精品解析：山东省聊城市冠县崇文街道办事处中学2024-2025学年九年级上学期8月月考数学试题

2024年9年级第1次调研数学问卷 一、选择题（本大题共12小题，共36.0分） 1. 已知在直角坐标系中的位置如图所示，以O为位似中心，把放大2倍得到，那么的坐标为（ ） A. B. C. D. 或 2. 如图，在△ABC中，AH⊥BC于H，BC＝12，AH＝8，D、E分别为AB、AC上的点，G、F是BC上的两点，四边形DEFG是正方形，正方形的边长DE为（　　） A. 4.8 B. 4 C. 6.4 D. 6 3. 如图,E为平行四边形ABCD的边AB延长线上的一点,且BE:AB=2：3,△BEF的面积为4,则平行四边形ABCD的面积为() A. 30 B. 27 C. 14 D. 32 4. 如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，下列条件中不能判断△ABC∽△AED的是（ ） A. ∠AED=∠B B. ∠ADE=∠C C. D. 5. 如图，点D，E分别在△ABC的AB，AC边上，增加下列条件中的一个：①∠AED＝∠B，②∠ADE＝∠C，③，④，⑤AC2＝AD•AE，使△ADE与△ACB一定相似的有（　　） A ①②④ B. ②④⑤ C. ①②③④ D. ①②③⑤ 6. 下列说法：①有一个锐角相等的两个直角三角形相似；②顶角相等的两个等腰三角形相似；③任意两个菱形一定相似；④位似图形一定是相似图形；其中正确的个数（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3 D. 4个 7. 如图，△ABC中，∠A=78°，AB=4，AC=6．将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ） A. B. C D. 8. △ABC中，∠A，∠B均为锐角，且有，则△ABC是（ ） A. 直角（不等腰）三角形 B. 等腰直角三角形 C. 等腰（不等边）三角形 D. 等边三角形 9. 如图，A、B、C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则tan∠BAC的值为（　　） A. B. 1 C. D. 10. 如图，在△ABC中，AC⊥BC，∠ABC＝30°，点D是CB延长线上一点，且BD＝BA，则tan∠DAC的值为（ ） A. 2＋ B. 2 C. 3＋ D. 3 11. 在网格中的位置如图所示（每个小正方形边长为1），于D，下列四个选项中，错误的是（ ）． A. B. C. D. 12. 计算：（）﹣1+tan30°•sin60°=（　　） A. ﹣ B. 2 C. D. 二、填空题（本大题共6小题，共18.0分） 13. 小明沿着坡度i为1∶的直路向上走了50 m，则小明沿垂直方向升高了________m. 14. 在△ABC中，∠C=90°，若tanA=，则sinB=______． 15. 如图，从热气球C上测得两建筑物A、B底部的俯角分别为和，如果这时气球的高度为90米，且点A、D、B在同一直线上，则建筑物A、B间的距离为________ 16. 如图，是等边三角形，点D、E分别在上，且，若的边长为6，，则的长为____________． 17. 如图，在平行四边形中，E为边上一点，与相交于点F，若，，则等于_____． 18. 三个顶点的坐标分别为，，，以O为位似中心，将缩小为原来的，得到，则点A的对应点的坐标为______． 三、解答题（本大题共8小题，共66.0分） 19. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为、、． （1）以原点O为位似中心，在第二象限内画出将放大为原来的2倍后的． （2）画出绕C点逆时针旋转后得到的． 20. 如图，锐角三角形ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF=∠GAC． （1）求证：△ADE∽△ABC； （2）若AD=3，AB=5，求的值． 21. 如图所示，∠C=90°，BC=8cm，AC=6cm，点P从点B出发，沿BC向点C以2cm/s的速度移动，点Q从点C出发沿CA向点A以1cm/s的速度移动，如果P、Q分别从B、C同时出发，过多少秒时，以C、P、Q为顶点的三角形恰与△ABC相似？ 22. 求值：cos245°﹣sin30°tan60°+sin60° 23. 计算：. 24. 为了维护国家主权和海洋权利，海监部门对我国领海实现了常态化巡航管理，如图，正在执行巡航任务的海监船以每小时50海里的速度向正东方航行，在A处测得灯塔P在北偏东60°方向上，继续航行1小时到达B处，此时测得灯塔P在北偏东30°方向上． （1）求∠APB度数； （2）已知在灯塔P的周围25海里内有暗礁，问海监船继续向正东方向航行是否安全？ 25. 