计数原理、统计与概率小专题检测卷-2025届高三数学一轮复习

计数原理、统计与概率小专题-2025年高考数学常考易错一轮复习检测卷 一、单选题 1．样本数据12，8，32，10，24，22，12，33的第60百分位数为（    ） A．8 B．12 C．22 D．24 2．从三个数字组成的没有重复数字的三位数中任取一个数，则该数为偶数的概率为（    ） A． B． C． D． 3．若，，，则事件A与事件B的关系是（    ） A．事件A与事件B互斥 B．事件A与事件B互为对立 C．事件A与事件B相互独立 D．事件A与事件B互斥又独立 4．展开式中项的系数为（    ） A．80 B． C．40 D． 5．如图是一个射击靶的示意图，其中每个圆环的宽度与中心圆的半径相等.某人朝靶上任意射击一次没有脱靶，则其命中环的概率为（    ） A． B． C． D． 6．下图是某地区2016-2023年旅游收入(单位:亿元)的条形图，则下列说法错误的是（    ）    A．该地区2016-2019年旅游收入逐年递增 B．该地区2016-2023年旅游收入的中位数是4.30 C．经历了疫情之后，该地区2023年旅游收入恢复到接近2018年水平 D．该地区2016-2023年旅游收入的极差是3.69 7．已知随机变量的分布是，则等于（    ） A． B． C． D． 8．空气质量的指标是反映空气质量状况的指数，指数的值越小，表明空气质量越好，指数不超过50，空气质量为优，指数大于50且不超过100，空气质量为良，指数大于100，空气质量为污染，如图是某市2020年空气质量指标的月折线图.下列关于该市2020年空气质量的叙述中不一定正确的是（    ） A．全年的平均指数对应的空气质量等级为优或良. B．每月都至少有一天空气质量为优. C．空气质量为污染的天数最多的月份是2月份. D．2月，8月，9月和12月均出现污染天气. 二、多选题 9．某运动员的特训成绩分别为：9，12，8，16，12，16，13，20，18，16，则这组数据的（    ） A．极差为12 B．众数为16 C．平均数为14 D．第80百分位数为16 10．已知，则（    ） A． B． C． D． 11．下列说法中正确的是（    ） A．某射击运动员在一次训练中次射击成绩单位：环如下：，，，，，，，，，，这组数据的上四分位数为 B．若随机变量，且，则 C．若随机变量，且，则 D．对一组样本数据，，，进行分析，由此得到的线性回归方程为：，至少有一个数据点在回归直线上 三、填空题 12．随机变量，则 ． 13．围棋起源于中国，据先秦典籍《世本》记载：“尧造围棋，丹朱善之”，围棋至今已有四千多年历史，蕴含着中华文化的丰富内涵．在某次国际比赛中，中国派出包含甲、乙在内的5位棋手参加比赛，他们分成两个小组，其中一个小组有3位，另外一个小组有2位，则甲和乙不在同一个小组的概率为 . 14．设为大于2的自然数，将二项式两边同时求导，可以得到一些特别的组合恒等式，结合课本中杨辉三角研究方法，可以得到 . 四、解答题 15．课外阅读对于培养学生的阅读兴趣、拓宽知识视野、提高阅读能力具有重要作用．某市为了解中学生的课外阅读情况，从该市全体中学生中随机抽取了500名学生，调查他们在寒假期间每天课外阅读平均时长（单位：分钟），得到如下所示的频数分布表，已知所调查的学生中寒假期间每天课外阅读平均时长均不超过100分钟． 时长 学生人数 50 100 200 125 25 (1)估计这500名学生寒假期间每天课外阅读平均时长的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； (2)若按照分层抽样的方法从本次调查中寒假期间每天课外阅读平均时长在和的两组中共抽取6人进行问卷调查，并从6人中随机选取2人进行座谈，求这2人中至少有一人寒假期间每天课外阅读平均时长在的概率． 