导数及其应用小专题检测卷-2025届高三数学一轮复习

导数及其应用小专题-2025年高考数学常考易错一轮复习检测卷 一、单选题 1．若曲线的一条切线方程是，则（    ） A． B．1 C． D．e 2．函数（    ） A．是偶函数，且在区间上单调递增 B．是偶函数，且在区间上单调递㺂 C．是奇函数，且在区间上单调递增 D．既不是奇函数，也不是偶函数 3．已知函数，则（    ） A． B． C． D． 4．如图是函数的部分图象，记的导数为，则下列选项中值最大的是（    ） A． B． C． D． 5．已知符号函数，则函数零点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 6．已知，定义运算：，其中是函数的导数．若存在极大值点，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．已知函数则在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 8．奇函数于上连续，满足当时，，且，若对任意使得直线，垂直的正数，都有：，则的最大可能值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．设函数，则（    ） A．在上单调递减 B．在上的最大值为 C．方程只有一个实根 D．，都有成立 10．已知，且时，，则（    ） A． B． C．若，且为常函数，则在区间内仅有1个根 D．若，则 11．已知函数，的定义域为，的导函数为，且，，若为偶函数，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．若存在使在上单调递增，在上单调递减，则的极小值点为 D．若为偶函数，则满足题意的唯一，满足题意的不唯一 三、填空题 12．已知函数在上只有两个零点，则实数的取值范围为 ． 13．已知函数的图象在点处的切线方程是，若，则的值为 . 14．已知三次函数有三个零点，则的值是 .（是的导函数） 四、解答题 15．已知函数． (1)当时，求函数过原点的切线方程； (2)若有三个零点，求a的取值范围． 16．已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若的最小值为m，求证． 17．已知a，b为常数，且，函数 (1)求实数b的值；并求函数的单调区间； (2)当时，直线与曲线有公共点，求t的取值范围． 18．已知函数， (1)当时，求的单调递增区间； (2)若在上恒成立，求实数的取值范围； (3)令函数，求证：． 19．广州小蛮腰是广州市的地标性建筑，奇妙的曲线造型让建筑充满了美感，数学上用曲率表示曲线的弯曲程度.设函数的导函数为的导函数记为，则函数的图象在的曲率. (1)求椭圆在处的曲率； (2)证明：函数图象的曲率的极大值点位于区间. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．A 【分析】求出原函数的导函数，利用切点处的导数值等于切线的斜率求解切点坐标，把切点坐标代入切线方程求值． 【详解】由，得， 设切点坐标为，由，得， 切点坐标为，代入，得，即． 故选：A． 2．A 【分析】借助函数奇偶性的定义可判断函数奇偶性，借助导数即可得函数单调性. 【详解】的定义域为，， 为偶函数； 当时，在区间上单调递增. 故选：A. 3．D 【分析】利用导数判断函数的单调性，作差比较得，令，利用导数判断的单调性得，进而利用函数单调性可得函数值的大小. 【详解】因为，所以， 当时，，故函数在上单调递减， 当时，，故函数在上单调递增， 因为，所以， 令，则， 即函数在上单调递减，故，即， 所以，因为函数在上单调递减， 所以，即. 故选：D 【点睛】方法点睛：利用导数比较大小的基本步骤： （1）作差或变形； （2）构造新的函数； （3）利用导数研究的单调性或最值； （4）根据单调性及最值，得到所证不等式. 4．A 【分析】由函数的图象，结合导数的几何意义，即可判断. 【详解】 由图可知，为负数，为正数，故不选， 设在处的点为，显然的斜率大于， 则，可转化为， 所以的值最大. 故选：A． 5．C 【分析】根据零点的定义计算即可. 【详解】当，即时，， 在上恒成立， 所以在单调递减， 因为， 所以存在使得. 当，即时，， 因为，所以是的的零点. 当，即时，，， 令，得，令，得， 所以在单调递增，在单调递减， 所以， 此时在没有零点， 综上，的零点个数为2. 故选：C 6．A 【分析】通过定义先求出的解析式，再求出其导函数，依题意可得，即可得到，又，令，利用导数说明函数的单调性，即可求出的取值范围，再令，其中，利用导数说明函数的单调性，即可求出的取值范围. 