第十三章轴对称单元测试卷2024-2025学年人教版八年级数学上册

人教版八年级数学上册第十三章轴对称单元测试卷 一、单选题 1．如图，△ABC与△A'B'C'关于直线L对称，∠A＝50°，∠C'＝30°，则∠B的度数为（　　） A．30° B．50° C．90° D．100° 2．如图，△ABC中，EF是AB的垂直平分线，与AB交于点D，BF＝6，CF＝2，则AC的长度为（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 3．2024年4月23日是第29个世界读书日，习近平总书记多次强调读书的重要性，倡导全社会都参与到阅读中来，形成爱读书、读好书、善读书的浓厚氛围．图书馆是开展全民阅读的重要场所，以下是我省四个城市的图书馆标志，其文字上方的图案是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 4．以下四大通讯运营商的企业图标中，是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 5．第24届冬季奥林匹克运动会于2022年2月20日在世界首个“双奥之城”——北京圆满落下帷幕．下列图中所示的四个图案是四届冬季奥林匹克运动会会徽图案上的一部分图形，其中是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 6．下列四种基本尺规作图分别表示：①作一个角等于已知角；②作一个角的平分线；③作一条线段的垂直平分线；④过直线外一点P作已知直线的垂线，则对应选项中作法错误的是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 7．如图，点D、E分别为△ABC的边AB、AC上的点，BE与CD相交于点O，现有四个条件：①AB＝AC；②OB＝OC；③∠ABE＝∠ACD；④BE＝CD，选择其中2个条件作为题设，余下2个条件作为结论，所有命题中，真命题的个数为（　　） A．.3 B．.4 C．.5 D．、6 8．如图，在中，，，．则下列等式成立的是（　　） A． B． C． D． 9．下列四届奥运会标志图案中，是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 10．如图，正△ABC的边长为2，过点B的直线l⊥AB，且△ABC与△A′BC′关于直线l对称，D为线段BC′上一动点，则AD+CD的最小值是（　　） A．4 B．3 C．2 D．2+ 二、填空题 11．已知和关于轴对称，则的值为　 　． 12．若等腰三角形中有一个角等于50°，则这个等腰三角形的顶角的度数为　 　. 13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠CAB交边BC于点D，E，F分别是AD，AC上的点，连接CE，EF.若AB＝10，BC＝6，AC＝8，则CE＋EF的最小值是　 　. 14．如图，在3×3的网格中，每个网格线的交点称为格点．已知图中A，B两个格点，请在图中再寻找另一个格点C，使△ABC成为等腰三角形，则满足条件的点C有 　 　个． 三、解答题 15．在△ABC中，∠C=90°，DE垂直平分斜边AB，分别交AB、BC于D、E，若∠CAE=∠B+30°，求∠AEC的度数。 16．如图，在△ABC中，点E在AB上，点D在BC上，BD=BE，∠BAD=∠BCE，AD与CE相交于点F．试判断△AFC的形状，并说明理由． 17．如图，△ABC在平面直角坐标系中，其顶点坐标分别为A（﹣2，2），B（﹣4，﹣2），C（﹣1，﹣2）．在坐标系中画出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′． ​ 18．如图，已知 AB=AC，∠A=40°，AB=10，DC=3，AB 的垂直平分线 MN 交 AC 于点 D，求∠DBC 的度数、线段 BD 的长度。 四、综合题 19．在等边三角形ABC中，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，且∠ABP=∠ACQ，BP=CQ． （1）求证：△ABP≌△ACQ； （2）请判断△APQ是什么形状的三角形？试说明你的结论． 20．已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B、C重合）．以AD为边作正方形ADEF，连接CF． （1）如图1，当点D在线段BC上时，求证：BD⊥CF．BD=CF． （2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其它条件不变，第（1）问结论还成立吗？