如图，线段AB、CD分别表示甲乙两建筑物的高，BA⊥AD，CD⊥DA，垂足分别为A、D．从D点测到B点的仰角α为60°，从C点测得B点的仰角β为30°，甲建筑物的高AB=30米 （1）求甲、乙两建筑物之间的距离AD． （2）求乙建筑物的高CD． 26. 如图，在大楼的正前方有一斜坡，米，坡比，高为，在斜坡下的点处测得楼顶的仰角为，在斜坡上的点处测得楼顶的仰角为，其中、、在同一直线上． （1）求斜坡的高度； （2）求大楼的高度；（参考数据，，，，，．） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年9年级第1次调研数学问卷 一、选择题（本大题共12小题，共36.0分） 1. 已知在直角坐标系中的位置如图所示，以O为位似中心，把放大2倍得到，那么的坐标为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查位似变换和坐标与图形性质．根据点在平面直角坐标系中的位置得到点坐标，结合以原点为位似中心的位似变换放大2倍，那么位似图形对应点的坐标的比等于2或解答即可． 【详解】解：根据题意可得，， ∵以O为位似中心，把放大2倍得到， ∴则的坐标为或，即或， 故选：D． 2. 如图，在△ABC中，AH⊥BC于H，BC＝12，AH＝8，D、E分别为AB、AC上的点，G、F是BC上的两点，四边形DEFG是正方形，正方形的边长DE为（　　） A. 4.8 B. 4 C. 6.4 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】利用相似三角形对应高的比也等于相似比，可以求出x,注意所画图形是正方形，用同一未知数表示未知边，即可求出． 【详解】解：设△ABC的高AH交DE于点M，正方形的边长为x. 由正方形DEFG得，DE∥FG，即DE∥BC， ∵AH⊥BC， ∴AM⊥DE． 由DE∥BC得△ADE∽△ABC， ∴， 把BC=12，AH=8，DE=x,AM=8-x代入上式得：， 解得：x=4.8． 答：正方形的边长是4.8． 故选：A． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质．关键是由平行线得到相似三角形，利用相似三角形的性质列方程． 3. 如图,E为平行四边形ABCD的边AB延长线上的一点,且BE:AB=2：3,△BEF的面积为4,则平行四边形ABCD的面积为() A. 30 B. 27 C. 14 D. 32 【答案】A 【解析】 【详解】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB//CD，AB=CD，AD//BC， ∴△BEF∽△CDF，△BEF∽△AED， ∴ ， ∵BE：AB=2：3，AE=AB+BE， ∴BE：CD=2：3，BE：AE=2：5， ∴ ， ∵S△BEF=4， ∴S△CDF=9，S△AED=25， ∴S四边形ABFD=S△AED-S△BEF=25-4=21， ∴S平行四边形ABCD=S△CDF+S四边形ABFD=9+21=30， 故选A. 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质等，熟记相似三角形的面积等于相似比的平方是解题的关键. 4. 如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，下列条件中不能判断△ABC∽△AED的是（ ） A. ∠AED=∠B B. ∠ADE=∠C C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．根据此，分别进行判断即可． 【详解】解：由题意得∠DAE=∠CAB， A、当∠AED=∠B时，△ABC∽△AED，故本选项不符合题意； B、当∠ADE=∠C时，△ABC∽△AED，故本选项不符合题意； C、当=时，△ABC∽△AED，故本选项不符合题意； D、当=时，不能推断△ABC∽△AED，故本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似． 5. 如图，点D，E分别在△ABC的AB，AC边上，增加下列条件中的一个：①∠AED＝∠B，②∠ADE＝∠C，③，④，⑤AC2＝AD•AE，使△ADE与△ACB一定相似的有（　　） A. ①②④ B. ②④⑤ C. ①②③④ D. ①②③⑤ 【答案】A 【解析】 【详解】①，且， ∴，成立． ②且， ∴，成立． ③，但比一定与相等，故与不一定相似． ④且， ∴，成立． ⑤由，得无法确定出， 故不能证明：与相似． 故选：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定定理:(1)两角对应相等的两个三角形相似;(2)两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似;(3)三边对应成比例的两个三角形相似;(4)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似. 6. 