第7章 第1讲 空间几何体（PPT课件）-【高考领航】2025年高考数学大一轮复习

第1讲　空间几何体 第七章　立体几何与空间向量 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 1.认识柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征，能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.2.知道球、棱(圆)柱、棱(圆)锥、棱(圆)台的表面积和体积的计算公式，能用公式解决简单的实际问题.3.能用斜二测画法画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱及其简单组合体)的直观图． 考试要求 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 聚焦必备知识 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 1．基本立体图形 (1)多面体的结构特征 知识梳理 名称 棱柱 棱锥 棱台 图形 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 名称 棱柱 棱锥 棱台 底面 互相________且________ 多边形 互相________且________ 侧棱 互相________且________ 相交于________，但不一定相等 延长线交于_______ 侧面 形状 平行四边形 三角形 梯形 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 (2)旋转体的结构特征 名称 圆柱 圆锥 圆台 球 图形 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 名称 圆柱 圆锥 圆台 球 母线 互相平行且相等，________于底面 长度相等且相交于________ 延长线交于________   轴截面 全等的________ 全等的______________ 全等的____________ 圆面 侧面 展开图 ________ 扇形 扇环   　　　　旋转体要抓住“旋转”这一特点，弄清底面、侧面及展开图的形状． 提醒 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 2．立体图形的直观图 (1)画法：常用斜二测画法． (2)规则： ①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直； ②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴．平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度________，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的________． 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 3．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 4．空间几何体的表面积与体积公式 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 1．球的截面性质：球的截面是圆面，且球心和截面(不过球心)的圆心的连线垂直于截面． 2．几个与球有关的切、接常用结论 (1)设正方体的棱长为a，球的半径为R. 常用结论 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 1．思考辨析(在括号内打“ √”或“×”) (1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱．(　　) (2)用一个平行于底面的平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．(　　) (3)菱形的直观图仍是菱形(　　) 夯基诊断 ×　 √　 ×　 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 2．回源教材 (1)若一个水平放置的平面图形用斜二测画法画出的直观图是一个边长为2的正方形(如图)，则原平面图形的周长为(　　) B　 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 (2)(多选)下列说法正确的是(　　　) A．以直角梯形的一腰所在直线为旋转轴，其余各边旋转一周形成的面所围成的旋转体是圆台 B．以等腰三角形的底边上的高线所在直线为旋转轴，其余各边旋转一周形成的面所围成的旋转体是圆锥 C．圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面 D．用一个平面去截球，得到的截面是一个圆面 BCD 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 BCD　 选项 正误 原因 A × 如果旋转轴不是垂直于底边的腰所在直线，则旋转体不是圆台 B √ 根据圆锥的定义可知，该说法正确 C √ 圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面 D √ 由球的几何性质可知，用一个平面去截球，得到的截面是一个圆面 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 (3)如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽毛坯的底面正六边形的边长为2 cm，内孔半径为0.5 cm，高为2 cm，则此六角螺帽毛坯的体积是________cm3. 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 突破核心命题 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 1．(多选)给出下列命题，其中真命题是(　　　) A．棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形 B．若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直 C．在四棱柱中，若过相对侧棱的两个截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱 D．存在每个面都是直角三角形的四面体 考 点 一 基本立体图形 考向 1 结构特征 BCD　 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 BCD　A不正确，根据棱柱的定义，棱柱的各个侧面都是平行四边形，但不一定全等；B正确，若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则三个侧面构成的三个二面角都是直二面角；C正确，因为过相对侧棱的两个截面的交线平行于侧棱，又两个截面都垂直于底面，故该四棱柱为直四棱柱；D正确，如图，正方体ABCD -A1B1C1D1中的三棱锥C1-ABC，四个面都是直角三角形． 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 2．下列命题正确的是(　　) A．在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线 B．直角三角形绕其任意一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥 C．棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等 D．直角梯形以一条直角腰所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体是圆台 D　 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 D　A不一定，只有当这两点的连线垂直于底面时才是母线；B不一定，当以斜边所在直线为旋转轴时，其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥，如图所示，它是由两个同底圆锥组成的几何体；C错误，棱台的上、下底面相似且对应边互相平行，棱台的各侧棱延长线交于一点，但是这些侧棱的长不一定相等．易知D正确． 