【详解】因为， 所以，定义域为， 则， 当时在上单调递增， 当时，当时， 此时存在使得， 则当时，，所以在上单调递减， 当时，，所以在上单调递增， 所以在处取得极小值，不存在极大值点，不符合题意，所以； 当时令，则， 所以当时，，此时单调递增， 当时，，此时单调递减， 且当时，当时， 则，所以， 此时存在使得，使得， 即当时，即，则在和上单调递减， 当时，即，则在上单调递增， 此时在处取得极大值； 因为存在极大值点， 所以，则， 所以， 设，则， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增； 所以在处取得极小值，且． 因为，且， 所以． 令，其中， 所以， 当时，，在上单调递减， 所以， 所以， 又因为， 可得， 综上，的取值范围是． 故选：A． 【点睛】关键点点睛：本题关键是推导出，再由构造新函数，利用导数求出的取值范围. 7．B 【分析】根据分段函数结合导函数求出，再根据点斜式得出直线方程. 【详解】当时，， 当时，，则， 所以，． 则所求的切线方程为，即． 故选：B. 8．D 【分析】先确定满足，然后证明原命题的充要条件是，即可得到的最大值. 【详解】由已知可得在上二阶可导，从而对，设. 则当时，有. 所以在上恒为定值，设为，则对有. 这表明对任意，都有，所以不小于每一个负数，故. 由于对，由知或，但在上二阶可导，故和都连续. 所以连续，从而只可能恒有或恒有. 若，设，则. 所以在上恒为定值，但由于在上连续，故在上连续，从而在上恒为定值. 而是奇函数，故，所以对有. 这就得到，故. 若，同理可得， 但这就得到，矛盾. 所以必有，再代入得. 从而. 由于对满足，故在上单调递增. 而，，. 故，从而对有，又因为是奇函数，故对任意实数都有. 另外，两直线，垂直，当且仅当，即. 根据之前得到的，不等式等价于，即. 因此问题可等价转化为：若对任意满足的正数都有，求的最大值. 一方面，若对任意满足的正数都有，则特别地，我们可以取，，因为它们都是正数，且满足. 这就得到，从而； 另一方面，若，则. 从而对任意满足的正数，我们有 ， 所以，即，从而此时的满足条件. 综上，原命题成立的充要条件是，这表明的最大值是. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于构造恰当的函数，从而能够利用题目条件得到新函数的性质. 9．BCD 【分析】利用导数研究函数的单调性和最值即可判断A，B；数形结合即可判断C； 令，利用导数分析函数的单调性即可判断D. 【详解】由题可得，令，则， 当时，，所以，在上单调递减． 又，所以当时，，即，当 时，，即， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以在上，． 当时，， 所以在上的最大值为，故A错误，B正确； ，即， 由图象知，与的图象只有一个交点，故C正确；    令，则， 当时，，单调递增， 当时，，当时，， 所以在上先增后减， 又，，所以成立，故D正确． 故选：BCD． 【点睛】利用导数分析三角函数单调性： 第一，函数解析式中或，图象特点比较复杂； 第二，一阶导函数看正负，原函数看增减.三角函数与其他函数结合的进行求导后，正负号的判断，隐零点卡根取点因为三角函数周期性的变化，处理起来思路繁杂、技巧多； 第三，三角函数会涉及不等式放缩. 10．AD 【分析】利用给定等式，作变量替换，借助余弦函数有界性判断A；变形给定等式，借助正余弦齐次式法及基本不等式判断B；根据给定条件求出，利用导数探讨值范围判断C；利用给定等式变形，再构造函数，利用导数函数值范围即得. 【详解】对于A，由，得，A正确； 对于B，当时，，B错误； 对于C，，则，而， 则， 于是，由为常函数，得，则， 令，求导得恒成立，即函数在上递增， 则，即，因此，在区间内无实根，C错误； 对于D，， 令，由，得，， 令，求导得， 函数在上单调递减，，因此，D正确. 故选：AD 【点睛】方法技巧：已知函数零点（方程根）的个数，求参数的取值范围问题的三种常用方法： ①直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式（组），再通过解不等式（组）确定参数的取值范围； ②分离参数法，先分离参数，将问题转化成求函数值域问题加以解决； ③数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中作出函数的图象，然后数形结合求解. 11．ABD 【分析】代入求得判断A；利用函数的周期判断B；利用已知条件和函数的周期性判断C；根据函数的奇偶性结合已知条件求出，判断D. 【详解】对A，因为为偶函数，所以是奇函数，所以，又，所以，故A对； 对B，由，，得， 所以，所以，， 又，所以是周期为4的函数，也是周期为4的函数， 所以，故B对； 对C，在上严格增，在上严格减， 由，可知在严格递减，在严格递增， 又的周期为4， 所以在严格递增， 所以在严格递减，在严格递减， 又，所以0是的极大值点，是周期为4的函数， 所以则的极小值点为，故C错； 对D，若为偶函数，由于是奇函数，，则， 即，所以，，所以唯一，不唯一，故D对. 