16．同城配送是随即时物流发展而出现的非标准化服务，省时省力是消费者使用同城配送服务的主要目的.某同城配送服务公司随机统计了800名消费者的年龄（单位：岁）以及每月使用同城配送服务的次数，得到每月使用同城服务低于5次的有550人，并将每月使用同城配送服务次数不低于5次的消费者按照年龄进行分组，得到如图所示的频率分布直方图. (1)估计每月使用同城配送服务不低于5次的消费者年龄的平均值和中位数（结果精确到0.1，每组数据用该组区间的中点值代表）； (2)若年龄在内的人位于年龄段，年龄在内的人位于年龄段II，把每月使用同城配送服务低于5次的消费者称为“使用同城配送服务频率低”，否则称为“使用同城配送服务频率高”，若800名消费者中有400名在年龄段I，补全列联表，并判断是否有的把握认为消费者使用同城配送服务频率的高低与年龄段有关？ 年龄段I 年龄段II 合计 使用同城配送服务频率高 使用同城配送服务频率低 合计 参考公式：，其中.附： 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 17．为更好地发挥高考的育才作用，部分新高考试题采用了多选题这一新题型．多选题的评分规则如下：对于多选题，每个小题给出的四个选项中有两项或三项是正确的，满分6分．全部选对得6分，有错选或全不选的得0分．正确答案为两项时，选对1个得3分；正确答案为三项时，选对1个得2分，选对2个得4分．某数学小组研究发现，多选题正确答案是两个选项的概率为，正确答案是三个选项的概率为．现有一道多选题，学生李华完全不会，此时他有三种答题方案：Ⅰ．随机选一个选项；Ⅱ．随机选两个选项；Ⅲ．随机选三个选项． (1)若，且学生李华选择方案I，求本题得分的数学期望； (2)以本题得分的数学期望为决策依据，的取值在什么范围内唯独选择方案Ⅰ最好？ 18．正态分布与指数分布均是用于描述连续型随机变量的概率分布．对于一个给定的连续型随机变量X，定义其累积分布函数为．已知某系统由一个电源和并联的A，B，C三个元件组成（如图），在电源电压正常的情况下，至少一个元件正常工作才可保证系统正常运行，电源及各元件之间工作相互独立． (1)已知电源电压X（单位：V）服从正态分布，且X的积累分布函数为，求； (2)在数理统计中，指数分布常用于描述事件发生的时间间隔或等待时间．已知随机变量T（单位：天）表示某高稳定性元件的使用寿命，且服从指数分布，其累计分布函数为．设，证明：； 附：若随机变量Y服从正态分布，则，，． 19．脑机接口，即指在人或动物大脑与外部设备之间创建的直接连接，实现脑与设备的信息交换.近日埃隆.马斯克宣布，脑机接口公司Neuralink正在接收第二位植入者申请，该试验可以实现意念控制手机和电脑.未来10到20年，我国脑机接口产业将产生数百亿元的经济价值.为了适应市场需求，同时兼顾企业盈利的预期，某科技公司决定增加一定数量的研发人员，经过调研，得到年收益增量（单位：亿元）与研发人员增量（人）的10组数据.现用模型①，②分别进行拟合，由此得到相应的经验回归方程，并进行残差分析，得到如图所示的残差图. 根据收集到的数据，计算得到下表数据，其中. 7.5 2.25 82.50 4.50 12.14 2.88 (1)根据残差图，判断应选择哪个模型；（无需说明理由） (2)根据（1）中所选模型，求出关于的经验回归方程；并用该模型预测，要使年收益增量超过8亿元，研发人员增量至少多少人？（精确到1） 附：对于一组具有线性相关关系的数据，其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．C 【分析】根据给定条件，利用第60百分位数的定义求解即得. 