并说明理由． （3）如图3，当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A、F分别在直线BC的两侧，其它条件不变： ①请直接写出CF、BC、CD三条线段之间的关系． ②若连接正方形对角线AE、DF，交点为O，连接OC，探究△AOC的形状，并说明理由． 21．如图，在等边三角形 中， ，点 是 边上的一点，过点 作 交 于点 ，过点 作 ，交 的延长线于点 . （1）求证： 是等腰三角形； （2）点 满足什么条件时，点 是线段 的三等分点？并计算此时 的面积. 22．如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4． （1）试说明AB∥CD； （2）若∠BAD＝∠BDA，且∠EBF＝110°，求∠ADC的度数． 23．如图，P是等边△ABC的AB边上一点，过P作PE⊥AC于E，在BC的延长线上截取CQ=AP，连接PQ交AC于点D． （1）若∠Q=28°，求∠EPD的度数； （2）求证：PD=QD． 答案解析部分 1．【答案】D 【解析】【解答】解：因为△ABC与△A'B'C'关于直线L对称， 所以∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，∠C＝∠C′， 所以∠B＝180°−50°−30°＝100°， 故答案为：D． 【分析】利用轴对称图形的性质得出对应角，进而得出答案． 2．【答案】C 【解析】【解答】解：∵EF是AB的垂直平分线，BF＝6， ∴AF=BF=6， ∵CF＝2， ∴AC=AF＋CF=8. 故答案为：C. 【分析】由线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等可得AF=BF=6，利用AC=AF＋CF即可求解. 3．【答案】C 4．【答案】D 5．【答案】B 【解析】【解答】解：A、此图形不是轴对称图形，故A不符合题意； B、此图形是轴对称图形，故B符合题意； C、此图形不是轴对称图形，故C不符合题意； D、此图形不是轴对称图形，故D不符合题意； 故答案为：B 【分析】轴对称图形是将一个图形沿某直线折叠后直线两旁的部分互相重合，再对各选项逐一判断. 6．【答案】C 【解析】【解答】①作一个角等于已知角的方法正确； ②作一个角的平分线的作法正确； ③作一条线段的垂直平分线缺少另一个交点，作法错误； ④过直线外一点P作已知直线的垂线的作法正确． 故答案为：C． 【分析】 根据尺规作图作一个角等于已知角；作一个角的平分线；作一条线段的垂直平分线；过直线外一点P作已知直线的垂线的作法进而判断得出答案． 7．【答案】C 【解析】【解答】解：第一种：命题的条件是①和③，命题的结论是②和④． ∵AB＝AC，∠ABE＝∠ACD，∠BAC＝∠CAB， ∴△ABE≌△ACD． ∴BE＝CD． 又∠BCD＝∠ACB﹣∠ACD＝∠ABC﹣∠ABE＝∠CBE， ∴△BOC是等腰三角形． ∴OB＝OC； 同理可得：第二种：命题的条件是②和③，命题的结论是①和④． 第三种：命题的条件是①和②，命题的结论是③和④． 第四种：命题的条件是③和④，命题的结论是②和①． 第五种：命题的条件是②和④，命题的结论是①和③． 故答案为：C． 【分析】本题实际是考查全等三角形的判定，根据条件可看出主要是围绕三角形ABE和ACD全等来求解的．已经有了一个公共角∠A，只要再知道一组对应角和一组对应边相等即可得出三角形全等的结论． 8．【答案】A 【解析】【解答】解：，， ，， ， ， ， 故B不符合要求； ， 故C不符合要求； ， 故A符合要求； ， ， 故D不符合要求； 故答案为：． 【分析】利用含30°角的直角三角形的性质求解即可。 9．【答案】D 【解析】【解答】解：A、沿直线折叠直线两旁的部分不能完全重合，故A不符合题意； B、沿直线折叠直线两旁的部分不能完全重合，故B不符合题意； C、沿直线折叠直线两旁的部分不能完全重合，故C不符合题意； D、沿直线折叠直线两旁的部分能完全重合，故D符合题意； 故选：D． 【分析】根据轴对称图形的定义求解即可． 10．【答案】C 【解析】【解答】解：连接CC′，连接A′C交l于点D，连接AD，此时AD+CD的值最小，如图所示． ∵△ABC与△A′BC′为正三角形，且△ABC与△A′BC′关于直线l对称， ∴四边形CBA′C′为边长为2的菱形，且∠BA′C′=60°， ∴A′C=2× A′B=2 ． 故选C． 【分析】连接CC′，连接A′C交y轴于点D，连接AD，此时AD+CD的值最小，根据等边三角形的性质即可得出四边形CBA′C′为菱形，根据菱形的性质即可求出A′C的长度，从而得出结论．