下列说法：①有一个锐角相等的两个直角三角形相似；②顶角相等的两个等腰三角形相似；③任意两个菱形一定相似；④位似图形一定是相似图形；其中正确的个数（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和位似图形的性质，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键 根据相似三角形的判定定理逐一分析判定即可 【详解】解：①有一个锐角相等的两个直角三角形相似；正确. ②顶角相等的两个等腰三角形相似；正确. ③任意两个菱形一定相似；不正确. ④位似图形一定是相似图形；正确. 综上分析可得，正确的有：①②④，共3个， 故选：C. 7. 如图，△ABC中，∠A=78°，AB=4，AC=6．将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，不符合题意， B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，不符合题意， C、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，符合题意， D、两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，不符合题意， 故选：C． 【点睛】本题考查相似三角形的判定，两组角对应相等，两个三角形相似；两组边对应成比例及其夹角相等，两个三角形相似；三组边对应成比例，两个三角形相似． 8. △ABC中，∠A，∠B均为锐角，且有，则△ABC是（ ） A. 直角（不等腰）三角形 B. 等腰直角三角形 C. 等腰（不等边）三角形 D. 等边三角形 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：一个数的绝对值以及平方都是非负数，两个非负数的和是0，因而每个都是0，就可以求出，以及的值．进而得到∠A=60°，∠B=60°．判断△ABC的形状为等边三角形．故应选D 考点：特殊角的三角函数，非负数的应用，绝对值，偶次幂 9. 如图，A、B、C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则tan∠BAC的值为（　　） A. B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接BC，由网格求出AB，BC，AC的长，利用勾股定理的逆定理得到△ABC为等腰直角三角形，即可求出所求． 【详解】如图，连接BC， 由网格可得AB=BC=，AC=，即AB2+BC2=AC2， ∴△ABC为等腰直角三角形， ∴∠BAC=45°， 则tan∠BAC=1， 故选：B． 【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，解直角三角形，以及勾股定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理． 10. 如图，在△ABC中，AC⊥BC，∠ABC＝30°，点D是CB延长线上的一点，且BD＝BA，则tan∠DAC的值为（ ） A. 2＋ B. 2 C. 3＋ D. 3 【答案】A 【解析】 【详解】设AC=x，在Rt△ABC中，∠ABC=30°，即可得AB=2x，BC=x， 所以BD=BA=2x，即可得CD=x+2x=（+2）x， 在Rt△ACD中，tan∠DAC=， 故选A. 11. 在网格中的位置如图所示（每个小正方形边长为1），于D，下列四个选项中，错误的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】观察图形可知，△ADB是等腰直角三角形，BD=AD=2，AB=2，AD=2，CD=1，AC=，利用锐角三角函数一一计算即可判断． 【详解】解：观察图象可知，△ADB是等腰直角三角形，BD=AD=2，CD=1， ∴AB==2，AC==， ∴sinα=cosα=，故选项A正确； tanC==2，故选项B正确； tanα=1，故选项D正确； ∵sinβ==，cosβ=，∴sinβ≠cosβ，故选项C错误． 故选：C． 【点睛】本题考查了锐角三角函数的应用．等腰直角三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 12. 计算：（）﹣1+tan30°•sin60°=（　　） A. ﹣ B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】按顺序进行负指数幂的运算、代入特殊角的三角函数值，然后再按运算顺序进行计算即可得. 