第7章 培优增分 第2讲 与球有关的切、接问题（PPT课件）-【高考领航】2025年高考数学大一轮复习
2024-11-08
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教辅
内容正文：
培优增分 第2讲 与球有关的切、接问题
限时规范训练
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命题解读 研究与球有关的切、接问题，既要运用多面体、旋转体的知识，又要运用球的几何性质，要特别注意多面体、旋转体的有关几何元素与球的半径之间的关系，解决此类问题的关键是确定球心．
限时规范训练
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例1 已知三棱锥P-ABC中，PA，PB，PC两两垂直，且PA＝1，PB＝2，PC＝3，则三棱锥P-ABC的外接球的表面积为( )
角度 1
补形法——存在侧棱与底面垂直
题型一 外接球
B
限时规范训练
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B 以线段PA，PB，PC为相邻三条棱的长方体PAB′B -CA′P′C′被平面ABC所截的三棱锥P-ABC符合要求，如图，长方体PAB′B -CA′P′C′与三棱锥P -ABC有相同的外接球，其外接球直径为长方体体对角线PP′，
设外接球的半径为R，
则(2R)2＝PP′2＝PA2＋PB2＋PC2＝12＋22＋32＝14，
则所求球的表面积S＝4πR2＝π·(2R)2＝14π.
限时规范训练
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例2 已知棱长为1的正四面体的四个顶点都在一个球面上，则这个球的体积为( )
角度 2
补形法——对棱相等
A
限时规范训练
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限时规范训练
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限时规范训练
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补形法的解题策略
(1)侧面为直角三角形或正四面体，或对棱均相等的模型，可以放到正方体或长方体中去求解．
(2)直三棱锥补成三棱柱求解．
反思感悟
限时规范训练
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例3 已知A，B，C为球O的球面上的三个点，⊙O1为△ABC的外接圆．若⊙O1的面积为4π，AB＝BC＝AC＝OO1，则球O的表面积为( )
A．64π B．48π
C．36π D．32π
角度 3
截面法
A
限时规范训练
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A 如图所示，设球O的半径为R，⊙O1的半径为r，因为⊙O1的面积为4π，
所以4π＝πr2，解得r＝2，
又AB＝BC＝AC＝OO1，
限时规范训练
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根据球的截面性质OO1⊥平面ABC，
所以OO1⊥O1A，
限时规范训练
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与球截面有关的解题策略
(1)定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径．
(2)作截面：选准最佳角度作出截面，达到空间问题平面化的目的．
反思感悟
限时规范训练
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A．100π B．128π
C．144π D．192π
角度 4
定义法
A
限时规范训练
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限时规范训练
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限时规范训练
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到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据到其他顶点距离也是半径，列关系式求解即可．
反思感悟
限时规范训练
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A
限时规范训练
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限时规范训练
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限时规范训练
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(2)已知直三棱柱ABC -A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则球O的半径为( )
C
限时规范训练
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限时规范训练
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例5 如图所示，直三棱柱ABC -A1B1C1是一块石材，测量得∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，AA1＝13.若将该石材切削、打磨，加工成几个大小相同的健身手球，则一个加工所得的健身手球的最大体积及此时加工成的健身手球的个数分别为( )
题型二 内切球
D
限时规范训练
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限时规范训练
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“切”的问题处理规律
(1)找准切点，通过作过球心的截面来解决．
(2)体积分割是求内切球半径的常用方法．
反思感悟
限时规范训练
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D
限时规范训练
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如图，经过点O，O1，A作半球的截面，则半圆⊙O的半径为OC，OC⊥OA，作O1B⊥OC于 点B.
则OA＝O1B＝2.设该半球的半径是R，
限时规范训练
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限时规范训练(四十八)
限时规范训练
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A级 基础落实练
1．(2024·岳阳模拟)已知一个棱长为2的正方体的顶点都在某球面上，则该球体的体积为( )
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2．正方体的外接球与内切球的表面积比值为( )
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C 设正方体的外接球的半径为R，内切球的半径为r，棱长为1，
则正方体的外接球的直径为正方体的体对角线长，
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5．(2021·全国甲卷)已知A，B，C是半径为1的球O的球面上的三个点，且AC⊥BC，AC＝BC＝1，则三棱锥O -ABC的体积为( )
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8．(2022·全国乙卷)已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为( )
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C 该四棱锥的体积最大即以底面截球的圆面和顶点O组成的圆锥体积最大．
设圆锥的高为h(0＜h＜1)，底面半径为r，
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10．已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为________．
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∴三棱柱外接球球心为上、下底面外心所连线段的中点O，即为三棱锥D -ABC外接球球心，
答案：32π
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12．(2024·洛阳模拟)已知在三棱锥P -ABC中，AB＝4，BC＝3，PA＝AC＝5，当该三棱锥体积最大时，其外接球的表面积为________．
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因为AB＝4，BC＝3，PA＝AC＝5，
所以AB2＋BC2＝AC2，
所以△ABC为直角三角形，∠ABC＝90°，
所以△ABC的面积为定值，
所以当PA⊥平面ABC时，该三棱锥体积最大．
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答案：50π
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B级 能力提升练
13．(2024·福建联合测评)已知在正三棱锥P -ABC中，O为△ABC的中心，AB＝6，∠APB＝2∠PAO，则该正三棱锥的外接球的表面积为( )
A．49π B．36π
C．32π D．28π
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设外接球球心为M，半径为R，
则MP＝MA＝R，MO＝|3－R|.
因为MA2＝MO2＋OA2，
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14．(2024·桂林月考)已知三棱锥P -ABC的四个顶点在球O的球面上，PA＝PB＝PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF＝90°，则球O的体积为( )
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15．(2024·宝鸡第四次质量检测)如图，在正四棱台ABCD -A1B1C1D1中，O，O1分别是正方形ABCD，A1B1C1D1的中心．若以O1为球心，O1A1为半径的球与平面ABCD相切，且O是该四棱台的外接球的球心，则该四棱台的体积与其外接球的体积之比为________．
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如图，该四面体的外接球的球心O一定在经过△ABC外接圆的圆心O′且垂直于平面ABC的直线上，且到A，P的距离相等．连接OO′，AO′，OA.
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