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 空间几何体结构特征的判断技巧 (1)紧扣结构特征是判断的关键，熟悉空间几何体的结构特征，依据条件构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素，然后再依据题意判定． (2)通过反例对结构特征进行辨析，即要说明一个命题是错误的，只要举出一个反例即可． 反思感悟 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 考向 2 直观图 B　 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 1．在斜二测画法中，要确定关键点及关键线段：“平行于x轴的线段平行性不变，长度不变；平行于y轴的线段平行性不变，长度减半．” 反思感悟 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 例2　(2024·郴州模拟)已知圆台的上、下底面圆半径分别为5和10，侧面积为300 π，AB为圆台的一条母线(点B在圆台的下底面圆周上)，M为AB的中点，一只蚂蚁从点B出发，绕圆台侧面爬行一周到点M，则蚂蚁爬行所经路程的最小值为(　　) A．30　　 B．40　 C．50　　 D．60 考向 3 展开图 C　 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 C　圆台下底面半径为10，上底面半径为5，设母线长为l， ∴侧面积S＝πl(10＋5)＝15πl＝300π， 解得l＝20. 将圆台所在圆锥的侧面展开如图所示，且设扇形所在圆的圆心为O. 线段M1B就是蚂蚁经过的最短距离． 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 几何体的表面展开图可以有不同的形状，应多实践、观察并大胆想象立体图形与表面展开图的关系，一定先观察立体图形的每一个面的形状． 反思感悟 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 A　 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 (2)已知圆锥的侧面积(单位：cm2)为2π，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径(单位：cm)是________． 答案：1 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 考 点 二 表面积与体积 考向 1 几何体的表面积 C　 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 C　连接BD，在圆内接四边形ABCD中，∠DAB＝90°， 所以BD是四边形ABCD外接圆的直径， 所以∠DCB＝90°， 则∠ABC＝135°. 延长AB，过点C作CE⊥AB，垂足为E， 过点C作CF⊥AD， 垂足为F，则∠CBE＝45°， 所以△BCE是等腰直角三角形， 所以BE＝CE＝2. 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 作出四边形ABCD关于直线AB对称的图形，如图所示． 由于CE∥AF，AE∥CF，∠DAB＝90°， 所以四边形AECF是矩形，AF＝CE＝2， DF＝CF＝AE＝4， 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 空间几何体表面积的求法 (1)旋转体的表面积问题注意其轴截面及侧面展开图的应用，并弄清底面半径、母线长与对应侧面展开图中边的关系． (2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理． 反思感悟 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 例4　(1)(2024·南宁二中第一次质检)木楔子在传统木工中运用广泛，它使得榫卯配合的牢度得到最大化满足．楔子是一种简单的机械工具，是用于填充器物的空隙使其牢固的木橛、木片等．如图为一个木楔子的直观图，其中四边形ABCD是边长为2的正方形，且△ADE，△BCF均为正三角形，EF∥CD，EF＝4，则该木楔子的体积为(　　) 考向 2 几何体的体积 A　 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 正四棱台ABCD -A1B1C1D1如图所示．设其上、下底面中心分别为O1，O，连接O1O，O1A1，OA，由正四棱台的定义可知O1O⊥平面ABCD，O1O⊥平面A1B1C1D1，四边形ABCD，A1B1C1D1均为正方形． 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 求空间几何体的体积的常用方法 (1)公式法：规则几何体的体积问题，直接利用公式进行求解． (2)割补法：把不规则的几何体分割成规则的几何体，或者把不规则的几何体补成规则的几何体． (3)等体积法：通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法，特别是三棱锥的体积． 反思感悟 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 C　 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 A　 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 (3)(经典高考题)棱长为2的正方体ABCD -A1B1C1D1中，M，N分别为棱BB1，AB的中点，则三棱锥A1 -D1MN的体积为________． 答案：1 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 限时规范训练(四十七) 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 A级　基础落实练 1．下列说法中，正确的是(　　) A．棱柱的侧面可以是三角形 B．若棱柱有两个侧面是矩形，则该棱柱的其他侧面也是矩形 C．正方体的所有棱长都相等 D．棱柱的所有棱长都相等 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 1 2 C　 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 1 2 C　棱柱的侧面都是平行四边形，A错误；其他侧面可能是平行四边形，B错误； 棱柱的侧棱与底面边长并不一定相等，D错误；易知C正确． 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 2 1 2．一个菱形的边长为4 cm，一内角为60°，用斜二测画法画出的这个菱形的直观图的面积为(　　) 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 B　 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 2 3 1 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 D　 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 2 3 1 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 A　 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 1 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 2 3 4 5 1 5．(2024·肇庆质检)如图是战国时期的一个铜镞，其由两部分组成，前段是高为2 cm、底面边长为1 cm的正三棱锥，后段是高为0.6 cm的圆柱，圆柱底面圆与正三棱锥底面的正三角形内切，则此铜镞的体积约为 (　　) A．0.25 cm3　　 B．0.65 cm3 C．0.15 cm3　　 D．0.45 cm3 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 D　 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 2 3 4 5 1 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 2 3 4 5 6 1 6．