【详解】（）﹣1+tan30°•sin60° =2+ =2+ =， 故选C． 【点睛】本题考查了实数的运算，涉及了负指数幂、特殊角的三角函数值等，熟练掌握各运算的运算法则是解题的关键. 二、填空题（本大题共6小题，共18.0分） 13. 小明沿着坡度i为1∶的直路向上走了50 m，则小明沿垂直方向升高了________m. 【答案】25 【解析】 【详解】解：如图，过点B作BE⊥AC于点E，∵坡度：i=1：，∴tan∠A=1： =，∴∠A=30°，∵AB=50m，∴BE=AB=25（m），∴他升高了25m．故答案为25． 点睛：此题考查了坡度坡角问题．此题比较简单，注意能构造直角三角形并用解直角三角形的知识求解是解此题的关键，注意数形结合思想的应用． 14. 在△ABC中，∠C=90°，若tanA=，则sinB=______． 【答案】 【解析】 【分析】直接根据题意表示出三角形各边，进而利用锐角三角函数关系得出答案． 【详解】如图所示： ∵∠C=90°，tanA=， ∴设BC=x，则AC=2x，故AB=x， 则sinB=. 故答案为 ． 【点睛】此题主要考查了锐角三角函数关系，正确表示各边长是解题的关键． 15. 如图，从热气球C上测得两建筑物A、B底部的俯角分别为和，如果这时气球的高度为90米，且点A、D、B在同一直线上，则建筑物A、B间的距离为________ 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可得，，在和中，利用锐角三角函数求得，，再利用求解即可． 【详解】解：由题意可得，，， ∴，， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 如图，是等边三角形，点D、E分别在上，且，若的边长为6，，则的长为____________． 【答案】 【解析】 【分析】证明，可得，由，，可得，，由，求得，，证明，可得，即可求解． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 17. 如图，在平行四边形中，E为边上一点，与相交于点F，若，，则等于_____． 【答案】11 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定以及性质，平行四边形的性质，由平行四边形的性质可得出、，而，进而可得出，且它们的相似比为，由相似三角形的性质可得出，进而可得出，，，最后再根据平行四边形的性质可得出．代入求解即可 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴、，，而， ∴，且它们的相似比为， ∴， 而， ∴， ∵ ∴， ∵和的高相等， ∴， ∴， ∴， 故答案为：11． 18. 三个顶点的坐标分别为，，，以O为位似中心，将缩小为原来的，得到，则点A的对应点的坐标为______． 【答案】或 【解析】 【分析】根据如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k进行解答． 【详解】∵以原点O为位似中心，将△OAB缩小为原来的，A（4，6）， 则点A的对应点A′的坐标为（-2，-3）或（2，3）， 故答案为（-2，-3）或（2，3）． 【点睛】本题考查了位似变换：位似图形与坐标，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k． 三、解答题（本大题共8小题，共66.0分） 19. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为、、． （1）以原点O为位似中心，在第二象限内画出将放大为原来的2倍后的． （2）画出绕C点逆时针旋转后得到的． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了画位似图形，坐标与图形变化—旋转： （1）把点A、B、C的横纵坐标都乘以2得到的坐标，然后描点连线即可； （2）利用网格特点和旋转的性质画出点A、B，C的对应点，即可得到． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求； 【小问2详解】 解：如图所示，即为所求． 20. 如图，在锐角三角形ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF=∠GAC． （1）求证：△ADE∽△ABC； （2）若AD=3，AB=5，求的值． 【答案】（1）证明见解析；（2）． 【解析】 【分析】（1）由于AG⊥BC，AF⊥DE，所以∠AFE=∠AGC=90°，从而可证明∠AED=∠ACB，进而可证明△ADE∽△ABC； （2）△ADE∽△ABC，，又易证△EAF∽△CAG，所以，从而可求解． 