第7章 第3讲 空间点、直线、平面之间的位置关系（PPT课件）-【高考领航】2025年高考数学大一轮复习

第3讲　空间点、直线、平面之间的位置关系 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 　1.借助长方体，在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义.2.了解四个基本事实和一个定理，并能应用定理解决问题． 考试要求 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 聚焦必备知识 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 1．平面的基本事实及推论 (1)平面的基本事实 基本事实1：过__________________的三个点，有且只有一个平面． 基本事实2：如果一条直线上的__________在一个平面内，那么这条直线在这个平面内． 基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有________过该点的公共直线． 基本事实4：平行于同一条直线的两条直线________． 知识梳理 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 (2)三个推论 推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面； 推论2：经过两条________直线，有且只有一个平面； 推论3：经过两条________直线，有且只有一个平面． 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 2．空间两直线的位置关系 　　　　(1)不能把异面直线误解为分别在不同平面内的两条直线为异面直线． (2)异面直线不具有传递性． 提醒 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 3．空间直线与平面、平面与平面的位置关系 (1)直线与平面的位置关系有相交、平行、在平面内三种情况． (2)平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况． 　　　　判定直线与平面的位置关系时一定不要忽视“直线在平面内”． 提醒 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 4．等角定理 如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角_________ _____． 5．异面直线所成的角 (1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，把直线a′与b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)． (2)范围：____________． 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 1．异面直线的判定：经过平面内一点和平面外一点的直线与平面内不经过该点的直线互为异面直线． 2．唯一性定理 (1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行． (2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直． (3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行． (4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直． 常用结论 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 1．思考辨析(在括号内打“ √”或“×”) (1)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于过A点的任意一条直线．(　　) (2)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．(　　) (3)若直线a不平行于平面α，且a⊄α，则α内的所有直线与a异面． (　　) (4)两两相交的三条直线最多可以确定三个平面．(　　) 夯基诊断 ×　 ×　 ×　 √　 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 2．回源教材 (1)下列命题正确的是(　　) A．空间任意三个点确定一个平面 B．一个点和一条直线确定一个平面 C．两两相交的三条直线确定一个平面 D．两两平行的三条直线确定一个或三个平面 D　 D　A中，不在一条直线上的三个点才能确定一个平面，A错； B中，只有点在直线外时才能确定一个平面，B错； C中，当三条直线交于一点时不一定确定一个平面，C错，故只有选项D正确． 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 (2)α是一个平面，m，n是两条直线，A是一个点，若m⊄α，n⊂α，且A∈m，A∈α，则m，n的位置关系不可能是(　　) A．垂直　　 B．相交　 C．异面　　 D．平行 D　 D　若m与n平行，由于A∈m，A∈α，可得m⊂α，与m⊄α矛盾，故m与n不平行． 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 C　 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 C　如图，补上一个相同的长方体CDEF -C1D1E1F1，连接DE1，B1E1.易知AD1∥DE1，则∠B1DE1或其补角为异面直线AD1与DB1所成的角． 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 突破核心命题 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 例1　已知在正方体ABCD -A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，C1B1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q.求证： (1)D，B，F，E四点共面； (2)若A1C交平面DBFE于点R，则P，Q，R三点共线； (3)DE，BF，CC1三线交于一点． 