函数与导数：零点问题 专项训练-2025届高三数学一轮复习

函数与导数：零点问题专项训练 考向一 利用零点存在性定理求零点所在区间 1．（2024·广东广州·模拟预测）函数的图象是一条连续曲线，用二分法求它在区间上的唯一零点的近似值时，验证，取区间的中点，计算得，则此时零点所在的区间是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【详解】因为函数的图象是一条连续曲线，且， 所以此时零点所在的区间是. 故选：B. 2．（23-24高一下·湖南·期中）函数的零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于，则为上的增函数， 而，，，，，由于， 根据零点存在性定理，知道函数的零点所在区间为. 故选：C. 3．（23-24高一下·江苏扬州·期中）函数的零点所在的区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为和是上单调递增函数， 所以是上单调递增函数，且其图象是连续不断的一条曲线， 又， 故函数的零点所在的区间为. 故选：A. 4．（2024高二上·新疆·学业考试）函数的零点所在的区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据对数函数单调性知为上的单调递增函数， 又因为，，且函数图象连续不间断， 则根据零点存在性质定理知的零点所在的区间是. 故选：C. 5．（23-24高一上·甘肃庆阳·期中）函数的零点所在的区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由函数定义域为， 且函数在上单调递增，函数在上单调递减， 故函数在上单调递增， 又，， 故函数的零点所在的区间是. 故选：B. 6．（23-24高二下·辽宁·期末）已知函数，则的零点所在的区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】函数的定义域为， 又函数，，在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 又，， 所以， 所以零点所在的大致区间为. 故选：B. 考向二 利用零点数量讨论参数范围 1．（2023·全国乙卷（文））函数存在3个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，则， 若要存在3个零点，则要存在极大值和极小值，则， 令，解得或， 且当时，， 当，， 故的极大值为，极小值为， 若要存在3个零点，则，即，解得， 故选：B. 2．（2024·天津·高考真题）若函数恰有一个零点，则的取值范围为 ． 【答案】 【详解】令，即， 由题可得， 当时，，有，则，不符合要求，舍去； 当时，则， 即函数与函数有唯一交点， 由，可得或， 当时，则，则， 即，整理得， 当时，即，即， 当，或（正值舍去）， 当时，或，有两解，舍去， 即当时，在时有唯一解， 则当时，在时需无解， 当，且时， 由函数关于对称，令，可得或， 且函数在上单调递减，在上单调递增， 令，即， 故时，图象为双曲线右支的轴上方部分向右平移所得， 由的渐近线方程为， 即部分的渐近线方程为，其斜率为， 又，即在时的斜率， 令，可得或（舍去）， 且函数在上单调递增， 故有，解得，故符合要求； 当时，则， 即函数与函数有唯一交点， 由，可得或， 当时，则，则， 即，整理得， 当时，即，即， 当，（负值舍去）或， 当时，或，有两解，舍去， 即当时，在时有唯一解， 则当时，在时需无解， 当，且时， 由函数关于对称，令，可得或， 且函数在上单调递减，在上单调递增， 同理可得：时，图象为双曲线左支的轴上方部分向左平移所得， 部分的渐近线方程为，其斜率为， 又，即在时的斜率， 令，可得或（舍去）， 且函数在上单调递减， 故有，解得，故符合要求； 综上所述，. 故答案为：. 3．（2023·天津·高考真题）设,函数,若恰有两个零点，则的取值范围为 ． 【答案】 【详解】（1）当时，， 即， 若时，，此时成立； 若时，或， 若方程有一根为，则，即且； 若方程有一根为，则，解得：且； 若时，，此时成立． （2）当时，， 即， 若时，，显然不成立； 若时，或， 若方程有一根为，则，即； 若方程有一根为，则，解得：； 若时，，显然不成立； 综上， 当时，零点为，； 当时，零点为，； 当时，只有一个零点； 当时，零点为，； 当时，只有一个零点； 当时，零点为，； 当时，零点为． 所以，当函数有两个零点时，且． 故答案为：． 4．（2024·天津北辰·三模）若函数有四个零点，则实数的取值范围为 . 