2024-2025学年浙江省九年级上学期期中数学专题复习二次函数部分

浙江省九年级上学期期中专题复习 二次函数部分 本资料以2023-2024学年浙江省各大市区期中考试题目汇编而成，旨在为学生期中复习理清方向！ 一、单选题 1．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）下列函数是二次函数的是（ ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·浙江温州·期中）抛物线开口方向是（    ） A．向上 B．向下 C．向左 D．向右 3．（23-24九年级上·浙江绍兴·期中）下表列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值： x … 0 … y … 4 0 0 a … 其中，a的值为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 4．（23-24九年级上·浙江丽水·期中）设是抛物线上的三点，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24九年级上·浙江温州·期中）已知二次函数的图象位于轴下方，则满足的条件是(　　) A． B． C． D． 6．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）关于二次函数的最值，下列叙述正确的是（　　） A．当时，y有最小值0 B．当时，y有最大值0 C．当时，y有最小值1 D．当时，y有最大值1 7．（23-24九年级上·浙江衢州·期中）要得到二次函数的图象，需将的图象平移的方式为（    ） A．向右2个单位，再向下2个单位 B．向左2个单位，再向下2个单位 C．向左2个单位，再向上2个单位 D．向右2个单位，再向上2个单位 8．（23-24九年级上·浙江湖州·期中）已知二次函数，其函数值与自变量之间的部分对应值如表所示：点在函数的图象上，当时，与的大小关系正确的是（    ） 0 1 2 3 4 0 A． B． C． D． 9．（23-24九年级上·浙江绍兴·期中）已知二次函数，当点在函数图象上时，则的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（23-24九年级上·浙江·期中）如图，已知二次函数的图象与轴分别交于两点，与轴交于点，,则由抛物线的特征写出如下结论中错误的是(   ) A． B． C． D． 11．（23-24九年级上·浙江宁波·期中）如图，在平面直角坐标系中，平行于x轴的直线，与二次函数，分别交于A、B和C、D，若，则a为（    ） A．4 B．2 C． D． 12．（23-24九年级上·浙江金华·期中）已知抛物线的顶点坐标为，若关于的一元二次方程（为实数）在范围内有两个不同的实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 13．（23-24九年级上·浙江杭州·期末）已知点，在二次函数的图像上，若，则必有（    ） A． B． C． D． 14．（23-24九年级上·浙江丽水·期中）若时，二次函数的最小值为15，则的值为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 15．（23-24九年级上·浙江衢州·期中）抛物线，当时，的最大值与最小值的差为，则的值为（    ） A．1 B． C．或 D．或 16．（23-24九年级上·浙江·期中）设，分别是函数，图象上的点，当时，总有恒成立，则称函数，在上是“逼近函数”，为“逼近区间”．则下列结论： ①函数，在上是“逼近函数”； ②函数，在上是“逼近函数”； ③是函数，的“逼近区间”； ④是函数，的“逼近区间”． 其中，正确的有（    ） A．②③ B．①④ C．①③ D．②④ 17．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）已知二次函数y＝﹣（x﹣1）2+10，当m≤x≤n，且mn＜0时，y的最小值为2m，y的最大值为2n，则的值为（　　） A．