考 点 一 基本事实的应用 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 证明：(1)如图所示，连接B1D1. 因为EF是△D1B1C1的中位线，所以EF∥B1D1.在正方体ABCD -A1B1C1D1中，B1D1∥BD，所以EF∥BD，所以EF，BD确定一个平面，即D，B，F，E四点共面． (2)在正方体ABCD -A1B1C1D1中，连接A1C，设A1，C，C1确定的平面为α，又设平面BDEF为β.因为Q∈A1C1，所以Q∈α.又Q∈EF，所以Q∈β，所以Q是α与β的公共点，同理，P是α与β的公共点．所以α∩β＝PQ.又A1C∩β＝R，所以R∈A1C，R∈α，且R∈β.则R∈PQ，故P，Q，R三点共线． 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 (3)因为EF∥BD且EF＜BD，所以DE与BF相交，设交点为M，则由M∈DE，DE⊂平面D1DCC1，得M∈平面D1DCC1， 同理，M∈平面B1BCC1. 又平面D1DCC1∩平面B1BCC1＝CC1， 所以M∈CC1. 所以DE，BF，CC1三线交于一点． 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 共面、共线、共点问题的证明 (1)共面：先确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内． (2)共线：先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上． (3)共点：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点． 反思感悟 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 训练1　(多选)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论正确的是(　　　) A．A，M，O三点共线 B．A，M，O，A1共面 C．A，M，C，O共面 D．B，B1，O，M共面 ABC　 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 ABC　∵M∈A1C，A1C⊂平面A1ACC1，∴M∈平面A1ACC1，又M∈平面AB1D1，∴M在平面AB1D1与平面A1ACC1的交线AO上，即A，M，O三点共线，∴A，M，O，A1共面且A，M，C，O共面，∵平面BB1D1D∩平面AB1D1＝B1D1，∴M在平面BB1D1D外，即B，B1，O，M不共面，故选ABC． 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 例2　已知在长方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是长方形A1B1C1D1与长方形BCC1B1的中心，则下列说法正确的是(　　) A．直线MN与直线A1B是异面直线 B．直线MN与直线DD1相交 C．直线MN与直线AC1是异面直线 D．直线MN与直线A1C平行 考 点 二 空间线、面位置关系的判断 C　 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 C　如图，因为M，N分别是长方形A1B1C1D1与长方形BCC1B1的中心，所以M，N分别是A1C1，BC1的中点，所以直线MN与直线A1B平行，所以A错误；因为直线MN经过平面BB1D1D内一点M，且点M不在直线DD1上，所以直线MN与直线DD1是异面直线，所以B错误；因为直线MN经过平面ABC1内一点N，且点N不在直线AC1上，所以 直线MN与直线AC1是异面直线，所以C正确；因为直线MN经过平面A1CC1内一点M，且点M不在直线A1C上，所以直线MN与直线A1C是异面直线，所以D错误． 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 1．点、线、面位置关系的判定，注意构造几何体(长方体、正方体)模型来判断，常借助正方体为模型，直观感知并认识空间点、线、面的位置关系． 2．异面直线的判定可以用本节常用结论1. 反思感悟 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 训练2　如图，S是圆锥的顶点，AB是底面圆的直径，AS⊥BS，M是线段AS上的点(不与端点A，S重合)，N是底面圆周上的动点，则直线BS与MN不能(　　) A．异面　　 B．相交　 C．平行　　 D．垂直 C　 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 C　当N不与A或B重合时，SB是平面SAB内的一条直线，MN是平面SAB外的一条直线，且M不在SB上，可知BS与MN异面；当N与B重合时，可知MN与BS相交；当N与A重合时，可知SB与MN垂直．∴直线BS与MN不能平行．故选C． 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 例3　(1)平面α过正方体ABCD -A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，α∩平面ABB1A1＝n，则m，n所成角的正弦值为 (　　) 考 点 三 求异面直线所成的角 A　 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 A　如图所示，过点A补作一个与正方体ABCD -A1B1C1D1相同棱长的正方体， 易知平面α为平面AF1E， 则m，n所成的角为∠EAF1. ∵△AF1E为正三角形， 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 设BD的中点为O，连接EO，FO， 所以EO∥AD，FO∥BC， 则∠EOF(或其补角)就是异面直线AD与BC所成的角． 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 答案：30° 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 求异面直线所成角的方法 反思感悟 方法 解读 平移法 将异面直线中的某一条平移，使其与另一条相交，一般采用图中已有的平行线或者作平行线，形成三角形求解 补形法 在该几何体的某侧补接上同样一个几何体，在这两个几何体中找异面直线相应的位置，形成三角形求解 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 训练3　在正三棱柱ABC -A1B1C1中，AA1＝2AB＝2，点M为棱CC1的中点，则异面直线AB与A1M所成角的余弦值为(　　) C　 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 限时规范训练(四十九) 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 A级　基础落实练 1．