【答案】 【详解】由题意可知：的定义域为， 且， 可知关于直线对称， 原题意等价于：当时，有2个零点，且，即， 若，则， 显然， 若时，令，可得， 令，可知与在内只有一个交点， 则，令，解得或；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 且，又， 可得的图象如图所示， 由图象可知：或或，解得或或， 综上所述：实数的取值范围为. 故答案为：. 5．（2024·黑龙江大庆·三模）已知函数有2个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】已知函数有2个零点，所以方程有两个根， 即函数与的图象有两个公共点. （1）当时，. 若直线与曲线相切，设切点坐标为，则曲线在点处的切线方程为. 又因为切线过点，所以，解得，即. （2）当时，. 若直线与曲线相切，设切点坐标为，则曲线在点处的切线方程为. 又因为切线过点，所以，解得，即. 综上，结合函数与函数的图象及增长速度可知，当两个函数的图象有两公共点时. 故选：D. 6．（2024·河南·二模）函数有且只有一个零点，则实数的取值范围为 . 【答案】 【详解】显然不是函数的零点，故，， 令，则， 由题意可得，与的图象有一个交点， 当时，，在单调递增， 当且时，，在单调递减，且， 的大致图象如图所示，结合函数图象可知，时，符合题意． 故答案为：． 7．（2024·全国·模拟预测）若函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】令，得； 设，则方程，即， 易知，所以在上单调递增，在上单调递减，可得， 易知当时，，当时，，且当趋近于时，趋近于0，当趋近于时，趋近于， 作出的大致图象如图所示． 数形结合可得，且方程在上有两个不同的实数根． 解法一： 由，得或． 当时，，此时方程在上至多有一个实数根，不合题意， 当时，设方程在上的两个实数根分别为，则， 所以需，得，故实数的取值范围是． 解法二： 设方程的两个不同的实数根分别为， 则，或，． ①当，时，由，得， 则在上有两个不同的实数根，即在上有两个不同的实数根， 由，得或，与，矛盾． ②当，时，若方程在上有两个不同的实数根， 则，解得． 故答案为： 8．（2024·四川宜宾·三模）已知函数． (1)当时，求函数过原点的切线方程； (2)若有三个零点，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）当时，，则， 设切点 切线方程： 由于切线过原点，所以，解得， ∴切线方程： （2）， 当时，恒成立，所以在上单调递增，至多一个零点； 当时，令，得，令，得， 令，得或， 所以在上单调递减，在，上单调递增． 有三个零点，则，即，解得， 当时，， 且， 所以在上有唯一一个零点， 同理，， 所以在上有唯一一个零点， 又在上有唯一一个零点，所以有三个零点， 综上可知a的取值范围为 9．（2024·内蒙古包头·三模）设函数． (1)当时，求的最小值； (2)若恰有两个零点，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）当时，，， 当时；当时，． 所以，函数在上单调递减，在上单调递增． 所以，即的最小值为0． （2）由，得， （ⅰ）当时，，函数在单调递增，且，故函数恰有一个零点，不合题意． （ⅱ）当时， ①若，由（1）可知为最小值，函数恰有一个零点，不合题意． ②若，当时，，函数在单调递减，所以， 当时，，函数在单调递增，又， 根据零点存在定理，所以函数在区间上存在唯一零点， 此时函数恰有两个零点，满足题意． ③若，因为函数在单调递增，所以， 根据（1）由，得， 由，得，进而得， 所以． 又因为在上单调递减，根据零点存在定理， 所以函数在区间上存在唯一零点， 此时函数恰有两个零点，满足题意． 综上，a的取值范围是． 10．（2024·广东茂名·一模）设函数，. (1)当时，在上恒成立，求实数的取值范围； (2)若在上存在零点，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）当时，， 所以不等式转化为，在上恒成立. 令， 所以. 当时，恒成立. 若，则在上恒成立， 在上单调递增， 故，符合题意； 若，令函数， 则在上恒成立， 所以在上单调递增， 因为，且当时，. 所以，， 故当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 则，不符合题意. 综上所述，实数的取值范围为； （2）因为，， 令，即， 所以. 令，， 则. 令，得. 所以当时，，单调递减； 当，时，单调递增. 所以当时，取得极小值， 即当时，取得极小值. 又因为，， 所以. 所以. 