【详解】样本数据12，8，32，10，24，22，12，33，按从小到大排序为8，10，12，12，22，24，32，33， 由，得样本数据的第60百分位数为升序排列的第五个数，即22. 故选：C 2．D 【分析】先求出组成无重复的三位数的个数，再求出是偶数的三位数的个数，根据古典概型求出概率即可. 【详解】因为由1，2，3组成没有重复数字的三位数的个数为；， 由1，2，3组成没有重复数字的三位数的偶数的个数为：， 所以由1，2，3组成没有重复数字的三位数，从中任取一个为偶数的概率为. 故选：D 3．C 【分析】根据积事件概率不为零可确定A与B能同时发生，不互斥，得不对立，可得ABD错误；根据独立事件概率公式可知C正确. 【详解】对于A,D,∵，∴A与B能同时发生，不互斥，故A,D错误； 对于B，∵，∴，又∵，，∴事件A与事件B不是对立事件，故B错误； 对于C,∵，∴，∴事件A与事件B相互独立，故C正确， 故选：C． 4．B 【分析】根据二项式定理，写出其通项即可求特定项的系数 【详解】的二项展开式的通项为， 令，得， 所以的展开式中的系数为. 故选：B 5．A 【分析】设中心环圆的半径为，则大圆的半径为，求出大圆的面积与环所在圆环的面积，再由几何概型的概率公式计算可得. 【详解】设中心环圆的半径为，则射击靶所在大圆的半径为，面积为； 环所在圆环的面积为，故所求概率. 故选：A 6．B 【分析】根据中位数、极差的定义即可判断BD；结合图形，分析数据即可判断AC. 【详解】A：由图可知该地区2016-2019年旅游收入逐年递增，故A正确； B：由图可知，2016-2023年旅游收入的中位数为亿元，故B错误； C：从图表可知2023年旅游收入为4.91亿元，接近2018年的5.13亿元，故C正确； D：2016-2023年旅游收入的极差是亿元，故D正确. 故选：B. 7．C 【分析】利用分布列求出，求出期望即可． 【详解】由题意可得，解得， ． ． 故选：C． 8．C 【分析】根据折线图的信息即可判断出答案. 【详解】对于A，由折线图知平均AQI指数值不超过100 所以A正确; 对于B，通过折线图知平均AQI指数均在50以下，说明至少有一天空气质量为优，所以B正确; 对于C，根据折线图2月份出现最大值，并不表示空气质量为“污染”的天数最多的月份是2月份，所以C错误； 对于D，2月，8月，9月和12月的最大值AQI指数有大于100，空气质量为“污染”，所以D正 确; 故选: C. 9．ABC 【分析】按照从小到大的顺序将数据重新排列，再根据极差、众数、平均数、百分位数的定义即可得出结果. 【详解】将数据从小到大排列可得：8，9，12，12，13，16，16，16，18，20； 所以极差为，即A正确； 其中16出现了3次，出现次数最多，所以众数为16，即B正确； 平均数为，即C正确； 因为，所以第80百分位数为第8个和第9个数的平均值，即，即D错误. 故选：ABC 10．AC 【分析】先对式子进行化简，再根据二项式定理求解即可. 【详解】依题意得，所以945，故A项正确； 令，得，令，得，所以，故B项错误； 令，得①， 又②， 由①+②可得，故C项正确； 同理，由②-①得，故D项错误. 故选：AC. 11．ABC 【分析】根据百分位数即可求解A，根据二项分布的期望和方差公式即可求解B，根据正态分布的对称性即可求解C，根据回归直线的定义即可求解D. 【详解】对于A，把次射击成绩从小到大排列为，，，，，，，，，. 由，可得这组数据的上四分位数为第个数，等于，故A正确； 对于B，若随机变量，且，则， ，故B正确； 对于C，若随机变量，且，则， ，故C正确； 对于D，对于线性回归方程为：，其中的样本数据可能都不在回归直线上，故D错误. 故选：ABC. 12．0.6/ 【分析】借助二项分布的期望公式计算即可得. 【详解】由，则，即. 故答案为：. 13． 