本题考查了轴对称中的最短线路问题、等边三角形的性质以及菱形的性质，解题的关键是找出点D的位置．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，找出一点的对称点，连接对称点与另一点与对称轴交于一点，由此即可得出结论． 11．【答案】 12．【答案】50° 或80° 【解析】【解答】等腰三角形中有一个角等于50°，分情况讨论 ：(1)顶角为50°；(2)底角为50°，则顶角为：180°－（50°+50°）=80° 【分析】根据等腰三角形性质可知已知角可有两种情况，在根据三角形的内角和计算顶角的度数. 13．【答案】4.8 【解析】【解答】解：如图所示：在AB上取点 ，使 ，过点C作 ，垂足为H. 在 Rt△ABC中 ， ∴ ∴ ， ∵ ， ∴当C、E、 共线，且点 与H重合时， 的值最小，最小值为4.8. 故答案为：4.8. 【分析】在AB上取点F′，使AF′=AF，过点C作CH⊥AB，垂足为H，由三角形的面积公式得CH，由两点之间，线段最短的性质以及垂线段最短的性质知：当C、E、F′共线，且点F′与H重合时，FE+EC的值最小，据此解答. 14．【答案】8 【解析】【解答】如图所示 当AB=BC时，有C1和C2满足条件 当AB=AC时，有C3和C4满足条件 当AC=BC时，有C5和C6、C7、C8满足条件 综上，满足条件的C点有8个。 故填：8 【分析】根据题意，当给定边AB分别是等腰三角形的腰和底时有三种具体的情况，找到每种情况下符合条件的C的个数累加即可。 15．【答案】解：∵ED垂直平分AB ∴AE=EB ∴∠EAB=∠B ∴∠AEC=∠EAB+∠B=2∠B ∵在△ACE中，∠C=90° ∴∠CAE+∠AEC=90° ∵∠CAE=∠B+30° ∴∠B+30°+2∠B=90° ∴∠B=20° ∴∠AEC=2∠B=40° 【解析】【分析】由线段的垂直平分线的性质可得AE=EB ，根据等边对等角可得∠EAB=∠B ，在△ACE中，用三角形的内角和定理可得方程求解。 16．【答案】解：△AFC 是等腰三角形.理由如下： 由已知可证△BAD≌△BCE， 则 BA=BC， ∴ ∠BAC=∠BCA， 可得∠FAC=∠FCA， ∴ △AFC 是等腰三角形 【解析】【分析】△AFC 是等腰三角形.理由如下：由题意用角角边可证△BAD≌△BCE，根据全等三角形的性质得：BA=BC，由等边对等角得∠BAC=∠BCA，由角的构成可得∠FAC=∠FCA，然后根据等腰三角形的判定可求解. 17．【答案】解：如图所示： ​ 【解析】【分析】先分别作出A，B，C三点关于y轴的对称点A′，B′，C′，再顺次连接各点即可． 18．【答案】解：∵AB=AC，∠A=40°， ∴∠ABC=∠C=70°， ∵MN是AB的垂直平分线， ∴DA=DB， ∴∠DBA=∠A=40°， ∴∠DBC=30°； ∵AB=AC，AB=10，DC=3， ∴BD=DA=10-3=7 【解析】【分析】根据三角形内角和定理求出∠ABC的度数，根据线段的垂直平分线的性质得到∠DBA的度数，DA=DB，计算即可． 19．【答案】（1）证明：∵△ABC为等边三角形， ∴AB=AC，∠BAC=60°， 在△ABP和△ACQ中， ∴△ABP≌△ACQ(SAS) （2）解：∵△ABP≌△ACQ， ∴∠BAP=∠CAQ，AP=AQ， ∵∠BAP+∠CAP=60°， ∴∠PAQ=∠CAQ+∠CAP=60°， ∴△APQ是等边三角形. 【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质可得AB=AC，再根据SAS证明△ABP≌△ACQ即可； （2）根据全等三角形的性质得到AP=AQ，再证明∠PAQ=60°，从而得出△APQ是等边三角形. 20．【答案】（1）证明：∵∠BAC=90°，AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB=45°， ∵四边形ADEF是正方形， ∴AD=AF，∠DAF=90°， ∵∠BAC=∠BAD+∠DAC=90°，∠DAF=∠CAF+∠DAC=90°， ∴∠BAD=∠CAF， 在△BAD和△CAF中， ∴△BAD≌△CAF（SAS）， ∴BD=CF，∠ACF=∠ABD=45°， ∴∠ACF+∠ACB=90°， ∴BD⊥CF； （2）（1）的结论仍然成立，理由： ∵∠BAD=∠BAC+∠CAD=90°+∠CAD， ∠CAF=∠DAF+∠CAD=90°+∠CAD， ∴∠BAD=∠CAD， 在△BAD和△CAF中， ∴△BAD≌△CAF（SAS）， ∴BD=CF，∠ACF=∠ABD=45° ∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=45°+45°=90° ∴BD⊥CF． （3）①BC、CD与CF的关系：CD=BC+CF 理由：与（1）同法可证△BAD≌△CAF，从而可得： BD=CF， 即：CD=BC+CF ②△AOC是等腰三角形 理由：与（1）同法可证△BAD≌△CAF，可得：∠DBA=∠FCA， 又∵∠BAC=90°，AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB=45°， 则∠ABD=180°﹣45°=135°， ∴∠ABD=∠FCA=135° ∴∠DCF=135°﹣45°=90° ∴△FCD为直角三角形． 