3 B． C．2 D． 18．（23-24九年级上·浙江金华·期中）已知二次函数的图象C与y轴交于点M，过点M作直线l平行于x轴，将抛物线C位于直线l下方的部分翻折至直线l上方．若变换后的图象与x轴有4个交点，则m的取值范围为（　　） A． B． C． D． 19．（23-24九年级上·浙江宁波·期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，函数的图象与对称轴直线x=m交于点A，与x，y轴交于B，C，D三点，下列命题正确的是（　　） ①abc＞0； ②若OD=OC，则ac+b+1=0； ③对于任意，始终有； ④若B的坐标为（-m，0），则C的坐标为（3m，0）． A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 20．（2023九年级下·浙江宁波·竞赛）二次函数的图象与x轴的两个交点为，，且，点是图象上一点，那么下列判断正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 二、填空题 21．（23-24九年级上·浙江义乌·期中）把抛物线向上平移2个单位，所得的抛物线的解析式是 . 22．（23-24九年级上·浙江金华·期中）如图，直线与抛物线都经过点和，则不等式的解集是 ． 23．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图，抛物线与直线交于两点，则不等式的解集是 ．　 24．（23-24九年级上·浙江湖州·期中）抛物线的图象与轴交点的横坐标为和1，则方程的解为 ． 25．（23-24九年级上·浙江湖州·期中）在中考体育训练期间，小宇对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系式为，由此可知小宇此次实心球训练的成绩为 ． 26．（23-24九年级上·浙江绍兴·期中）若，且，则代数式的最小值与最大值的和为 ． 27．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）已知二次函数，经过点，当时，x的取值范围为或，则此函数的对称轴是 ；m的值可以是 （写出一个即可） 28．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）对于一个函数，自变量取时，函数值y也等于，则称a是这个函数的不动点．已知二次函数． （1）若3是此函数的不动点，则m的值为 ． （2）若此函数有两个相异的不动点，，且，则m的取值范围为 ． 29．（23-24九年级上·浙江衢州·期中）已知一次函数y1＝﹣x，二次函数y2＝x2﹣2kx+k2﹣k（k＞0）． （1）当x＜1时，y2的函数值随x的增大而减小，则k的最小整数值为 ； （2）若y＝y2﹣y1，若点M（k+2，s），N（a，b）都在函数y的图像上，且s＜b，则a的取值范围 ．（用含k的式子表示） 三、解答题 30．（23-24九年级上·浙江湖州·期中）已知抛物线经过点． (1)求抛物线的表达式； (2)判断点是否在抛物线上，请说明理由． 31．（23-24九年级上·浙江温州·期中）已知抛物线经过点，． (1)求抛物线的函数表达式和对称轴： (2)抛物线的图象经过点，，且，，求，的大小关系． 32．（23-24九年级上·浙江丽水·期中）某书店销售儿童期刊，一天可售出20套，每套盈利30元．为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，书店决定采取降价措施．若一套书每降价1元，平均每天可多售出2套．设每套书降价元时，书店一天可获利润元． (1)求关于的函数表达式； (2)若书店每天要盈利750元，则需降价多少元？ (3)当每套书降价多少元时，书店可获最大利润？最大利润是多少？ 33．（23-24九年级上·浙江金华·期中）如图，抛物线y＝x2﹣2x+c的顶点A在直线l：y＝x﹣a上，点D（3，0）为抛物线上一点． （1）求a的值； （2）抛物线与y轴交于点B，试判断△ABD的形状． 34．