当取得极大值， 即当时，取得极大值. 又因为，， 所以. 所以， 所以当，. 所以. 又因为， 所以时，在上存在零点， 所以实数的取值范围为. 考向三 分段函数的零点问题 1．（2024·山西·三模）已知函数，若函数恰有一个零点，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】， 由于为对勾函数，最小值为2，而，所以在单调递减， 故，作出的大致图象如下： 故要使恰有一个零点，只需要只有一个交点， 故，即， 故答案为： 2．（2024·西藏林芝·模拟预测）已知函数的定义域为，，若函数有三个零点，则实数的取值范围为 . 【答案】 【详解】函数有三个零点，则方程即有三个根， 所以函数与函数有三个交点， 由作出函数的图象如图： 若函数与过原点直线有三个交点，如图： 则，解得，即实数的取值范围为. 故答案为： 3．（2024·天津滨海新·二模）已知函数，若函数的零点个数为2，则a的范围为 . 【答案】或 【详解】令， 当时，，； 当时，，， ； 当时，，， ； 当时，，， ； …… 作出函数的部分图象如下， 因为的零点个数为2，所以的图象与的图象的公共点个数为2， 由图可知，或. 故答案为：或 4．（2024·天津滨海新·三模）已知函数若函数（）（为自然对数的底数）恰有4个零点，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】时，，单调递增，的图象： 令， 函数恰有4个零点等价于函数与函数的图象恰好有4个交点． ①当k＝0时，， 如图， 显然，函数与函数的图象不可能有4个交点，不符题意； ②当k＜0时，如图， 要使函数与函数的图象恰好有4个交点，则，则； ③当k＞0时，如图， 要使函数与函数的图象恰好有4个交点， 则与在时有两个交点， 即有两个正实数根， 即有两个正实数根， 令， 则与在时图象有两个交点， ， 令，， 则，∴在时单调递增， ∵，，， ∴当时，单调递减； 当时，单调递增． ∴， ∴如图： ∴． 综上所述，． 故答案为：． 5．（2024·北京西城·二模）已知函数，，其中． ①若函数无零点，则的一个取值为 ； ②若函数有4个零点，则 ． 【答案】 【详解】画函数的图象如下： ①函数无零点，即 无解， 即与的图象无交点，所以，可取； ②函数有4个零点，即 有4个根， 即与的图象有4个交点， 由关于对称，所以， 关于对称，所以， 所以. 故答案为：；. 6．（2024·全国·模拟预测）已知函数则函数有 个零点． 【答案】7 【详解】令，则，设，则等价于， 则函数的零点个数问题即为解的个数问题． 二次函数，其图像开口向上，过点，对称轴为，最小值为， 由题意得作出函数的图像如图所示． 由图可知有3个根，当时，，即； 当时，，即. 则对于，当时，; 当时，，此时共有3个解． 对于，此时有1个解，，即有2个解． 对于，此时有1个解，，即无解． 因此，此时函数有7个零点． 故答案为：7. 7．（2024·天津武清·模拟预测）已知函数，若函数恰有3个不同的零点，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【详解】当时，令，得，即，该方程至多两个根； 当时，令，得，该方程至多两个根， 因为函数恰有3个不同的零点， 所以函数在区间和上均有零点， 若函数在区间上有两个零点， 即直线与函数在区间上有两个交点， 当时，； 当时，，此时函数的值域为， 则，解得， 若函数在区间上有1个零点，则或， 解得或， 若函数在区间上也有两个零点， 令，解得，， 则，解得， 若函数在区间上有1个零点，则且， 解得； 所以当函数在区间上有1个零点，在区间上有两个零点时，需满足，解得， 当函数在区间上有2个零点，在区间上有1个零点时, 需满足，解得， 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 8．（2024·新疆乌鲁木齐·三模）已知符号函数，则函数零点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】当，即时，， 在上恒成立， 所以在单调递减， 因为， 所以存在使得. 当，即时，， 因为，所以是的的零点. 当，即时，，， 令，得，令，得， 所以在单调递增，在单调递减， 所以， 此时在没有零点， 综上，的零点个数为2. 故选：C 9．（2024·全国·模拟预测）已知函数，，若函数恰有6个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】当时，，， 令，得，当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 又，，当趋近于时，趋近于0， 结合对数函数的图象及绝对值的意义可作出函数的图象如图所示．    