又∵四边形ADEF是正方形，对角线AE与DF相交于点O， ∴OC= DF， ∴OC=OA ∴△AOC是等腰三角形 【解析】【分析】（1）设法证明△BAD≌△CAF与∠FCD=90°即可；（2）与（1）同法；（3）中的①与（1）相同，可证明BD=CF，又点D、B、C共线，故：CD=BC+CF；②由（1）猜想并证明BD⊥CF，从而可知△FCD为直角三角形，再由正方形的对角线的性质判定△AOC三边的特点，再进一步判定其形状． 21．【答案】（1）证明：∵ 是等边三角形， ∴ ， ∵ ， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ 是 的外角，且 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ 是等腰三角形. （2）解： 是 的中点（或 ）. 过点 作 ，交 于点 ∵ ， ∴ ， ∴ 是等边三角形. 当点 是 的中点时， 在 中， ， ， ∴ ， ∴ . ∴ . 【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质以及平行线的性质得到 ，根据三角形的内角和求出 ，根据三角形外角的性质求出 ，得到 ，即可证明. （ 2 ）过点 作 ，交 于点 ，当点 是 的中点时， ，求出高，即可求出 的面积. 22．【答案】（1）证明：∵∠1＝∠2， ∴BM∥CN， ∴∠MBC＝∠NCB， ∵∠3＝∠4， ∴∠MBC+∠3＝∠NCB+∠4， 即∠ABC＝∠DCB， ∴AB∥CD； （2）解：∵∠EBF＝∠ABD，∠EBF＝110°， ∴∠ABD＝110°， ∵∠BAD+∠BDA+∠ABD＝180°，∠BAD＝∠BDA， ∴∠BAD＝∠BDA＝ ×（180°﹣110°）＝35°， ∵AB∥CD， ∴∠ADC＝∠BAD＝35° 【解析】【分析】(1) 由∠1＝∠2，判定BM∥CN，则可由平行线的性质得出∠MBC＝∠NCB，结合∠3＝∠4，然后由角的和差关系得出∠ABC＝∠DCB，则可判定AB∥CD； (2)由对顶角的相等求出 ∠ABD 的度数，然后根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠BAD的度数，最后利用（1）的结论，根据平行线的性质求出∠ADC的度数即可. 23．【答案】（1）解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠A=∠B=∠ACB=60°， ∵∠Q=28°， ∴∠EDP=∠CDQ=∠ACB﹣∠Q=32°， ∵PE⊥AC， ∴∠PED=90°， ∴∠EPD=90°﹣∠EDP=58°； （2）证明：作PF∥BC交AC于F，如图所示： ∴∠APF=∠B=60°，∠AFP=∠ACB=60°， ∠FPD=∠CQD，∠PFD=∠QCD， ∴∠APF=∠AFP=∠A=60°， ∴△APF是等边三角形， ∴AP=AF=PF． ∵CQ=AP， ∴PF=CQ， 在△PFD和△QCD中， ∠FPD=∠CQD，PF=CQ，∠PFD=∠QCD ∴△PFD≌△QCD（ASA）， ∴PD=QD． 【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质得出 ∠A=∠B=∠ACB=60°， 根据对顶角相等及三角形外角定理得出 ∠EDP=∠CDQ=∠ACB﹣∠Q=32°， 根据直角三角形两锐角互余，由 ∠EPD=90°﹣∠EDP 算出答案； （2） 作PF∥BC交AC于F，如图所示： 根据平行线的性质得出∠APF=∠B=60°，∠AFP=∠ACB=60°，∠FPD=∠CQD，∠PFD=∠QCD，进而可以根据三个角都相等的三角形是等边三角形得出 △APF是等边三角形， 根据等边三角形三边相等得出 AP=AF=PF，又 CQ=AP， 故 PF=CQ， 然后利用ASA判断出 △PFD≌△QCD ，根据全等三角形对应边相等得出 PD=QD． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$