（23-24九年级上·浙江湖州·期中）已知二次函数． (1)若图象过点，求抛物线顶点坐标． (2)若图象与坐标轴有两个交点，求的值． (3)若函数图象上有两个不同的点，且，求的取值范围． 35．（23-24九年级上·浙江丽水·期中）已知关于的二次函数，经过点． (1)若此函数图象过点，求这个二次函数的表达式； (2)若时，时，求的值； (3)若，当，且时，求证：． 36．（23-24九年级上·浙江金华·期中）足球训练中球员从球门正前方8米的处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为6米时，球达到最高点，此时球离地面3米．现以为原点建立如图所示直角坐标系．       (1)求抛物线的函数表达式； (2)已知球门高为2.44米，通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）； (3)已知点为上一点，米，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，当时球员带球向正后方移动米再射门，足球恰好经过区域（含点和），求的取值范围． 37．（23-24九年级上·浙江绍兴·期中）【定义】若抛物线与一水平直线交于两点，我们把这两点间线段的长称为抛物线关于这条直线的跨径，抛物线的顶点到该直线的距离称为抛物线关于这条直线的矢高，矢高与跨径的比值称为抛物线关于这条直线的矢跨比．如图1，抛物线的顶点为轴于点，它与轴交于点，则的长为抛物线关于轴的跨径，的长为抛物线关于轴的矢高，的值为抛物线关于轴的矢跨比． (1)【特例】如图2，已知抛物线与轴交于点（点在点右侧）抛物线关于轴的矢高是______，跨径是______，矢跨比是______； (2)【应用】如图3是某地一座三连拱桥梁建筑示意图，其中主跨与边跨的拱轴线为开口方向与大小一样的抛物线，它们关于水平钢梁所在直线的跨径分别为420米与280米，已知主跨的矢跨比为，请求出边跨的矢跨比． 38．（23-24九年级上·浙江宁波·期中）阅读材料： 地球行星防御理事会截获了来自半人马座三体星系的信息，得知了这个异星世界的数学知识中有被称为“圈”的图形．有好几种人类已知的图形符合“圈”的定义，抛物线就是其中之一！如果把抛物线看做“圈”，它将满足以下基本事实：对抛物线上的任意一个定点M，在它内部必定有一定点T，过T的任意直线交抛物线于A，B两点（都不同于点M），使得始终为直角，并把T称为M所对的“圈心”；其中M，T满足如下关系：它们的横坐标的和为抛物线顶点横坐标的2倍，T与M的纵坐标的差等于抛物线二次项系数的倒数． （ 节选自《三体——罗辑前传》 ） 根据材料提供的基本事实，解答下列问题： (1)点是抛物线上一点，直接写出M所对的“圈心”T的坐标； (2)点P是抛物线上的点，它的横坐标是2，求P所对的“圈心”坐标； (3)点P是抛物线上不同于原点O的任意一点，轴于Q，作交y轴于点T，求证：点O所对的“圈心”是点T． 39．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）在平面直角坐标系中，设二次函数（a，b是常数，）． (1)若时，图象经过点，求二次函数的表达式． (2)写出一组a，b的值，使函数的图象与x轴只有一个公共点，并求此二次函数的顶点坐标． (3)已知，二次函数的图象和直线都经过点，求证：． 40．（23-24九年级上·浙江金华·期中）我们定义：若点在一次函数图象上，点Q在反比例函数图象上，且满足点与点Q关于y轴对称，则称二次函数为一次函数与反比例函数的“衍生函数”，点称为“基点”，点Q称为“靶点”． (1)若二次函数是一次函数与反比例函数的“衍生函数”，则a＝ ，b＝ ，c＝ ． (2)直接写出一次函数和反比例函数的“衍生函数”的表达式，若该“衍生函数”的顶点在x轴上，且“基点”的横坐标为4，求出“靶点”Q的坐标； (3)若一次函数和反比例函数的“衍生函数”经过点．试判断一次函数图象上“基点”的个数，并说明理由 参考答案： 1．C 【详解】根据二次函数的定义，形如（其中a，b，c是常数，a≠0）的函数叫做二次函数，所给函数中是二次函数的是． 故选C． 