第6章 培优增分 第6讲 数列的奇偶项与子数列问题（PPT课件）-【高考领航】2025年高考数学大一轮复习

培优增分　第6讲　数列的奇偶项与子数列问题 限时规范训练 1 命题解读　子数列问题包括数列中的奇偶项、公共数列以及分段数列，是近几年高考的重点和热点，一般方法是构造新数列，利用新数列的特征(等差、等比或其他特征)求解原数列． 限时规范训练 1 例1　设cn＝(－1)n＋1(2n－1)，求数列{cn}的前n项和Sn. 角度 1 含有(－1)n的类型 题型一　奇偶项问题 限时规范训练 1 限时规范训练 1 角度 2 已知条件明确的奇偶项问题 限时规范训练 1 限时规范训练 1 限时规范训练 1 限时规范训练 1 限时规范训练 1 1．含有(－1)n的数列求和问题一般采用分组(并项)法求和． 2．对于通项公式分奇、偶不同的数列{an}求Sn时，我们可以分别求出奇数项的和与偶数项的和，也可以先求出S2k，再利用S2k－1＝S2k－a2k，求S2k－1. 反思感悟 限时规范训练 1 限时规范训练 1 限时规范训练 1 限时规范训练 1 限时规范训练 1 例3　(2024·嘉兴模拟)已知{an}是首项为2，公差为3的等差数列，数列{bn}满足b1＝4，bn＋1＝3bn－2n＋1. (1)证明：{bn－n}是等比数列，并求{an}，{bn}的通项公式； (2)若数列{an}与{bn}中有公共项，即存在k，m∈N*，使得ak＝bm成立．按照从小到大的顺序将这些公共项排列，得到一个新的数列，记作{cn}，求c1＋c2＋…＋cn. 角度 1 公共项问题 题型二　子数列问题 限时规范训练 1 解：(1)证明：由题意可得an＝2＋(n－1)×3＝3n－1(n∈N*)， 而b1＝4，bn＋1＝3bn－2n＋1， 变形可得bn＋1－(n＋1)＝3bn－3n＝3(bn－n)，b1－1＝3， 故{bn－n}是首项为3，公比为3的等比数列， 从而bn－n＝3n，即bn＝3n＋n(n∈N*)． 限时规范训练 1 (2)由题意可得3k－1＝3m＋m(k，m∈N*)，因为3k，3m是3的倍数，所以m＋1也为3的倍数， 令m＋1＝3n，则m＝3n－1(n∈N*)， 则3k－1＝33n－1＋3n－1＝3(33n－2＋n)－1， 此时满足条件， 即当m＝2，5，8，…，3n－1时为公共项， 所以c1＋c2＋…＋cn＝b2＋b5＋…＋b3n－1 ＝32＋35＋…＋33n－1＋(2＋5＋…＋3n－1) 限时规范训练 1 例4　(2024·石家庄质检)已知等差数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*)，满足3a2＋2a3＝S5＋6. (1)若数列{Sn}为递减数列，求a1的取值范围； (2)若a1＝1，在数列{an}的第n项与第n＋1项之间插入首项为1，公比为2的等比数列的前n项，形成新数列{bn}，记数列{bn}的前n项和为Tn，求T95. 角度 2 插项问题 限时规范训练 1 限时规范训练 1 限时规范训练 1 (2)由(1)知，{an}的公差d＝－2， 又a1＝1，所以an＝1＋(n－1)×(－2)＝3－2n. 根据题意，数列{bn}为 1，20，－1，20，21，－3，20，21，22，－5，…，－2n＋3，20，21，…，2n－1，－2n＋1，…. 限时规范训练 1 可将数列分组： 第一组为1，20； 第二组为－1，20，21； 第三组为－3，20，21，22； …… 第k(k∈N*)组为－2k＋3，20，21，22，…，2k－1； …… 限时规范训练 1 当k＝12时，项数为90. 故T95相当于是前12组的和再加上－23，1，2，22，23， 即T95＝[1＋(－1)＋(－3)＋…＋(－21)]＋[20＋(20＋21)＋(20＋21＋22)＋…＋(20＋21＋…＋211)]＋(－23＋1＋2＋22＋23)． 20＋(20＋21)＋(20＋21＋22)＋…＋(20＋21＋…＋211)可看成是数列{cn}(cn＝2n－1)的前12项和， 限时规范训练 1 1．两个等差(比)数列的公共项是等差(比)数列，且公差(比)是两等差(比)数列公差(比)的最小公倍数，一个等差与一个等比数列的公共项则要通过其项数之间的关系来确定． 2．数列的插项问题可通过研究前几项的变化来探究一般性规律，从而确定新数列的首项、项数、公差(或公比)、末项等信息． 反思感悟 限时规范训练 1 训练2　已知数列an＝n，bn＝2n，若数列{an}中去掉和数列{bn}中相同的项后，余下的项按原来的顺序组成数列{cn}，且数列{cn}的前n项和为Tn，求T100. 限时规范训练 1 解：设数列{an}的前p项中有数列{bn}的q项，p－q＝100，则2q≤p， 即2q≤100＋q. 易得满足2q≤100＋q的最大正整数q为6， ∴数列{cn}的前100项，由数列{an}中的前106项去掉和数列{bn}中相同的6项得到， 限时规范训练 1 限时规范训练(四十五) 限时规范训练 1 1．