. 【详解】因为，所以. 故选：C 5．（23-24高二上·江苏连云港·阶段练习）设为实数，若直线垂直于直线，则（    ） A．0或-3 B．0 C．-3 D．3 【答案】C 【分析】根据直线一般方程的垂直关系可得，求解并检验即可. 【详解】因为直线垂直于直线， 所以，解得或. 当时，直线为，不符合题意，舍去. 当时，直线为， 直线为，符合题意. 所以. 故选：C. 题型十三 由直线的平行与垂直关系求直线方程 1．（2024·山东·二模）已知直线与直线平行，且在轴上的截距是，则直线的方程是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依题意设直线的方程为，代入求出参数的值，即可得解. 【详解】因为直线平行于直线，所以直线可设为， 因为在轴上的截距是，则过点，代入直线方程得， 解得，所以直线的方程是. 故选：C 2．（23-24高二下·上海·期末）过点且平行于直线的直线方程为 . 【答案】 【分析】依题意设所求直线方程为，代入点的坐标，求出参数的值，即可得解. 【详解】设与直线平行的直线方程为， 把点代入可得，解得， 故所求的直线的方程为， 故答案为：． 3．（23-24高二上·陕西宝鸡·阶段练习）已知点和直线.求： (1)过点P与直线l平行的直线方程； (2)过点P与直线l垂直的直线方程. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）（2）根据给定条件，设出所求直线的方程，利用待定系数法求解即得. 【详解】（1）设过点P与直线l平行的直线方程为， 则，解得， 所以所求直线方程为. （2）过点P与直线l垂直的直线方程为， 则，解得， 所以所求直线的方程为. 4．（23-24高二上·北京·期中）已知的顶点坐标分别是，，，为边的中点. (1)求中线的方程； (2)求经过点且与直线平行的直线方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先确定，然后通过两点的坐标确定方程； （2）先确定直线的斜率，然后通过点的坐标和斜率确定方程. 【详解】（1）由于，，故，而，故的方程是，即. （2）由于直线的斜率是，且不在直线上. 所以经过点且与直线平行的直线方程为，即. 5．（23-24高二上·湖南长沙·期末）已知直线与直线的交点为． (1)求过点且与直线垂直的直线方程； (2)求过点且与直线平行的直线方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出交点，后依据垂直求出所求直线的斜率，再求方程即可. （2）结合求出的交点，后依据平行求出所求直线的斜率，再求方程即可. 【详解】（1）联立方程与，解得，，故， 而的斜率为，故所求直线斜率为， 则所求直线方程为，化简得. （2）易知的斜率为，故所求直线斜率为， 则所求直线方程为，化简得. 题型十四 最值问题 1．（23-24高二上·安徽安庆·阶段练习）当直线过点，当取得最小值时，直线的方程为：（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知得，根据基本不等式“”的代换可得的最小值，即取最小值时与的值，进而得解. 【详解】由直线过点， 则，所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以直线方程为，即. 故选：C. 2．（23-24高二下·云南·阶段练习）设，若直线过曲线（，且）的定点，则的最小值为 ． 【答案】2 【分析】根据指数的运算性质，结合基本不等式进行求解即可. 【详解】因为曲线过定点， 所以，即，则 ， 当且仅当时,即时取“”，所以的最小值为2． 故答案为：2 3．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）不论k为任何实数，直线恒过定点，若直线过此定点其m，n是正实数，则的最小值是 . 【答案】/ 【分析】根据题意求出的关系，然后利用基本不等式求出的最小值. 【详解】直线即， 由题意，解得，即直线恒过点， 因为直线过此定点，其中m，n是正实数，所以， 则 ，当且仅当即时取等号， 所以的最小值是. 故答案为： 4．（22-23高二上·云南临沧·阶段练习）已知直线. (1)若直线不经过第三象限，求的取值范围； (2)若直线交轴负半轴于，交轴正半轴于的面积为（为坐标原点），求的最小值和此时直线的方程. 