2．A 【详解】解：∵ ∴抛物线的开口向上． 故选：A． 答． 3．A 【详解】解：∵时，；时，， ∴该二次函数的对称轴为， ∴当时，y的值和当时，y的值相等． ∵当时，， ∴当时，， ∴a的值为4． 故选A． 4．A 【详解】解：∵抛物线的开口向下，对称轴为直线， ， ∴． 故选：A． 5．D 【详解】解：由题意得，， ∴， 解得， 故选：D． 6．D 【详解】∵， ∴抛物线开口向下，对称轴为 ，顶点坐标为 ， ∴当时，y有最大值1； 故选：D． 7．A 【详解】解：原抛物线的顶点坐标为，新函数的顶点坐标为， ∴将原抛物线向右平移2个单位，再向下平移2个单位可得到新抛物线． 故选A． 8．A 【详解】解：从表中可知，二次函数过点，，， 则有，， 解得，， 即二次函数为：， 该二次函数开口向下，对称轴为直线， ∵， ∴距离对称轴近，距离对称轴远， ∴， 故选：A． 9．C 【详解】解：由二次函数，知该抛物线开口朝上，且对称轴为直线， 点在函数图象上， 且 ∴． 故选：C． 10．B 【详解】①观察图象可知，开口向下a＜0，对称轴在左侧b<0，与y轴交于正半轴0<c<1， ∴abc>0，故A正确； ②∵抛物线与x轴有两个交点， ∴b2−4ac>0,即4ac−b2<0，故B错误； ③当x=−1时y=a−b+c,由图象知(−1,a−b+c)在第二象限， ∴a−b+c>0，故C正确 ④设C(0,c)，则OC=|c|， ∵OA=OC=|c|, ∴A(c,0)代入抛物线得ac2+bc+c=0，又c≠0， ∴ac+b+1=0，故D正确； 故选B． 11．D 【详解】解：时，函数， ∴ ∴ 函数, ∴ ∴ ∴. 故选：D 12．D 【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴， 解得：， ∴抛物线解析式为，且其对称轴为， 把代入得：， 解得：，， 抛物线与x轴的交点为：，， 把代入得：， 关于的一元二次方程（为实数）在范围内有两个不同的实数根， 则与有两个交点， 如图所示，    由图像可得：实数的取值范围是． 故选：D． 13．D 【详解】解：∵二次函数的对称轴为， ∴离对称轴越远，函数值越大， ∵ ∴， 故选：D． 14．B 【详解】解：∵ 二次函数为：， ∴ 抛物线开口向上，对称轴为， ①，当时，取得最小值15， 即：， ， 解得：，（舍去）； ②，且时，即时，当时，取得最小值15， 即：， ∴， 解得：或（舍去）； 当时，，， 此时当时取得最小值15， ∴， 解得：，不符合题意舍去， 综上：或． 故选：B． 15．C 【详解】解：∵二次函数， ∴该函数的对称轴是直线， ∴当时，当时，随的增大而减少，当时，随的增大而增大 ∴当时，当时， 当时， ∴， 解得 当时，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减少 ∴当时，当时， 当时， ∴ 解得 故选：C． 16．A 【详解】解：①∵，， ∴，当时，， ∴函数，在上不是“逼近函数”； ②∵，， ∴，当时，， 函数，在上是“逼近函数”； ③∵，， ∴，当时，， ∴是函数，的“逼近区间”； ④∵，， ∴，当时，， ∴不是函数，的“逼近区间”． 故选A 17．C 【详解】解：二次函数y＝﹣（x﹣1）2+10的大致图象如下： ∵mn＜0时，y的最小值为2m，y的最大值为2n， ∴m＜0，n＞0， ①当n＜1时，x＝m时，y取最小值，即2m＝﹣（m﹣1）2+10， 解得：m＝﹣3． 当x＝n时，y取最大值，即2n＝﹣（n﹣1）2+10， 解得：n＝3或n＝﹣3（均不合题意，舍去）； ②当n≥1时，当x＝m时，y取最小值，即2m＝﹣（m﹣1）2+10， 解得：m＝﹣3． 当x＝1时，y取最大值，即2n＝﹣（1﹣1）2+10， 解得：n＝5， 或x＝n时，y取最小值，x＝1时，y取最大值， 2m＝﹣（n﹣1）2+10，n＝5， ∴m＝﹣3， 所以m+n＝﹣3+5＝2． 故选：C． 18．B 【详解】解：因为翻折后与轴有4个交点， 所以， 又因为二次函数顶点为， 顶点关于的对称点为， 因为翻折后的图象与原来图象开口相反， 所以翻折后二次函数为， 所以， 所以， 故答案为：， 故选：B． 