3.4函数的应用（一）课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第三章 函数的概念与性质 3.4 函数的应用（一） 学习目标——明确方向，把握重、难点 【学习目标】： 1．能够找出简单实际问题中的函数关系，初步体会应用二次函数、分段函数模型解决实际问题； 2．感受运用函数概念建立模型的过程和方法，体会二次函数、分段函数模型在数学和其他学科中的重要性； 【学习重点】：运用二次函数、分段函数模型处理实际问题，最值; 【学习难点】：运用函数思想理解和处理现实生活和社会中的简单问题. 【题】画出函数y=|x|的图像 【解】由绝对值的概念，有y= -x，x＜0， X，x≥0. 画出图像如图：       像这样的函数，叫做分段函数.分段函数一般在实际问题中出现的比较多，例如出租车的计费，个人所得税的计算等等. 在自变量的不同取值区间，有不同对应关系的函数叫做分段函数. 分段函数 画出函数 【解法一】由绝对值的概念可知， 所以函数的图像如图所示：   的图像.   【解法二】(翻折法)先画出函数   的图像， 然后把图像中位于x=2右侧的部分翻折到左侧 即得到后的图像关于x=2对称.       1 2 3 4 分段函数 （1）分段函数是一个函数，而不是几个函数，处理分段函数的问题时，首 先要明确自变量的取值在哪个区间，从而选取相应的对应关系. （2）分段函数在书写的时候左边用大括号把几个对应关系括在一起，在每 段对应关系表达式的后面用小括号写上相应的取值范围. （3）分段函数的定义域是所有自变量取值区间的并集，只能写成一个集合 的形式；值域是各段函数在对应自变量取值范围内值域的并集. 分段函数 几种常见的分段函数： （1）符号函数：   （2）含绝对值符号的函数：   （3）取整函数： 分段函数 知识回顾 函数模型 函数解析式 二次函数模型 分段函数模型 1.二次函数模型 (1)一般式: ； (2)顶点式: ； (3)两点式: . y=ax2+bx+c(a≠0) y 知识回顾 函数模型 函数解析式 二次函数模型 分段函数模型 2.分段函数 分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的 ；各段函数的定义域的交集是 . 并集 空集 二次函数模型 【例】某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量 （单位：千克）与销售单价 （单位：元/千克）满足关系式 ，其中 ， 为常数，已知销售单价为6 元/千克时，每日可售出该商品千克. （1）求 的值； （2）若该商品的进价为元/千克，试确定销售单价的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大，并求出利润的最大值. 【解析】（1）因为 .且 时， . 所以 解得 二次函数模型 【例】某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量 （单位：千克）与销售单价 （单位：元/千克）满足关系式 ，其中 ， 为常数，已知销售单价为6 元/千克时，每日可售出该商品千克. （2）若该商品的进价为元/千克，试确定销售单价的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大，并求出利润的最大值. 【解析】 （2）由（1）可知,该商品每日的销售量 . 所以商场每日销售该商品所获得的利润： , 因为为二次函数，且开口向下，对称轴为 . 所以，当时，函数取得最大值，且最大值等于440. 所以当销售价格定为6元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大，最大利润为440元。 配方法 二次函数模型 【变式训练】“弯弓射雕”描述了牧民的豪迈气概.当弓箭手以a m/s的速度从地面垂直向上射箭时,t s后的高度h m可由h=at-5t2确定.已知射出2 s后箭离地面高100 m,则弓箭能达到的最大高度为 .  解析: 由h=at-5t2且t=2时,h=100,解得a=60.所以h=60t-5t2.由h=-5t2+60t=-5(t-6)2+180, 知当t=6时,h取得最大值为180, 即弓箭能达到的最大高度为180 m. 归纳注意点 利用二次函数求最值的方法及注意点 (1)方法:根据实际问题建立函数模型解析式后,可利用配方法、判别式法、换元法等并结合函数的单调性求最值,从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等最值问题； (2)注意取得最值时的自变量与实际意义是否相符. 分段函数模型 【例】一辆汽车在某段路程中的行驶速度与时间的关系如图所示． (1)求图中阴影部分的面积，关说明所求面积的实际含义； (2)假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2004km，试建立汽车行驶这段路程时汽车里程表读数s与时间t的函数解析式，并作出相应的图象． 【解析】 解：（1）阴影部分的面积为: 阴影部分的面积表示汽车在这5 h内行驶的路程为360 km. 分段函数模型 【例】一辆汽车在某段路程中的行驶速度与时间的关系如图所示． (1)求图中阴影部分的面积，关说明所求面积的实际含义； (2)假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2004km，试建立汽车行驶这段路程时汽车里程表读数s与时间t的函数解析式，并作出相应的图象． （2）获得路程关于时间变化的函数解析式： 这个函数的图象如图所示 分段函数模型 【变式训练】某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数： 其中(单位：台)是仪器的月产量. (1)将利润表示为月产量的函数. (2) 当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？(总收益=总成本+利润) 分段函数模型 【变式训练】某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数： 其中(单位：台)是仪器的月产量. (1)将利润表示为月产量的函数. , 分段函数模型 (2) 当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？(总收益=总成本+利润) 当， 所以当x=300时，最大值25000； 当x>400时，60000-100x是单调递减， 400=20000<25000 所以当x=300时，最大值25000， 即当每月生产300台仪器时，利润最大，最大利润为25000元. 总结 1、阅读审题：通过题目给出的文字、公式、图表等信息明确要研究的问题，理清变量关系； 2、数学转化：将实际问题中的变量关系转化为函数关系，并求出函数解析式； 3、解决问题：利用函数解析式、图象、性质等解决实际问题。 实际问题 函数问题 实际问题 $$