数列：等差数列 专项训练-2025届高三数学一轮复习

数列：等差数列专项训练 考向一 等差数列基本量的计算 1．（2024·全国II卷）记为等差数列的前n项和，若，，则 . 2．（2024·全国甲卷（文））已知等差数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C．1 D． 3．（2024·全国甲卷（理））记为等差数列的前项和，已知，，则（    ） A． B． C． D． 4．（2024·新疆乌鲁木齐·三模）数列是等差数列，是数列的前项和，是正整数，甲：，乙：，则甲是乙的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（2024·新疆·二模）已知等差数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C． D． 6．（2024·内蒙古包头·三模）设为等差数列的前n项和，若，，若时，，则等于（    ） A．11 B．12 C．20 D．22 7．（2024·内蒙古包头·三模）设为等差数列的前n项和，若，，则使的n的最大值为（    ） A．11 B．12 C．20 D．21 8．（2024·甘肃张掖·三模）已知为等差数列的前项和，，则（    ） A．60 B．120 C．180 D．240 9．（2024·黑龙江大庆·三模）已知等差数列的前项和为，若，则（    ） A．30 B．32 C．36 D．40 10．（2024·广东汕头·三模）已知等差数列的前项和为，，，若，则（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 考向二 等差数列通项公式的性质 1．（2024·新疆喀什·三模）已知等差数列满足，记的前项和为，则（  ） A．18 B．24 C．27 D．45 2．（2024·辽宁·模拟预测）等差数列的前项和记为，若，，则（   ） A．51 B．102 C．119 D．238 3．（2024·广西柳州·模拟预测）在等差数列中，若，则（    ）． A．7 B．12 C．16 D．24 4．（2024·青海海西·模拟预测）前项和为的等差数列中，若，则（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 5．（2024·重庆·模拟预测）已知等差数列的前项和为，，，则（    ） A．7 B．8 C．10 D．16 6．（2020·北京怀柔·一模）在等差数列中，，则（    ） A． B． C． D． 7．（2024·山西运城·三模）已知数列是等差数列，，则（    ） A．4 B． C． D． 8．（2024·河北衡水·三模）已知数列均为等差数列，其前项和分别为，满足，则（   ） A．2 B．3 C．5 D．6 9．（2024·甘肃张掖·模拟预测）已知等差数列的前项和为，首项，若，则（    ） A．-1 B．1 C．0 D． 10．（2024·江西·模拟预测）已知等差数列的前n项和为，，，使的n的最大值为（    ） A．8 B．9 C．14 D．15 考向三 等差数列前项和的性质 1．（2024·陕西西安·模拟预测）已知等差数列和的前n项和分别为和，且，则 ． 2．（2022·全国·模拟预测）设为等差数列的前项和，若，，则 . 3．（2023·陕西榆林·模拟预测）已知数列，都是等差数列，记，分别为，的前n项和，且，则（    ） A． B． C． D． 4．（2024·山东·模拟预测）已知等差数列的公差为，前项和为．设甲：；乙：是递增数列，则（    ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 5．（2024·福建莆田·三模）设数列的前n项和为，则“是等差数列”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（2024·全国·模拟预测）已知等差数列的前项和分别为，且，则（   ） A． B． C． D． 7．（2024·陕西咸阳·二模）已知等差数列的前项和为，若，，则（    ） A．30 B．58 C．60 D．90 8．（23-24高三上·河北·期末）设是等差数列的前项和，若，则（    ） A． B． C． D． 9．（2024·全国·模拟预测）在数列中，，对任意正整数，则数列的前项和的最大值为（    ） A．77 B．76 C．75 D．74 10．（2024·辽宁·二模·多选）设是等差数列，是其前n项的和.且，，则下面结论正确的是（    ） A． B． C．与均为的最大值 D．满足的n的最小值为14 2 学科网（北京）股份有限公司 $$数列：等差数列专项训练 考向一 等差数列基本量的计算 1．（2024·全国II卷）记为等差数列的前n项和，若，，则 . 【答案】95 【详解】因为数列为等差数列，则由题意得，解得， 则. 故答案为：. 2．（2024·全国甲卷（文））已知等差数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【详解】方法一：利用等差数列的基本量 由，根据等差数列的求和公式，， 又. 故选：D 方法二：利用等差数列的性质 根据等差数列的性质，，由，根据等差数列的求和公式， ，故. 故选：D 方法三：特殊值法 不妨取等差数列公差，则，则. 故选：D 3．（2024·全国甲卷（理））记为等差数列的前项和，已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，则， 则等差数列的公差，故. 故选：B. 4．（2024·新疆乌鲁木齐·三模）数列是等差数列，是数列的前项和，是正整数，甲：，乙：，则甲是乙的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【详解】数列是等差数列，是数列的前项和，，，，是正整数， 甲：，乙：， 则甲不能推出乙， 例如等差数列1，2，3，4，5，，中， ，，，，， ，但，即充分性不成立； 乙不能推出甲， 例如等差数列1，2，3，4，5，，中， ，，，，， ，但，即必要性不成立， 甲是乙的不充分不必要条件． 故选：D． 5．（2024·新疆·二模）已知等差数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以，所以． 因为，所以． 另解：设等差数列的公差为， 由，得， 所以，即，得， 所以， 因为， ， ， ， 所以 故选：A． 6．（2024·内蒙古包头·三模）设为等差数列的前n项和，若，，若时，，则等于（    ） A．11 B．12 C．20 D．22 【答案】D 【详解】设公差为， 由，得，所以， 由，得 故， 则， 因为， 所以， 化简得，解得或（舍去）. 故选：D. 7．（2024·内蒙古包头·三模）设为等差数列的前n项和，若，，则使的n的最大值为（    ） A．