19．C 【详解】解：由图象得：a＞0，b＜0，c＜0，故①正确； ∵OD=OC， ∴=-c， ∴， ∴ac-b+1=0，故②错误， ∵a＞0， ∴对于任意，始终有，故③正确， ∵对称轴为直线x=m， ∴=m， ∴=3m，故④正确， 故选：C． 20．D 【详解】解：由二次函数可知开口向上，对称轴为直线， 当时，随的增大而减小，当时，y随x的增大而增大； ∵，是二次函数与x轴的交点，点是图象上的一点， ∴当时，则或；故、选项错误； 当时，则，故正确；当且时，此时有可能，故错误； 故选． 21． 【详解】解：∵向上平移2个单位长度， ∴所得的抛物线的解析式为． 故答案为． 22． 【详解】解：由函数图像可得，在A点的右侧（含A点），B点的左侧（含B点）时，满足， ∴． 故答案为：． 23． 【详解】解：抛物线与直线交于两点， 由图可得：不等式的解集是， 故答案为：． 24．5或/或5 【详解】解：的图象与轴交点的横坐标为和1， 又∵的对称轴为，的对称轴为， ∴两抛物线形状和开口方向相同，对称轴关于轴对称， ∴两抛物线与轴的交点也关于轴对称， 的图象与轴交点的横坐标为和5， 的两个根为和5， 故答案为：5或． 25．8米 【详解】解：当时，， 解得，（舍去）． 故答案为：8米． 26． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴当时， 解得：， 当时， 解得：， 结合二次函数图象如图所示： ∴时，或， 当时，为最小， 当时，为最大， ∴， 故答案为：． 27． 直线 1（答案不唯一） 【详解】解：当时，x的取值范围为或， ∴抛物线开口向上，点在抛物线上， ∴抛物线对称轴为直线， ， ， ， ， 解得， 将代入解析式得， ， ， ， 或， ∴m的值可以是1（答案不唯一）， 故答案为：直线，1（答案不唯一）． 28． 【详解】解：由题意可得， 当，，代入可得， ， 解得：； 设函数不动点为n，由题意可得， ，且有两个解，， 解得：，， 且，解得：， ∵， ∴，， 解得：， 故答案为：；． 29． 1 a＜k﹣3或a＞k+2 【详解】解：（1）∵二次函数y2＝x2﹣2kx+k2﹣k＝（x﹣k）2﹣k， ∴对称轴为x＝k，开口向上， ∴当x≤k时，y2随x的增大而减小， ∵当x＜1时，y2的函数值随x的增大而减小， ∴k≥1， ∴k的最小整数值为：1． 故答案为：1； （2）y＝y2﹣y1＝x2﹣2kx+k2﹣k+x＝x2﹣（2k﹣1）x+k2﹣k， ∵点M（k+2，s），N（a，b）都在函数的y图象上， ∴s＝（k+2）2﹣（2k﹣1）（k+2）+k2﹣k＝6， b＝a2﹣（2k﹣1）a+k2﹣k， ∵s＜b， ∴a2﹣（2k﹣1）a+k2﹣k＞6， ∵当a2﹣（2k﹣1）a+k2﹣k＝6时， a＝k﹣3或a=k+2， ∴a＜k﹣3或a＞k+2， 故答案为：a＜k﹣3或a＞k+2． 30．(1) (2)不在 【详解】（1）解：经过， ， 解得：， 故抛物线的表达式为：． （2）将点代入可得： ， 故点不在抛物线上． 31．(1)，； (2)． 【详解】（1）解：把点，代入抛物线得： ， 解得：， ∴抛物线的函数表达式为：， ∵， ∴抛物线的对称轴为：直线； （2）解：，理由如下： ∵，， ∴， ∴点，在对称轴的两侧， ∵， ∴， ∴点到直线的距离比到直线的距离远， ∴． 32．(1) (2)降价15元 (3)当降价10元时，所获利润最大为800元 【详解】（1）解： （2）解： 化简得： 为了尽快减少库存 答：需要降价15元 （3） 当时， 答：每套书降价10元时，书店获最大利润为800元 33．（1）5；（2）直角三角形． 【详解】解：（1）∵点D（3，0）在抛物线y＝x2﹣2x+c ∴9﹣6+c＝0， ∴c＝﹣3． 由y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，得顶点A为（1，﹣4） ∵顶点A在直线y＝x﹣a上， ∴当x＝1时， ∴y＝1﹣a＝﹣4， ∴a＝5； （2）△ABD是直角三角形； 由（1）可知，y＝x2﹣2x﹣3， ∴B（0，﹣3）， BD2＝OB2+OD2＝18，AB＝（4﹣3）2+12＝2，AD＝（3﹣1）2+42＝20， BD2+AB2＝AD2， ∴∠ABD＝90°，即△ABD是直角三角形． 