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是充分利用导数与函数单调性和极值的关系，并结合函数的奇偶性和周期性分析. 12． 【分析】由题意可得，将问题转化为直线与的图象有两个交点，利用导数确定函数的单调区间及最值，作出图象，利用思想结合的思想求解． 【详解】令，则有， 因为，所以， 令，则直线与的图象有两个交点， 因为， 所以当时，，单调递增； 时，，单调递减； 所以． 又当时，，当时，， 故的图象如图所示： 所以． 所以实数的取值范围为：． 故答案为：． 【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 13． 【分析】首先通过切线方程将，算出，再求出，将代入计算即可. 【详解】将代入切线方程，得，故 ， 由切线方程斜率可知，，， 故答案为: . 14．0 【分析】根据题意设出的解析式，再利用导数求得，代入所求通分即可得解. 【详解】依题意，设，其中互不相等， 则， 故，， ， 所以 . 故答案为：0. 15．(1) (2) 【分析】（1）求导，根据切点求解切线方程，代入原点坐标可得，即可求解， （2）求导，即可根据函数的单调性，进而根据零点个数，得，代入即可求解. 【详解】（1）当时，，则， 设切点 切线方程： 由于切线过原点，所以，解得， ∴切线方程： （2）， 当时，恒成立，所以在上单调递增，至多一个零点； 当时，令，得，令，得， 令，得或， 所以在上单调递减，在，上单调递增． 有三个零点，则，即，解得， 当时，， 且， 所以在上有唯一一个零点， 同理，， 所以在上有唯一一个零点， 又在上有唯一一个零点，所以有三个零点， 综上可知a的取值范围为 16．(1)答案见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）求导得，对分类讨论：①；②.分别判断的符号，即可得的单调性； （2）由（1）可知当时，设，求导分析单调性、最值，即可求解. 【详解】（1）， 当时，，所以在上单调递增； 当时，令， 解得， 当时，， 当时，， 所以在上单调递减；在上单调递增； （2）由（1）可知当时，， 所以， 设， 则， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以． 17．(1)，答案见详解 (2) 【分析】（1）把代入函数，解方程即可求得实数的值；先求导数，然后在定义域内，判断导数的符号，确定函数的单调区间； （2）由已知，求出函数在上的值域，即可得到t的取值范围． 【详解】（1）因为，所以，得； 则，， 所以， 当时，由得，由得， 当时，由得，由得， 综上，当时，的递增区间为，递减区间为； 当时，的递增区间为，递减区间为. （2）当时，， 结合（1）所的的单调区间可得，当在区间变化时，，随的变化情况如下表： 1 0 单调递减 极小值1 单调递增 2 又，所以函数在上的值域为， 则当直线与曲线有公共点， 所以t的取值范围是. 【点睛】方法点睛：利用导数判断函数单调性的步骤是：（1）确定函数的定义域；（2）求出函数的导数，（3）在函数的定义域内解不等式或；（4）确定函数的单调区间.若函数式中含字母系数，则要分类讨论. 18．(1)单调递增区间是 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）对函数求导后，由导数大于零可求出函数的单调递增区间； （2）不等式恒成立等价于在上恒成立，令，则由，可得，，然后将问题转化为只需证明即可，分，和三种情况讨论即可； （3）由（2）可得，对于，令，则有，然后累加可证得结论. 【详解】（1）由得 当，时，， 所以的单调递增区间是 （2）不等式恒成立等价于在上恒成立， 令，则由可得， 因为可以看作是关于的一次函数，单调递增， 所以令，对于，恒成立． 只需证明即可． ①当时，， 则，在上单调递减，又， 所以此时恒成立． ②当时， 则恒成立， 所以在上单调递增，又，所以此时恒成立． ③当时，单调递增， 因为， 所以在上存在唯一的，使得， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 因为，， 所以， 综上恒成立，故恒成立， 所以． （3）由（2）可知 ，令，， 可得到， 从而， 即得证． 【点睛】关键点点睛：此题第（2）问解题关键是由，求得，将问题转化为证明即可. 19．(1) (2)证明见解析 【分析】（1）先求导得出函数值再计算曲率； （2）先求二阶导数得出曲率函数，再设变量构造新函数求导得出函数单调性继而得出极值即可判断证明区间. 【详解】（1）当时，由，得， 则 即椭圆在处的曲率为 （2）由， 得， 令，则， 令，. 令， 在区间上单调递减，， 故存在，使， 当时，，即；当时，，即. 为的极大值点，由，知， ，即的极大值点位于区间. 【点睛】方法点睛：设变量构造新函数求导得出函数单调性继而得出极值即可判断证明区间. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$