若直线上有两个点在平面外，则(　　) A．直线上至少有一个点在平面内 B．直线上有无穷多个点在平面内 C．直线上所有点都在平面外 D．直线上至多有一个点在平面内 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 11 1 2 D　 D　根据题意，两点确定一条直线，那么由于直线上有两个点在平面外，则直线在平面外，只能是直线与平面相交，或者直线与平面平行，那么可知直线上至多有一个点在平面内． 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 2 1 2．(多选)下列命题中不正确的是(　　　) A．空间四点共面，则其中必有三点共线 B．空间四点不共面，则其中任意三点不共线 C．空间四点中有三点共线，则此四点不共面 D．空间四点中任意三点不共线，则此四点不共面 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 11 ACD　 ACD　对于平面四边形来说不成立，故A不正确；若四点中有三点共线，则根据“直线与直线外一点可以确定一个平面”知四点共面，与四点不共面矛盾，故B正确；由B的分析可知C不正确；平面四边形的四个顶点中任意三点不共线，但四点共面，故D不正确． 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 2 3 1 3．下列推断中，错误的是(　　) A．若M∈α，M∈β，α∩β＝l，则M∈l B．A∈α，A∈β，B∈α，B∈β⇒α∩β＝AB C．l⊄α，A∈l⇒A∉α D．A，B，C∈α，A，B，C∈β，且A，B，C不共线⇒α，β重合 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 11 C　 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 2 3 1 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 11 C　对于A，因为M∈α，M∈β，α∩β＝l，由基本事实3可知M∈l，A正确； 对于B，A∈α，A∈β，B∈α，B∈β，故直线AB⊂α，AB⊂β，则α∩β＝AB，B正确； 对于C，若l∩α＝A，则有l⊄α，A∈l，但A∈α，C错误； 对于D，有三个不共线的点在平面α，β中，故α，β重合，D正确． 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 2 3 4 1 4．已知a，b，c是两两不同的三条直线，下面四个命题中，真命题是(　　) A．若直线a，b异面，b，c异面，则a，c异面 B．若直线a，b相交，b，c相交，则a，c相交 C．若a∥b，则a，b与c所成的角相等 D．若a⊥b，b⊥c，则a∥c 5 6 7 8 9 10 12 13 14 11 C　 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 11 1 C　A中，在长方体ABCD -A1B1C1D1中，若直线AA1记为直线a，直线BC记为直线b，当记B1A1为直线c时，a和c相交；当记DD1为直线c时，a和c平行；当记C1D1为直线c时，a和c异面，故若直线a，b异面，b，c异面，则a，c相交、平行或异面，故A错误； 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 11 1 B中，若直线a，b相交，b，c相交，则a，c相交、平行或异面，故B错误； C中，若a∥b，则由异面直线所成的角的定义知a，b与c所成的角相等，故C正确； D中，若a⊥b，b⊥c，则a与c相交、平行或异面，故D错误．故选C． 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 2 3 4 5 1 A．AE＝CF，AC与EF是共面直线 B．AE≠CF，AC与EF是共面直线 C．AE＝CF，AC与EF是异面直线 D．AE≠CF，AC与EF是异面直线 6 7 8 9 10 12 13 14 11 D　 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 2 3 4 5 1 6 7 8 9 10 12 13 14 11 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 12 13 14 11 A　 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 12 13 14 11 A　如图，连接B1D，交AC1于O点，则O点为B1D的中点，取CD的中点E，则OE∥B1C，异面直线AC1与B1C所成角即直线AC1与OE所成角． 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 12 13 14 11 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 7 7．已知△ABC的两边AC，BC分别交平面α于点M，N，设直线AB与平面α交于点O，则点O与直线MN的位置关系是________． 8 9 10 12 13 14 11 1 3 4 5 6 2 ∵O在直线AB上，AB⊂平面ABC，∴O∈平面ABC.又O∈α，∴O在平面ABC与α的交线上．又平面ABC∩平面α＝MN，∴O∈MN. 答案：O∈MN 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 8 8．如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，则异面直线AP与BD所成的角为________． 9 10 12 13 14 11 1 3 4 5 6 7 2 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 8 9 10 12 13 14 11 1 3 4 5 6 7 2 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 9 9．