【答案】(1)； (2)最小值为4，直线的方程为. 【分析】（1）转化为斜截式，根据直线不经过第三象限得到不等式，求出答案； （2）表达出，利用基本不等式求出面积的最小值，并得到直线的方程. 【详解】（1）直线可化为， 要使直线不经过第三象限，则，解得， 的取值范围为. （2）由题意可得中，取，得， 取，得， ， 当且仅当时，即时，取“=”， 此时的最小值为4，直线的方程为. 5．（23-24高二上·福建泉州·期中）在平面直角坐标系中，为坐标原点，过点作直线． (1)若直线在两坐标轴的截距相等，求直线的方程； (2)若直线分别与轴正半轴、轴正半轴交于点．求的最小值． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）考虑直线过原点和不过原点两种情况，代入点坐标计算得到答案. （2）确定，计算，利用均值不等式计算得到答案. 【详解】（1）当直线过原点时，设，因为点在上，所以，即， 此时直线的方程为； 当直线不过原点时，设直线的方程为，点在上，，即， 此时直线的方程为， 综上所述：直线的方程为或； （2）设，，，，则的方程为， 点在上，故， ，当且仅当，即时等号成立， 故当时，取得最小值且最小值为． 1．（2007高二·全国·竞赛）已知点，过点P向直线：和：作垂线，垂足分别为点M，N，则线段MN的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意得到四点共圆，且圆的直径为OP，且此圆也为的外接圆，由正弦定理进行求解. 【详解】如图，∵，， ∴四点共圆，且圆的直径为OP，且此圆也为的外接圆， 设半径为，则， 在中，由正弦定理得， ∴， 又，的倾斜角分别是， ∴，而， ∴.    故选：C 2．（24-25高二上·全国·课后作业）直线l过原点，且垂直于向量．若角的终边落在直线l上，则 ． 【答案】/ 【分析】根据题意求出直线方程，然后利用任意角的三角函数的定义求出，再对变形后，将代入计算即可 【详解】因为直线l过原点，且垂直于向量， 所以直线l的方程为， 当时，取终边上的点，可得， 当时，取终边上的点，可得， 所以若角的终边落在直线l上，则， ． 故答案为： 3．（24-25高二上·上海·课堂例题）下列关于直线方程的说法正确的是 .①直线的倾斜角可以是；②直线l过点，并且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为；③过点的直线的直线方程还可以写成；④经过，两点的直线方程可以表示为. 【答案】①③ 【分析】当可知直线倾斜角为，知①正确；分别讨论直线过坐标原点和不过坐标原点两种情况，可知②错误；根据和可整理得到③正确；当或时，两点式方程无法应用，知④错误. 【详解】对于①，当时，直线方程为：，此时直线倾斜角为，①正确； 对于②，当直线过坐标原点时，，此时其在两坐标轴上的截距相等； 当直线不过坐标原点时，设，则，； 综上所述：过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程为：或，②错误； 对于③，在直线上，， 则，，③正确； 对于④，若或，则过两点的直线无法表示为，④错误. 故答案为：①③. 4．（24-25高二上·上海·课后作业）若直线l的一般式方程为，直线l经过点，求直线l在x轴和y轴上的截距之和的最小值，并求此时a的值． 【答案】，． 【分析】根据直线经过点得，然后利用基本不等式可得答案. 【详解】由直线的一般式方程， 可知直线在轴上的截距为，在轴上的截距为， 所以直线在轴和轴上的截距之和为． 直线经过点，得． 因此． 因为， 当且仅当时取等号，所以， 此时． 5．（23-24高二上·湖北襄阳·阶段练习）设直线l的方程为． (1)求证：不论a为何值，直线l必过一定点P； (2)若直线l分别与x轴正半轴，y轴正半轴交于点，，当面积最小时，求此时的直线方程； (3)当直线l在两坐标轴上的截距均为正整数且a也为正整数时，求直线l的方程． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)． 【分析】(1) 因为，，通过化简得，结合过定点列方程组，解出方程组的解即可得到定点坐标. (2) 令得，，令可得，.因为，点A，B分别在x，y轴的正半轴上，所以得到的取值范围，再利用均值不等式求出的值即可得到直线方程. (3) 由(2)可知直线l分别与x，y 轴的正半轴相交，所以，，均为正整数且a也为正整数求得. 