【分析】首先求分组的方法，再利用古典概型概率公式求解. 【详解】5人分成2个小组，一组3位，一组2位，共有种方法， 甲和乙不在同一个小组，则甲所在组有2人或3人，则有种方法， 所以甲和乙不在同一个小组的概率. 故答案为： 14． 【分析】对 ，两边同乘以整理后再对求导，然后令代入整理即可. 【详解】对 ，两边同乘以得： ， 两边同时求导得， 令得， 即. 故答案为：. 15．(1)49； (2). 【分析】（1）利用频率分布表估算平均数即可得解. （2）求出两个指定区间内的人数，利用列举法求出概率. 【详解】（1）依题意，样本中500名学生寒假期间每天课外阅读平均时长的平均数 ， 所以估计这500名学生寒假期间每天课外阅读平均时长的平均数为49． （2）抽取的6人中寒假期间每天课外阅读平均时长在内有：人，在内有4人， 记内的2人为A，B，记内的4人为， 从这6人中随机选2人的基本事件有： ，共15种， 其中至少有一人每天课外阅读平均时长在的基本事件有，共9种， 设“选取的2人中至少有一人每天课外阅读平均时长在”，则． 16．(1)平均数为33.4，中位数为32.3 (2)表格见解析，有的把握认为同城配送服务的使用频率高低与年龄段有关. 【分析】（1）根据频率分布直方图中的平均数和中位数求解公式求解即可； （2）根据题目数据完善列联表，计算卡方，与临界值比较即可判断. 【详解】（1）每月使用同城配送服务不低于5次的消费者年龄的平均数为 设每月使用同城配送服务不低于5的消费者年龄的中位数为， 则，解得. （2）补全的列联表如下： 年龄段I 年龄段II 合计 使用同城配送服务频率高 145 105 250 使用同城配送服务频率低 255 295 550 合计 400 400 800 所以. 所以，有的把握认为同城配送服务的使用频率高低与年龄段有关. 17．(1) (2) 【分析】（1）记为“从四个选项中随机选择一个选项的得分”，则可以取0，2，3，由全概率公式算出对应的概率，即可得分布列，进而求得数学期望； （2）分别求出三个得分的数学期望，然后列出不等式组，即可求得的取值范围. 【详解】（1）记为“从四个选项中随机选择一个选项的得分”，则可以取0，2，3， ，， ， 所以的分布列为 0 2 3 则数学期望． （2）记为“从四个选项中随机选择一个选项的得分”，则的所有可能取值为0，2，3， 则， ， ， 所以； 记为“从四个选项中随机选择两个选项的得分”，则的所有可能取值为：0，4，6，   则， ， ， 所以； 记为“从四个选项中随机选择三个选项的得分”， 的所有可能取值为：0，6， 则， ， 所以． 要使唯独选择方案最好，则， 解得：，故的取值范围为． 18．(1)0.8186 (2)证明见解析 【分析】（1）根据正态分布的对称性即可结合的定义求解； （2）根据条件概率的计算公式结合的定义以及的定义域即可求解. 【详解】（1）由题设得， 所以 . （2）由题设得： ， 所以． 19．(1)选择模型② (2)，10人 【分析】（1）根据残差图分析判断； （2）令与可用线性回归来拟合，有，然后根据公式结合已知的数据求出，从而可求出关于的经验回归方程，进而可求出关于的经验回归方程，再由可求出研发人员增量. 【详解】（1）选择模型②，理由如下： 由于模型②残差点比较均匀在落在水平的带状区域中，且带状区域的宽度比模型①带状宽度窄， 所以模型②的拟合精度更高，回归方程的预报精度相应就会越高，所以模型②比较合适. （2）根据模型②，令与可用线性回归来拟合，有. 则，所以 则关于的经验回归方程为，所以关于的经验回归方程为. 由题意，，解得，又为整数，所以. 所以，要使年收益增量超过8亿元，研发人员增量至少为10人. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$