【详解】（1）证明：∵AG⊥BC，AF⊥DE， ∴∠AFE=∠AGC=90°， ∵∠EAF=∠GAC， ∴∠AED=∠ACB， ∵∠EAD=∠BAC， ∴△ADE∽△ABC， （2）由（1）可知：△ADE∽△ABC， ∴ 由（1）可知：∠AFE=∠AGC=90°， ∴∠EAF=∠GAC， ∴△EAF∽△CAG， ∴， ∴= 21. 如图所示，∠C=90°，BC=8cm，AC=6cm，点P从点B出发，沿BC向点C以2cm/s的速度移动，点Q从点C出发沿CA向点A以1cm/s的速度移动，如果P、Q分别从B、C同时出发，过多少秒时，以C、P、Q为顶点的三角形恰与△ABC相似？ 【答案】2.4秒或秒 【解析】 【分析】设经过y秒后相似，由于没有说明对应角的关系，所以共有两种情况：△CPQ∽△CBA与△CPQ∽△CAB 【详解】设经过y秒后，△CPQ∽△CBA，此时BP=2y，CQ=y． ∵CP=BC-BP=8-2y，CB=8，CQ=y，CA=6． ∵△CPQ∽△CBA， ∴， ∴​ ∴y=2.4 设经过y秒后，△CPQ∽△CAB，此时BP=2y，CQ=y． ∴CP=BC-BP=8-2y． ∵△CPQ∽△CAB， ∴ ∴ ∴y= 所以，经过2.4秒或者经过秒后两个三角形都相似 【点睛】此题考查了相似三角形的判定与勾股定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用． 22. 求值：cos245°﹣sin30°tan60°+sin60° 【答案】． 【解析】 【分析】把特殊角的三角函数值代入运算即可． 【详解】解：原式 ． 23. 计算：. 【答案】． 【解析】 【分析】代入45度的余弦值，先计算开方，负指数幂，乘除法，零次幂，绝对值，再计算加减法即可. 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题考查包含特殊角度三角函数值的实数混合运算，熟记特殊角度三角函数值，熟练掌握运算法则是解题的关键. 24. 为了维护国家主权和海洋权利，海监部门对我国领海实现了常态化巡航管理，如图，正在执行巡航任务的海监船以每小时50海里的速度向正东方航行，在A处测得灯塔P在北偏东60°方向上，继续航行1小时到达B处，此时测得灯塔P在北偏东30°方向上． （1）求∠APB的度数； （2）已知在灯塔P周围25海里内有暗礁，问海监船继续向正东方向航行是否安全？ 【答案】（1）30°；（2）海监船继续向正东方向航行是安全的． 【解析】 【分析】（1）根据直角的性质和三角形的内角和求解； （2）过点P作PH⊥AB于点H，根据解直角三角形，求出点P到AB的距离，然后比较即可． 【详解】解：（1）在△APB中，∠PAB=30°，∠ABP=120° ∴∠APB=180°-30°-120°=30° （2）过点P作PH⊥AB于点H 在Rt△APH中，∠PAH=30°，AH=PH 在Rt△BPH中，∠PBH=30°，BH=PH ∴AB=AH-BH=PH=50 解得PH=25＞25，因此不会进入暗礁区，继续航行仍然安全． 25. 如图，线段AB、CD分别表示甲乙两建筑物高，BA⊥AD，CD⊥DA，垂足分别为A、D．从D点测到B点的仰角α为60°，从C点测得B点的仰角β为30°，甲建筑物的高AB=30米 （1）求甲、乙两建筑物之间的距离AD． （2）求乙建筑物的高CD． 【答案】（1）；（2）20． 【解析】 【分析】（1）在Rt△ABD中利用三角函数即可求解； （2）作CE⊥AB于点E，在Rt△BCE中利用三角函数求得BE的长，然后根据CD=AE=AB﹣BE求解． 【详解】（1）作CE⊥AB于点E，在Rt△ABD中，AD===（米）； （2）在Rt△BCE中，CE=AD=米，BE=CE•tanβ=×=10（米），则CD=AE=AB﹣BE=30﹣10=20（米） 答：乙建筑物的高度DC为20m． 26. 如图，在大楼的正前方有一斜坡，米，坡比，高为，在斜坡下的点处测得楼顶的仰角为，在斜坡上的点处测得楼顶的仰角为，其中、、在同一直线上． （1）求斜坡的高度； （2）求大楼的高度；（参考数据，，，，，．） 【答案】（1）斜坡的高度是5米；（2）大楼的高度是19.52米． 【解析】 【分析】（1）设米，则米，根据勾股定理，构造方程求解即可； （2）根据，，代入已知条件，得到关于AB、AC的方程，求出AB即可． 【详解】解：（1）∵在大楼的正前方有一斜坡，米，坡度为， ∴， 设米，则米， ∴， 解得，， ∴，， 即米，米， 故斜坡的高度是5米； （2）∵，，米，米， ∴，， 解得，米， 即大楼高度是19.52米． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解答此类题目关键是明确题意，利用勾股定理，三角函数等数量关系得到方程，求解即可． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$