将的值代入原方程即可. 【详解】（1）由得，则，解得， ∴不论a为何值，直线l必过一定点； （2）由， 当时，，当时，， 又由，得， ， 当且仅当，即时，取等号． ，， ∴直线方程为． （3）直线l在两坐标轴上的截距均为正整数，即，均为正整数，而a也为正整数， ，， ∴直线l的方程为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.2直线的方程 题型一 直线的点斜式方程 1．（21-22高二上·广东湛江·期中）经过点，倾斜角为的直线方程为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·四川成都·开学考试）过点，且倾斜角为的直线方程为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·上海·课后作业）已知直线经过点，且倾斜角等于直线的倾斜角的一半，则直线的点斜式方程为 ． 4．（24-25高二上·上海·课堂例题）已知直线过点，且倾斜角的正弦值为，此直线方程为 ． 5. （24-25高二上·全国·单元测试）若直线l过点，且倾斜角是直线的倾斜角的一半，则直线l的方程为 ． 题型二 直线的斜截式方程 1．（2024高二下·上海·专题练习）已知两点、，则直线的斜截式方程是 ． 2．（24-25高二上·上海·课堂例题）已知的三个顶点分别为、、，求边上的中线所在直线的斜截式方程． 3．（2023高二上·江苏·专题练习）已知直线的倾斜角为，与轴的交点到坐标原点的距离为，求直线的斜截式方程. 4．（23-24高二上·山西太原·期中）已知的三个顶点，分别是的中点． (1)求直线的一般式方程； (2)求边的垂直平分线的斜截式方程． 5. （23-24高二上·全国·课后作业）与直线垂直，且在y轴上的截距为4的直线的斜截式方程为 ；它与y轴的交点为 . 题型三 直线的两点式方程 1．（24-25高二上·全国·课后作业）直线的一个方向向量为，且经过点，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 2．（22-23高二上·云南临沧·阶段练习）直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·全国·课后作业）已知直线的倾斜角为，且在轴上的截距为，则直线的一般式方程是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二下·云南·开学考试）已知直线的倾斜角与直线的倾斜角互补，则（    ） A． B． C． D． 5．（22-23高二下·上海闵行·期末）若直线的倾斜角为且在轴上的截距为，则直线的一般方程是 . 题型四 直线的截距式方程 1．（2024高二上·全国·专题练习）已知直线与两坐标轴围成的三角形的面积为，则（    ） A． B．或 C． D．或 2．（23-24高二上·四川成都·期中）直线过点，则直线与轴、轴的正半轴围成的三角形的面积最小值为（    ） A．9 B．12 C．18 D．24 3．（23-24高二上·江苏徐州·阶段练习）若过点的直线与坐标轴交于两点，围成三角形的面积为16，则符合条件的直线的条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（多选）（23-24高二上·广东揭阳·期中）直线中，已知．若与坐标轴围成的三角形的面积不小于10，则实数对可以是（    ） A． B． C． D． 5．（多选）（23-24高三上·江西宜春·阶段练习）已知直线，则（ ） A．若，则 B．若，则 C．若与坐标轴围成的三角形面积为1，则 D．当时，不经过第一象限 题型五 直线的一般式方程 1．（23-24高二下·贵州·阶段练习）已知直线l倾斜角的余弦值为，且经过点，则直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·安徽马鞍山·阶段练习）过点，倾斜角为的直线方程是（    ） A． B． C． D． 3．（22-23高二上·安徽芜湖·阶段练习）若直线与轴，轴分别交于，两点，则线段的垂直平分线方程为（    ） A． B． C． D． 4. （24-25高二上·上海·课后作业）在直线上，当时，恰好，则此直线的一般式方程为 ． 