如图，在正方体ABCD -A1B1C1D1中，下列说法正确的个数是________． ①直线AC1在平面CC1B1B上； ②由点A，O，C可以确定一个平面； ③直线OO1与点D不能确定一个平面； ④由点A，C1，B1确定的平面与由点A，C1，D确定的平面是同一平面． 10 12 13 14 11 1 3 4 5 6 7 8 2 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 9 10 12 13 14 11 1 3 4 5 6 7 8 2 因为直线AC1与平面CC1B1B相交于点C1，所以①错误；因为点A，O，C三点共线，所以可以确定无数个平面，②错误；因为点D不在直线OO1上，所以直线OO1与点D能确定一个平面，③错误；因为直线AD∥B1C1，所以点A，D，B1，C1四点共面，故④正确．故正确的命题只有一个． 答案：1 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 10 12 13 14 11 1 3 4 5 6 7 8 9 2 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 10 12 13 14 11 1 3 4 5 6 7 8 9 2 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 11 11．如图所示，A是△BCD所在平面外的一点，E，F分别是BC，AD的中点． (1)求证：直线EF与BD是异面直线； (2)若AC⊥BD，AC＝BD，求EF与BD所成的角的大小． 12 13 14 1 3 4 5 6 7 8 9 10 2 解：(1)证明：假设EF与BD不是异面直线，则EF与BD共面，从而DF与BE共面，即AD与BC共面，所以A，B，C，D在同一平面内，这与A是△BCD所在平面外的一点相矛盾，故直线EF与BD是异面直线． 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 所以相交直线EF与EG所成的角即为异面直线EF与BD所成的角． 又因为AC⊥BD，则FG⊥EG， 在Rt△EGF中，由AC＝BD可得EG＝FG，得∠FEG＝45°，即异面直线EF与BD所成的角为45°. 11 12 13 14 1 3 4 5 6 7 8 9 10 2 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 12 B级　能力提升练 12．(多选)(2024·泰州模拟)已知直线l与平面α相交于点P，则(　　　) A．α内不存在直线与l平行 B．α内有无数条直线与l垂直 C．α内所有直线与l是异面直线 D．至少存在一个过l且与α垂直的平面 13 14 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2 ABD　 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 12 13 14 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2 ABD　如图，对于A，直线l与平面α相交于点P，所以平面α内不存在直线与l平行，故A正确； 对于D，取直线l上除斜足外一点A，过该点作平面α的垂线AO，则平面POA垂直于平面α，故D正确． 对于B，平面α内存在与l在平面α的射影PO垂直的直线n，平面α内与n平行的直线都与l垂直，有无数条，故B正确； 对于C，平面α内过点P的直线m与直线l相交，不是异面直线，故C错误； 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 13．(多选)将下面的平面图形(每个点都是正三角形的顶点或边的中点)沿虚线折成一个四面体后，直线MN与PQ是异面直线的是(　　) 13 14 1 3 4 5 6 7 8 9 10 12 11 2 AD　 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 13 14 1 3 4 5 6 7 8 9 10 12 11 2 AD　A对应图①，Q是平面PMN外一点，M在平面PMN内，且P不在直线MN上，因此MN与PQ是异面直线，A正确；B对应图②，点Q，N重合，MN与PQ是相交直线，B错误；C对应图③，由中位线定理得MN，PQ都与棱AB平行，从而MN∥PQ，C错误；D对应图④，与图①类似得MN与PQ是异面直线，D正确． 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 14 14．如图，在四棱锥P -ABCD中，PC⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，AD⊥DC，AB∥DC，AB＝2AD＝2CD＝2，点E是PB的中点． (1)线段PA上是否存在一点G，使得点D，C，E，G共面？若存在，请证明，若不存在，请说明理由； (2)若PC＝2，求三棱锥P -ACE的体积． 1 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 11 2 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 解：(1)证明：存在．当G为PA的中点时满足条件． 如图，连接GE，GD，则GE是△PAB的中位线， 所以GE∥AB. 又AB∥DC，所以GE∥DC， 所以G，E，C，D四点共面． 14 1 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 11 2 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 14 1 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 11 2 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 14 1 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 11 2 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 本部分内容讲解结束 按ESC键退出全屏播放 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 $$