(2024·北京师范大学附属中学月考)已知正方体ABCD -A1B1C1D1的棱长为1，E，F是线段B1D1上的动点且EF＝1，则三棱锥A -BEF的体积为 (　　) 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 C　 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 7 7．(2024·重庆一中月考)我们把轴截面为等腰直角三角形的圆锥称为直角圆锥．在直角圆锥SO中，点S与底面圆O都在同一个球面上，若球的表面积为4π，则圆锥的侧面积为(　　) 8 9 10 12 13 14 15 16 11 1 3 4 5 6 2 C　 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 1 3 4 5 6 2 C　由题意，设直角圆锥SO的底面圆的半径为r， 则直角圆锥SO的高h＝r，又在直角圆锥SO中，点S与底面圆O都在同一个球面上，所以球心为圆锥的底面圆圆心O. 设球的半径为R，则r＝R，又球的表面积为4π，则4πR2＝4π，解得R＝1，即r＝1， 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 AC　 8 9 10 12 13 14 15 16 11 1 3 4 5 6 7 2 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 8 9 10 12 13 14 15 16 11 1 3 4 5 6 7 2 AC　如图，在正四棱锥S -ABCD中，O为正方形ABCD的中心，H为AB的中点，则SH⊥AB， 设底面边长为2a米． 因为∠SHO＝30°， 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 8 9 10 12 13 14 15 16 11 1 3 4 5 6 7 2 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 9 9．如图，一个水平放置的平面图形由斜二测画法得到的直观图A′B′C′D′是边长为2的菱形，且O′D′＝2，则原平面图形的周长为________． 10 12 13 14 15 16 11 1 3 4 5 6 7 8 2 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 10 10．(2023·新课标Ⅱ卷)底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为________． 12 13 14 15 16 11 1 3 4 5 6 7 8 9 2 答案：28 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 11 11．如图，已知三棱柱ABC-A1B1C1的体积为V，点M，N分别为棱AA1，CC1的中点，则棱锥B-AMNC的体积为______． 12 13 14 15 16 1 3 4 5 6 7 8 9 10 2 如图，连接AN，对于三棱锥B -ACN，B -AMN，显然它们等底同高， 故VB -ACN＝VB -AMN， 而VB -ACN＝VN -ABC， 注意到CN＝C1N， 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 11 12 13 14 15 16 1 3 4 5 6 7 8 9 10 2 于是三棱锥N -ABC的高是三棱柱ABC -A1B1C1的一半，且它们都以△ABC为底面， 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 12 12．如图，在六面体ABC -FEDG中，BG⊥平面ABC，平面ABC∥平面FEDG，AF∥BG，FE∥GD，∠FGD＝90°，AB＝BC＝BG＝2，GD＝2BC，四边形AEDC是菱形，则六面体ABC -FEDG的体积为________． 13 14 15 16 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 12 13 14 15 16 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2 如图，连接AG，AD， 则V六面体ABC -FEDG ＝V四棱锥A -FEDG＋ V四棱锥A -BCDG ＝2V四棱锥A -FEDG， 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 12 13 14 15 16 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2 答案：8 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 13 14 15 16 1 3 4 5 6 7 8 9 10 12 11 2 B　 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 13 14 15 16 1 3 4 5 6 7 8 9 10 12 11 2 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 14 14．(2024·南通调研)将一个圆形纸片剪成两个扇形(没有多余角料)，将它们分别卷曲粘贴成圆锥形状(重叠部分忽略不计)．若两个扇形的面积比为1∶2，则两圆锥的高度之比为(　　) 15 16 1 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 11 2 C　 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 14 15 16 1 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 11 2 C　设圆的半径为r，则两个圆锥的母线长为r.设两个扇形的面积分别为S1，S2，弧长分别为l1，l2. 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 14 15 16 1 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 11 2 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 15 16 1 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 11 2 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 15 16 1 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 11 2 答案：24.6 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 16 16．(2024·淮安阶段检测)如图，一个正三棱锥P -ABC的底面边长为1，高为2，则此三棱锥的体积为________．若一个正三棱柱A1B1C1-A0B0C0的顶点A1，B1，C1分别在该三棱锥的三条棱上，A0，B0，C0在该三棱锥的底面ABC上，则此三棱柱侧面积的最大值为________． 1 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 11 2 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 16 1 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 11 2 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 16 1 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 11 2 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 16 1 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 11 2 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 本部分内容讲解结束 按ESC键退出全屏播放 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 $$