5. （23-24高二下·上海·阶段练习）过点，且在轴上的截距是3的直线的方程是 . 题型六 直线与坐标轴围成三角形（面积）问题 1．（23-24高二上·河北邯郸·阶段练习）直线的倾斜角是直线倾斜角的一半，且直线与坐标轴所围成的三角形的面积为，则直线的方程可能是（    ） A． B． C． D． 2．（21-22高一下·山东德州·阶段练习）直线与坐标轴所围成的三角形的面积为3，则m的值可以为（    ） A．2 B． C．3 D． 3．（多选）（2023高二下·海南·学业考试）若直线经过点，且与坐标轴围成的三角形面积为2，则的方程可能是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·北京顺义·期中）平面直角坐标系中，已知直线过点，与两坐标轴围成的三角形的面积为4，则直线的方程为 ． 5．（22-23高二上·全国·课后作业）已知直线l过点P(0，1)，且与x，y轴的正半轴所围成的三角形的面积等于2，则直线l的方程是 . 题型七 直线过定点问题 1．（24-25高二上·上海·课堂例题）已知直线l：，则下列说法不正确的是（    ） A．直线l恒过点 B．若直线l与y轴的夹角为30°，则或 C．直线l的斜率可以等于0 D．若直线l在两坐标轴上的截距相等，则或 2．（23-24高二上·江苏南京·期末）方程所表示的直线（    ） A．恒过点 B．恒过点 C．恒过点和点 D．恒过点和点 3．（24-25高二·上海·课堂例题）若直线必过一定点，则该定点坐标是 ． 4．（23-24高二上·甘肃庆阳·阶段练习）已知直线过定点． (1)求点的坐标； (2)若直线在轴和轴上的截距相等，求的值． 5．（23-24高一下·浙江宁波·期末）已知直线. (1)求证：直线过定点； (2)若直线不经过第二象限，求实数的取值范围； (3)若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求的方程. 题型八 一般式方程与象限问题 1．（多选）（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线的图象如图，则（   ）    A．若，则， B．若，则， C．若，则， D．若，则， 2．（24-25高二上·上海·课后作业）直线过第一、二、四象限的充要条件是（    ） A．， B． C．， D．， 3．（多选）（23-24高二上·贵州·开学考试）已知直线（不同时为0），则（    ） A．当时，与轴垂直 B．当时，与轴重合 C．当时，过原点 D．当时，的倾斜角为锐角 4．（24-25高二上·上海·课堂例题）如果且，那么直线不经过第 象限. 5．（23-24高二上·安徽六安·期中）设直线的方程为，直线的方程为，其中. (1)若直线经过第二､三､四象限，求的取值范围； (2)若直线 ，求的值. 题型九 图象选择问题 1．（23-24高二上·全国·课后作业）如图所示，直线与的图象只可能是（    ） A． B． C． D． 2．（19-20高二·全国·课后作业）两直线与的图象可能是图中的哪一个（    ） A． B． C． D． 3．（多选）（23-24高二上·湖南常德·期中）直线，的图象可能是（    ） A．   B．   C．   D．   4．（多选）（20-21高二上·山东潍坊·期中）在同一平面直角坐标系中，表示直线与的图象可能是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·山东泰安·阶段练习）直线：与直线：在同一平面直角坐标系内的图象只可能是 （填写正确的序号）． 题型十 由一般式方程判断两条直线的位置关系 1．（23-24高二下·上海虹口·期末）已知两条直线和，以下说法正确的是（   ）. A． B．与重合 C． D．与的夹角为 2．（22-23高二上·广西河池·阶段练习）直线与直线的位置关系是（    ） A．平行 B．相交 C．不确定 D．重合 3．（23-24高二上·上海·期末）已知直线，直线，则是直线的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．即不充分也不必要条件 4．（23-24高二上·北京·期中）直线和直线的位置关系是 ． 5．（21-22高二·全国·课后作业）讨论直线：和：的位置关系． 题型十一 由直线的平行关系求参数 1．