34．(1)抛物线顶点坐标 (2)的值为或或1； (3) 【详解】（1）解：把点代入， 得， ∴函数解析式是， 抛物线顶点坐标； （2）解：∵二次函数的图象与坐标轴有两个交点时，抛物线顶点在轴上或者抛物线经过原点， ①抛物线顶点在轴上，即抛物线与轴有唯一交点． 令，即则， 解得； ②抛物线经过原点，即解得， 当时，，满足题意． 综上所述，的值为或或1； （3）解：点是函数图象上有两个不同的点， ∴，， ， ， ∴ ， 点是图象上有两个不同的点， ， ． 35．(1)； (2)； (3)见解析． 【详解】（1）解：把带入解析式得：， 解得：， ． （2）解：由题意得：，即， ∴对称轴为直线， ∵， ∴与关于对称， 又∵， ∴，即， ∴． （3）解：由题意得： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 36．(1) (2)球不能射进球门，理由见解析 (3) 【详解】（1）解： ， 抛物线的顶点坐标为， 设抛物线，把点代入得：，解得， 抛物线的函数表达式为； （2）解：依题意，当时，， 球不能射进球门． （3）解：设小明带球向正后方移动米，则移动后的抛物线为， 把点代入得：， 解得（舍去）或， 把点代入得：， 解得：（舍去）或， 即． 37．(1)9；6； (2) 【详解】（1）解：抛物线的顶点为， 抛物线的顶点到轴的距离是9， 拋物线关于轴的矢高是9， 在中，当时，， 解得， ， 抛物线关于轴的跨径是6， 矢跨比是； （2）设以主跨的对称轴为y轴的坐标系，如图， 依题意主跨的矢跨比为，设矢高是a，则跨径是，设主跨的抛物线表达式为 ∵主跨的跨径为420米， ∴，解得， ∵根据跨径为420，抛物线与x轴交点， ∴，解得， 则主跨的抛物线表达式为 ∵主跨与边跨的拱轴线为开口方向与大小一样的抛物线， ∴设边跨的抛物线表达式为 ∵边跨的跨径为280米， ∴边跨的抛物线与x轴交和， ∴，解得， 则边跨的抛物线表达式为 即其顶点坐标为， 边跨的矢跨比为， 38．(1) (2) (3)见解析 【详解】（1）解：依题意，设T的坐标， 则的顶点坐标为，二次项系数为 因为M，T满足如下关系：它们的横坐标的和为抛物线顶点横坐标的2倍，T与M的纵坐标的差等于抛物线二次项系数的倒数， 所以， 解得， 则T的坐标为； （2）解：设P所对的“圈心”坐标为， 则，则顶点坐标为，二次项系数为 ∵点P是抛物线上的点，它的横坐标是2， 则，故点P的坐标为 ∴， 解得， 所以P所对的“圈心”坐标为； （3）解：依题意，设点， 则 ∵轴于Q， ∴， ∵作交y轴于点T， ∴ 即 则 所以 那么、 则的顶点坐标为，二次项系数为， 因为， 所以原点所对圈心坐标为 即点O所对的“圈心”是点T 39．(1) (2)， （答案不唯一） (3)证明见解析 【详解】（1）解：把代入得:， ∵当时，， ∴， ∴， ∴二次函数的关系式为． （2）解：令，则， 当时，则， ∴， ∴若，时，函数的图象与x轴只有一个公共点， ∴此时函数为， ∴此函数的顶点坐标为(答案不唯一) ． （3）证明：∵二次函数的图象和直线都经过点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 40．(1)2，6，8 (2)“靶点”的坐标 (3)存在两个不同的“基点”，理由见解析 【详解】（1） 解：由定义可知，， 故答案为：2，6，8； （2） 解：由题意可知，“衍生函数”为 ∵顶点在轴上， ， ∴一次函数为， ∵“基点”的横坐标为4， ， ∵点与点关于轴对称， ∵反比例函数为， ， ∴， 解得， ∴“靶点”的坐标； （3）点有两个基点.      理由如下 ：              证明：由题意可知“衍生函数”为， ∵经过点，代入可得 ， ∵点关于轴对称 设，则且 把代入得 两边乘以得 即 ， ∴方程有两个不同的实数根， ∴一次函数图象上存在两个不同的基点； 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