令，则，数形结合可知要使有6个零点， 则有两个不相等的实数根、，不妨令，有如下两种情况： 若，但，故排除此种情况， 若，对于二次函数开口向上，又，则，得， 综上，实数的取值范围是． 故选：A 10．（2024·陕西汉中·二模）已知函数，有4个零点，则m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，得，而当时，，即0是的一个零点， 当时，，令， 依题意，直线与函数的图象有3个公共点， 当时，，当且仅当时取等号， 当时，，求导得， 当时，，当时，， 因此函数在上单调递增，在上单调递减，， 当时，，当时，恒成立， 在同一坐标系内作出直线与函数的图象， 观察图象知，当或时，直线与函数的图象有3个公共点， 则当或时，方程有3个解，即有4个零点， 所以m的取值范围为或. 故选：C 2 学科网（北京）股份有限公司 $$函数与导数：零点问题专项训练 考向一 利用零点存在性定理求零点所在区间 1．（2024·广东广州·模拟预测）函数的图象是一条连续曲线，用二分法求它在区间上的唯一零点的近似值时，验证，取区间的中点，计算得，则此时零点所在的区间是（    ） A． B． C． D．无法确定 2．（23-24高一下·湖南·期中）函数的零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·江苏扬州·期中）函数的零点所在的区间为（    ） A． B． C． D． 4．（2024高二上·新疆·学业考试）函数的零点所在的区间是（   ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·甘肃庆阳·期中）函数的零点所在的区间是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二下·辽宁·期末）已知函数，则的零点所在的区间为（    ） A． B． C． D． 考向二 利用零点数量讨论参数范围 1．（2023·全国乙卷（文））函数存在3个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·天津·高考真题）若函数恰有一个零点，则的取值范围为 ． 3．（2023·天津·高考真题）设,函数,若恰有两个零点，则的取值范围为 ． 4．（2024·天津北辰·三模）若函数有四个零点，则实数的取值范围为 . 5．（2024·黑龙江大庆·三模）已知函数有2个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（2024·河南·二模）函数有且只有一个零点，则实数的取值范围为 . 7．（2024·全国·模拟预测）若函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是 ． 8．（2024·四川宜宾·三模）已知函数． (1)当时，求函数过原点的切线方程； (2)若有三个零点，求a的取值范围． 9．（2024·内蒙古包头·三模）设函数． (1)当时，求的最小值； (2)若恰有两个零点，求a的取值范围． 10．（2024·广东茂名·一模）设函数，. (1)当时，在上恒成立，求实数的取值范围； (2)若在上存在零点，求实数的取值范围. 考向三 分段函数的零点问题 1．（2024·山西·三模）已知函数，若函数恰有一个零点，则的取值范围是 . 2．（2024·西藏林芝·模拟预测）已知函数的定义域为，，若函数有三个零点，则实数的取值范围为 . 3．（2024·天津滨海新·二模）已知函数，若函数的零点个数为2，则a的范围为 . 4．（2024·天津滨海新·三模）已知函数若函数（）（为自然对数的底数）恰有4个零点，则的取值范围是 ． 5．（2024·北京西城·二模）已知函数，，其中． ①若函数无零点，则的一个取值为 ； ②若函数有4个零点，则 ． 6．（2024·全国·模拟预测）已知函数则函数有 个零点． 7．（2024·天津武清·模拟预测）已知函数，若函数恰有3个不同的零点，则实数a的取值范围是 . 8．（2024·新疆乌鲁木齐·三模）已知符号函数，则函数零点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 9．（2024·全国·模拟预测）已知函数，，若函数恰有6个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 10．（2024·陕西汉中·二模）已知函数，有4个零点，则m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$