（23-24高三上·山东青岛·期末）“”是“直线与平行”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（23-24高二上·广西百色·期末）若直线和平行，则的值为（    ） A． B． C．或 D． 3．（23-24高二上·甘肃·期末）若直线和直线平行，则（    ） A．或 B．或 C． D． 4．（22-23高二上·广东广州·阶段练习）直线与直线相交，则实数k的值为（    ） A．或 B．或 C．且 D．且 5．（23-24高二上·吉林辽源·期末）已知直线，直线，且 ，则的值为 . 题型十二 由直线的垂直关系求参数 1．（23-24高二上·福建福州·期末）若直线与直线垂直，则实数a的取值是（    ） A．或 B． C． D． 2．（23-24高二下·河南·开学考试）已知直线，䒴，，则（    ） A．或 B． C．或 D． 3．（23-24高三上·四川·阶段练习）已知直线，.则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 4．（23-24高二上·江苏镇江·期中）已知直线，，若，则实数（    ） A．2 B． C． D． 5．（23-24高二上·江苏连云港·阶段练习）设为实数，若直线垂直于直线，则（    ） A．0或-3 B．0 C．-3 D．3 题型十三 由直线的平行与垂直关系求直线方程 1．（2024·山东·二模）已知直线与直线平行，且在轴上的截距是，则直线的方程是（    ）． A． B． C． D． 2．（23-24高二下·上海·期末）过点且平行于直线的直线方程为 . 3．（23-24高二上·陕西宝鸡·阶段练习）已知点和直线.求： (1)过点P与直线l平行的直线方程； (2)过点P与直线l垂直的直线方程. 4．（23-24高二上·北京·期中）已知的顶点坐标分别是，，，为边的中点. (1)求中线的方程； (2)求经过点且与直线平行的直线方程. 5．（23-24高二上·湖南长沙·期末）已知直线与直线的交点为． (1)求过点且与直线垂直的直线方程； (2)求过点且与直线平行的直线方程． 题型十四 最值问题 1．（23-24高二上·安徽安庆·阶段练习）当直线过点，当取得最小值时，直线的方程为：（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·云南·阶段练习）设，若直线过曲线（，且）的定点，则的最小值为 ． 3．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）不论k为任何实数，直线恒过定点，若直线过此定点其m，n是正实数，则的最小值是 . 4．（22-23高二上·云南临沧·阶段练习）已知直线. (1)若直线不经过第三象限，求的取值范围； (2)若直线交轴负半轴于，交轴正半轴于的面积为（为坐标原点），求的最小值和此时直线的方程. 5．（23-24高二上·福建泉州·期中）在平面直角坐标系中，为坐标原点，过点作直线． (1)若直线在两坐标轴的截距相等，求直线的方程； (2)若直线分别与轴正半轴、轴正半轴交于点．求的最小值． 1．（2007高二·全国·竞赛）已知点，过点P向直线：和：作垂线，垂足分别为点M，N，则线段MN的长是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·全国·课后作业）直线l过原点，且垂直于向量．若角的终边落在直线l上，则 ． 3．（24-25高二上·上海·课堂例题）下列关于直线方程的说法正确的是 .①直线的倾斜角可以是；②直线l过点，并且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为；③过点的直线的直线方程还可以写成；④经过，两点的直线方程可以表示为. 4．（24-25高二上·上海·课后作业）若直线l的一般式方程为，直线l经过点，求直线l在x轴和y轴上的截距之和的最小值，并求此时a的值． 5．（23-24高二上·湖北襄阳·阶段练习）设直线l的方程为． (1)求证：不论a为何值，直线l必过一定点P； (2)若直线l分别与x轴正半轴，y轴正半轴交于点，，当面积最小时，求此时的直线方程； (3)当直线l在两坐标轴上的截距均为正整数且a也为正整数时，求直线l的方程． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$