数列：等比数列 专项训练-2025届高三数学一轮复习

数列：等比数列专项训练 考向一 等比数列基本量的计算 1．（2024·北京·高考真题）汉代刘歆设计的“铜嘉量”是龠、合、升、斗、斛五量合一的标准量器，其中升量器、斗量器、斛量器的形状均可视为圆柱.若升、斗、斛量器的容积成公比为10的等比数列，底面直径依次为 ，且斛量器的高为，则斗量器的高为 ，升量器的高为 ． 【答案】 23 57.5/ 【详解】设升量器的高为，斗量器的高为（单位都是），则， 故，. 故答案为：. 2．（2023·全国甲卷（文））记为等比数列的前项和．若，则的公比为 ． 【答案】 【详解】若， 则由得，则，不合题意. 所以. 当时，因为， 所以， 即，即，即， 解得. 故答案为： 3．（2023·全国乙卷（理））已知为等比数列，，，则 . 【答案】 【详解】设的公比为，则，显然， 则，即，则，因为，则， 则，则，则， 故答案为：. 4．（2023·全国甲卷（理））设等比数列的各项均为正数，前n项和，若，，则（    ） A． B． C．15 D．40 【答案】C 【详解】由题知, 即,即,即. 由题知,所以. 所以. 故选:C. 5．（2024·山东淄博·二模）已知等比数列则（　　） A．8 B．±8 C．10 D．±10 【答案】A 【详解】根据等比中项知道，求得，则. 又，则. 故选：A. 6．（2024·江苏·三模）设等比数列的前项和为，则（    ） A．1 B．4 C．8 D．25 【答案】A 【详解】因为，，所以， 因为是等比数列，所以成等比数列， 所以，解得或（舍，若成立则不满足上面三项成等比数列），故A正确. 故选：A. 7．（2024·黑龙江·模拟预测）已知为等比数列的前项积，若，且（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由等比数列的性质，得，所以. 故选:B. 8．（2024·福建泉州·模拟预测）等比数列中，，，记为的前n项和，则（    ） A． B． C． D．0 【答案】D 【详解】设等比数列公比为， 则， 因为，则， 又， 故，，， 则． 故选：D 9．（2024·陕西西安·三模）已知是等比数列的前n项和，，，则（    ） A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】B 【详解】设等比数列的公比为q，可得， 则， 所以． 故选：B. 10．（2024·全国甲卷（文））已知等比数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为,故， 所以即故等比数列的公比为， 故，故，故. （2）由等比数列求和公式得， 所以数列的前n项和 . 考向二 等比数列通项公式的性质 1．（2024·陕西安康·模拟预测）在等比数列中，，则的值为 . 【答案】1或 【详解】设等比数列的公比为， 因为， 所以，从而， 又，所以， 又，所以， 所以，所以， 当时，由，得， 当时，由，得， 综上，的值为或. 故答案为：或. 2．（2024·江西九江·三模）已知等差数列的公差为，是与的等比中项，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为是与的等比中项， 所以. 又因为数列为等差数列，公差为， 所以，化简得，即， 所以. 故选：A. 3．（2024·陕西安康·模拟预测）已知在正项等比数列中，，且成等差数列，则（    ） A．157 B．156 C．74 D．73 【答案】D 【详解】由等比中项性质知. 由成等差数列，得，所以， 所以等比数列的公比，所以， 所以. 故选：D. 4．（2024·安徽芜湖·三模）设，则“”是“为的等比中项”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】取，满足，但不成等比数列， 故“”推不出“为的等比中项”； 当为的等比中项时，必有成立， 故“”是“为的等比中项”的必要不充分条件， 故选：B 5．（2024·陕西安康·模拟预测）已知等比数列满足，其前项积为，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设等比数列的公比为， 由，得，解得， 又，得，解得， 所以. 故选：C. 6．（2024·山东济南·模拟预测）已知等比数列中所有项均为正数，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为等比数列中所有项均为正数， 若，则， 可知或或或或， 代入可得：或或或或， 所以当，时，取最小值． 故选：A． 7．（2024·天津北辰·三模）已知在等比数列中，，等差数列的前项和为，且，则（    ） A．60 B．54 C．42 D．36 【答案】C 【详解】由等比数列的性质可知，因为，所以，， 所以. 故选：C 8．（2024·四川成都·模拟预测）已知数列是等比数列，若，是的两个根，则 的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】若，是的两个根，则， 因为数列是等比数列，，. 故选：C. 9．（2024·安徽滁州·三模）已知是单调递增的等比数列，，则公比的值是（  ） A．2 B． C．3 D． 【答案】A 【详解】因为是等比数列， 所以， 则，解得或， 又因为是单调递增的等比数列， 所以， 所以公比. 故选：A. 考向三 等比数列前n项和的性质 1．（23-24高二下·天津北辰·阶段练习）在公差大于零的等差数列中，，，成等比数列，若，则 . 【答案】 【详解】设数列的公差为， 由，得，且， 所以，得， 得或（舍）， 所以. 故答案为： 2．（2024·西藏林芝·模拟预测）等比数列的前项和，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】若等比数列的公比为， 因为， 则，矛盾，故 设等比数列公比为，则， 即等比数列的前项和要满足， 又因为，所以. 故选：B 3．（2024·山西晋中·模拟预测）设等比数列的前项和为，若，则（    ） A． B．3 C．1 D． 【答案】B 【详解】设公比为， 当时，不符合题意； 当时， 又， 所以，解得. 故选：B 4．（2024·湖北襄阳·模拟预测）已知等比数列的前项和为，若，且，则（    ） A．40 B．-30 C．30 D．-30或40 【答案】A 【详解】因为，且， 所以，，故， 所以，即，解得或（舍去）， 由等比数列性质可知，成等比数列，公比为 所以，解得， 故选：A 5．