11 B．12 C．20 D．21 【答案】D 【详解】设等差数列的公差为d， 由，得，得，由于，得， 由，得， 得， 得， 得， 得，且， 则n的最大值为21， 故选：D 8．（2024·甘肃张掖·三模）已知为等差数列的前项和，，则（    ） A．60 B．120 C．180 D．240 【答案】B 【详解】因为，根据等和性可得， 则， 故选：B 9．（2024·黑龙江大庆·三模）已知等差数列的前项和为，若，则（    ） A．30 B．32 C．36 D．40 【答案】A 【详解】设等差数列的公差为，由，得， 解得，所以. 故选：A. 10．（2024·广东汕头·三模）已知等差数列的前项和为，，，若，则（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】B 【详解】由，，得，解得，则等差数列的公差， 于是，由，得， 所以. 故选：B 考向二 等差数列通项公式的性质 1．（2024·新疆喀什·三模）已知等差数列满足，记的前项和为，则（  ） A．18 B．24 C．27 D．45 【答案】D 【详解】由可得， 所以， 故选：D 2．（2024·辽宁·模拟预测）等差数列的前项和记为，若，，则（   ） A．51 B．102 C．119 D．238 【答案】B 【详解】等差数列中，，，即， 所以， 则. 故选：B. 3．（2024·广西柳州·模拟预测）在等差数列中，若，则（    ）． A．7 B．12 C．16 D．24 【答案】B 【详解】在等差数列中， 若，则， 所以，所以． 故选：B 4．（2024·青海海西·模拟预测）前项和为的等差数列中，若，则（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【详解】由，可得． 故选：A． 5．（2024·重庆·模拟预测）已知等差数列的前项和为，，，则（    ） A．7 B．8 C．10 D．16 【答案】C 【详解】因为，， 所以，即，解得. 故选：C 6．（2020·北京怀柔·一模）在等差数列中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由可得， 故， 故选：D 7．（2024·山西运城·三模）已知数列是等差数列，，则（    ） A．4 B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，则，又，则， 解得， 所以. 故选：C 8．（2024·河北衡水·三模）已知数列均为等差数列，其前项和分别为，满足，则（   ） A．2 B．3 C．5 D．6 【答案】A 【详解】因为数列均为等差数列，可得， 且，又由，可得． 因此. 故选：A． 9．（2024·甘肃张掖·模拟预测）已知等差数列的前项和为，首项，若，则（    ） A．-1 B．1 C．0 D． 【答案】D 【详解】由前项和定义可得， 因为是等差数列，所以，即， 因为，所以. 设等差数列的公差为，由，所以， 所以， 所以. 故选：D. 10．（2024·江西·模拟预测）已知等差数列的前n项和为，，，使的n的最大值为（    ） A．8 B．9 C．14 D．15 【答案】D 【详解】由等差数列的性质，可得， 因为，所以且， 则，，， 所以使的n的最大值为15． 故选：D. 考向三 等差数列前项和的性质 1．（2024·陕西西安·模拟预测）已知等差数列和的前n项和分别为和，且，则 ． 【答案】 【详解】因为等差数列和的前n项和分别为和， 故可设， 所以， 所以. 故答案为：. 2．（2022·全国·模拟预测）设为等差数列的前项和，若，，则 . 【答案】16 【详解】方法一：因为为等差数列的前项和，则，，也成等差数列， ，，成等差数列，所以，解得. 方法二：设等差数列的公差为，由为等差数列的前项和，且，， 所以，解得：， 所以. 故答案为：16 3．（2023·陕西榆林·模拟预测）已知数列，都是等差数列，记，分别为，的前n项和，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，可得， 因为数列，都是等差数列， 所以不妨令， 所以， ， 所以. 故选：C 4．（2024·山东·模拟预测）已知等差数列的公差为，前项和为．设甲：；乙：是递增数列，则（    ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】D 【详解】若公差，如数列，，，，…，0，1，2，…，则数列的前项和先减再增； 若是递增数列，如，则为常数列也为等差数列，且； 所以甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件，故D项正确. 故选：D. 5．（2024·福建莆田·三模）设数列的前n项和为，则“是等差数列”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】由是等差数列，得，满足充分性； 反之，，只需，得不到是等差数列， 不满足必要性，则“是等差数列”是“”的充分不必要条件. 故选：A 6．（2024·全国·模拟预测）已知等差数列的前项和分别为，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为为等差数列的前项和，所以可设，（等差数列前项和的二级结论） 同理因为为等差数列的前项和，所以可设． 又，所以，即， 整理得，解得． 不妨设，则，则，故， 故选：D． 7．（2024·陕西咸阳·二模）已知等差数列的前项和为，若，，则（    ） A．30 B．58 C．60 D．90 【答案】D 【详解】由数列为等差数列， 故、、、、亦为等差数列， 由，，则， 故，，， 即有，，. 故选：D. 8．（23-24高三上·河北·期末）设是等差数列的前项和，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由等差数列片段和性质知：是等差数列. 由，可设，则，于是依次为， 所以，所以. 故选：B 9．（2024·全国·模拟预测）在数列中，，对任意正整数，则数列的前项和的最大值为（    ） A．77 B．76 C．75 D．74 【答案】A 【详解】因为，即，所以为等差数列，且公差为-3．又20， 所以，所以数列单调递减数列， 所以， 所以最大，且． 故选：A． 10．（2024·辽宁·二模·多选）设是等差数列，是其前n项的和.且，，则下面结论正确的是（    ） A． B． C．与均为的最大值 D．满足的n的最小值为14 【答案】BCD 【详解】A：因为，所以， 所以，故A错误； B：由A的解析可得B正确； C：因为，，所以与均为的最大值，故C正确； D：因为，由，， 故D正确； 故选：BCD. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$