(2024·南京模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*)，数列{bn}是等比数列，a1＝3，b1＝1，b2＋S2＝10，a5－2b2＝a3. (1)求数列{an}和{bn}的通项公式； 3 4 5 6 1 2 限时规范训练 1 3 4 5 6 1 2 解：(1)设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q(q≠0)， ∵a1＝3，b1＝1，b2＋S2＝10，a5－2b2＝a3， 限时规范训练 1 3 4 5 6 1 2 限时规范训练 1 2 1 2．(2023·厦门、福州等市质检一)已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且4Sn＝(an－1)(an＋3)(n∈N*)． (1)求数列{an}的通项公式； (2)将数列{an}和数列{2n}中所有的项，按照从小到大的顺序排列得到一个新数列{bn}，求{bn}的前50项和． 3 4 5 6 限时规范训练 1 解：(1)依题意知an＞0. 当n＝1时，4a1＝4S1＝(a1－1)(a1＋3)， 解得a1＝3(舍负)， 当n≥2时，由4Sn＝(an－1)(an＋3)(n∈N*)， 得4Sn－1＝(an－1－1)(an－1＋3)， 2 1 3 4 5 6 限时规范训练 1 2 1 3 4 5 6 限时规范训练 1 2 1 3 4 5 6 限时规范训练 1 2 3 1 3．数列{an}与{bn}的通项公式分别为an＝4n－1，bn＝3n＋2，它们的公共项由小到大排列组成数列{cn}，求数列{cn}的通项公式． 4 5 6 限时规范训练 1 法二：由观察可知，两个数列的第一个公共项为11，所以c1＝11. 设ak＝bm＝cp，则4k－1＝3m＋2， 所以ak＋1＝4(k＋1)－1＝4k＋3＝3m＋6 2 3 1 4 5 6 限时规范训练 1 ak＋3＝4(k＋3)－1＝4k＋11＝3m＋14＝3(m＋4)＋2是数列{bn}中的项． 所以cp＋1＝ak＋3，则cp＋1－cp＝ak＋3－ak＝3×4＝12， 所以数列{cn}是等差数列，其公差为12，首项为11， 因此，数列{cn}的通项公式为cn＝12n－1. 2 3 1 4 5 6 限时规范训练 1 2 3 4 1 4．已知数列{an}和{bn}的通项公式分别为an＝3n＋6，bn＝2n＋7.将集合{x|x＝an，n∈N*}∪{x|x＝bn，n∈N*}中的元素从小到大依次排列，构成数列c1，c2，c3，…，cn，…. (1)求三个最小的数，使它们既是数列{an}中的项，又是数列{bn}中的项； (2)数列c1，c2，c3，…，c40中有多少个不是数列{bn}中的项？ (3)求数列{cn}的前4n项和S4n. 5 6 限时规范训练 1 2 3 4 5 6 1 限时规范训练 1 (2)由数列c1，c2，c3，…，cn，…的构成可知， dm＝6m＋3与dm＋1＝6m＋9均为数列{cn}中的项， 在dm和dm＋1中还有以下项： 6m＋5，6m＋6，6m＋7， 又c1＝d1＝9， 因此数列{cn}中的项从第1项起，连续的4项中只有第3项是数列{an}中的偶数项，不是数列{bn}中的项，所以数列c1，c2，c3，…，c40中有10个不是数列{bn}中的项． 2 3 4 5 6 1 限时规范训练 1 (3)由(2)可知，数列{cn}的前4n项中， 由数列{bn}中的前3n项和数列{an}中的前n项偶数项构成， 2 3 4 5 6 1 限时规范训练 1 2 3 4 5 1 6 限时规范训练 1 2 3 4 5 1 6 限时规范训练 1 2 3 4 5 1 6 限时规范训练 1 2 3 4 5 1 6 限时规范训练 1 2 3 4 5 6 1 限时规范训练 1 解：(1)证明：当an∈(0，3]时，则an＋1＝2an∈(0，6]， 当an∈(3，6]时，则an＋1＝an－3∈(0，3]， 故an＋1∈(0，6]，所以当0＜an≤6时，总有0＜an＋1≤6. (2)当a1＝a＝5时，a2＝a1－3＝2，a3＝2a2＝4，a4＝a3－3＝1，a5＝2a4＝2，a6＝2a5＝4，a7＝a6－3＝1，所以数列{an}为5，2，4，1，2，4，1，2，4，1，…， 所以从第2项起，{an}中的项以3为周期，其和为2＋4＋1＝7， 所以S2024＝5＋7×674＋2＝4725. 2 3 4 5 6 1 限时规范训练 1 2 3 4 5 6 1 限时规范训练 1 故{an}为周期数列，且周期为m＋1， 故S4m＋2＝S4(m＋1)－a4m＋3－a4m＋4 ＝4(a1＋a2＋…＋am＋1)－(2m－1＋2m)a ＝4(1＋2＋…＋2m)a－3×2m－1a ＝4(2m＋1－1)a－3×2m－1a 2 3 4 5 6 1 限时规范训练 1 本部分内容讲解结束 按ESC键退出全屏播放 限时规范训练 1 $$