（2024·江苏扬州·模拟预测）在正项等比数列中，为其前n项和，若，，则的值为（    ） A．10 B．20 C．30 D．40 【答案】C 【详解】设正项等比数列的公比为， 则是首项为，公比为的等比数列， 若，，则， 所以，即， 解得或（舍去）. 故选：C. 6．（2024·四川内江·三模）在等比数列中，为其前项和，若，则的值为（   ） A．25 B．30 C．35 D．40 【答案】C 【详解】因为为等比数列，所以成等比数列， 即成等比数列，可得，所以. 故选：C 7．（2024·湖南邵阳·模拟预测）记为公比小于1的等比数列的前项和，，，则（    ） A．6 B．3 C．1 D． 【答案】B 【详解】依题意，成等比数列，首项为2，设其公比为， 则， 由，得，整理得， 由等比数列的公比小于1，得，解得， 所以. 故选：B 8．（23-24高三下·湖北武汉·阶段练习）记等比数列的前项和为，若，则（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】因为数列为等比数列，且等比数列的前项和为， 所以成等比数列，则， 即，解得或. 设等比数列公比为，则， ，则，得. 故选：B 9．（2024·广西·二模）设是等比数列的前n项和，若，，则（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】D 【详解】由题意得，， 因为成等比数列，故， 即，解得， 故. 故选：D 10．（2024·全国·模拟预测）已知等比数列的前项和为，满足，则数列的公比为（    ） A． B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】设等比数列的公比为，由题设得 ， 解得． 故选：C． 11．（23-24高二上·安徽宣城·期末）设是等比数列的前项和，若，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意得，， 因为成等比数列，故， 即，解得， 故. 故选：B 2 学科网（北京）股份有限公司 $$数列：等比数列专项训练 考向一 等比数列基本量的计算 1．（2024·北京·高考真题）汉代刘歆设计的“铜嘉量”是龠、合、升、斗、斛五量合一的标准量器，其中升量器、斗量器、斛量器的形状均可视为圆柱.若升、斗、斛量器的容积成公比为10的等比数列，底面直径依次为 ，且斛量器的高为，则斗量器的高为 ，升量器的高为 ． 2．（2023·全国甲卷（文））记为等比数列的前项和．若，则的公比为 ． 3．（2023·全国乙卷（理））已知为等比数列，，，则 . 4．（2023·全国甲卷（理））设等比数列的各项均为正数，前n项和，若，，则（） A． B． C．15 D．40 5．（2024·山东淄博·二模）已知等比数列则（　　） A．8 B．±8 C．10 D．±10 6．（2024·江苏·三模）设等比数列的前项和为，则（    ） A．1 B．4 C．8 D．25 7．（2024·黑龙江·模拟预测）已知为等比数列的前项积，若，且（  ） A． B． C． D． 8．（2024·福建泉州·模拟预测）等比数列中，，，记为的前n项和，则（） A． B． C． D．0 9．（2024·陕西西安·三模）已知是等比数列的前n项和，，，则（） A．12 B．14 C．16 D．18 10．（2024·全国甲卷（文））已知等比数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和. 考向二 等比数列通项公式的性质 1．（2024·陕西安康·模拟预测）在等比数列中，，则的值为 . 2．（2024·江西九江·三模）已知等差数列的公差为，是与的等比中项，则（  ） A． B． C． D． 3．（2024·陕西安康·模拟预测）已知在正项等比数列中，，且成等差数列，则（    ） A．157 B．156 C．74 D．73 4．（2024·安徽芜湖·三模）设，则“”是“为的等比中项”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（2024·陕西安康·模拟预测）已知等比数列满足，其前项积为，则（ ） A． B． C． D． 6．（2024·山东济南·模拟预测）已知等比数列中所有项均为正数，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 7．（2024·天津北辰·三模）已知在等比数列中，，等差数列的前项和为，且，则（    ） A．60 B．54 C．42 D．36 8．（2024·四川成都·模拟预测）已知数列是等比数列，若，是的两个根，则 的值为（   ） A． B． C． D． 9．（2024·安徽滁州·三模）已知是单调递增的等比数列，，则公比的值是（  ） A．2 B． C．3 D． 考向三 等比数列前n项和的性质 1．（23-24高二下·天津北辰·阶段练习）在公差大于零的等差数列中，，，成等比数列，若，则 . 2．（2024·西藏林芝·模拟预测）等比数列的前项和，则（    ） A． B． C． D． 3．（2024·山西晋中·模拟预测）设等比数列的前项和为，若，则（    ） A． B．3 C．1 D． 4．（2024·湖北襄阳·模拟预测）已知等比数列的前项和为，若，且，则（    ） A．40 B．-30 C．30 D．-30或40 5．（2024·江苏扬州·模拟预测）在正项等比数列中，为其前n项和，若，，则的值为（    ） A．10 B．20 C．30 D．40 6．（2024·四川内江·三模）在等比数列中，为其前项和，若，则的值为（   ） A．25 B．30 C．35 D．40 7．（2024·湖南邵阳·模拟预测）记为公比小于1的等比数列的前项和，，，则（    ） A．6 B．3 C．1 D． 8．（23-24高三下·湖北武汉·阶段练习）记等比数列的前项和为，若，则（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 9．（2024·广西·二模）设是等比数列的前n项和，若，，则（    ） A．2 B． C．3 D． 10．（2024·全国·模拟预测）已知等比数列的前项和为，满足，则数列的公比为（    ） A． B．2 C．3 D．4 11．（23-24高二上·安徽宣城·期末）设是等比数列的前项和，若，则（    ） A．2 B． C． D． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$