第6章 培优增分 第4讲 数列中的构造问题（PPT课件）-【高考领航】2025年高考数学大一轮复习

培优增分　第4讲　 数列中的构造问题 限时规范训练 1 命题解读　求数列通项公式的方法除了我们前面学习过的公式法、累加法、累乘法，还有构造法，其总的思想是根据数列的递推公式，利用构造法转化为特殊的数列(等差、等比数列或可利用累加、累乘求解的数列)求解． 限时规范训练 1 例1　已知数列{an}满足an＋1＝4an＋3，且a1＝1，则an＝________． 角度 1 an＋1＝pan＋q(p≠0，1，q≠0) 题型一　形如an＋1＝pan＋f(n)型 设an＋1＋λ＝4(an＋λ)， 即an＋1＝4an＋3λ. 又an＋1＝4an＋3，故3λ＝3，得λ＝1， 故an＋1＋1＝4(an＋1)， 限时规范训练 1 则数列{an＋1}是首项为a1＋1＝2， 公比为4的等比数列，故an＋1＝2·4n－1， 即an＝2·4n－1－1. 答案：2·4n－1－1 限时规范训练 1 例2　已知数列{an}满足an＋1＝2an－n＋1，a1＝3，则数列{an}的通项公式为________． 角度 2 an＋1＝pan＋qn＋c(p≠0，1，q≠0) 设an＋1＋λ(n＋1)＋μ＝2(an＋λn＋μ)， 即an＋1＝2an＋λn＋μ－λ， 又an＋1＝2an－n＋1， 限时规范训练 1 即an＋1－(n＋1)＝2(an－n)， 所以数列{an－n}是首项为2，公比也为2的等比数列， 则an－n＝2n，an＝2n＋n. 答案：an＝2n＋n 限时规范训练 1 例3　在数列{an}中，a1＝1，且满足an＋1＝6an＋3n，则an＝______． 角度 3 an＋1＝pan＋qn(p≠0，1，q≠0，1) 限时规范训练 1 限时规范训练 1 反思感悟 限时规范训练 1 训练1　(1)(2024·广州调研)已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝3an＋2，则an＝________． 因为an＋1＝3an＋2， 所以an＋1＋1＝3(an＋1)， 因为1＋a1＝2，所以数列{1＋an}是以2为首项，以3为公比的等比数列， 所以1＋an＝2×3n－1，所以an＝2×3n－1－1. 答案：2×3n－1－1 限时规范训练 1 (2)已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝3an＋3n，则an＝________． 答案：n·3n－1 限时规范训练 1 例4　已知在数列{an}中，a1＝5，a2＝2，an＝2an－1＋3an－2(n≥3)，求这个数列的通项公式． 解：∵an＝2an－1＋3an－2， ∴an＋an－1＝3(an－1＋an－2)， 又a1＋a2＝7， ∴{an＋an－1}是首项为7，公比为3的等比数列， 则an＋an－1＝7×3n－2，　① 题型二　相邻项的差为特殊数列(形如an＋1＝pan＋qan－1型) 限时规范训练 1 又an－3an－1＝－(an－1－3an－2)， a2－3a1＝－13， ∴{an－3an－1}是首项为－13，公比为－1的等比数列， 则an－3an－1＝(－13)·(－1)n－2，　② 由①×3＋②得，4an＝7×3n－1＋13·(－1)n－1， 限时规范训练 1 可以化为an＋1－x1an＝x2(an－x1an－1)，其中x1，x2是方程x2－px－q＝0的两个根，若1是方程的根，则直接构造数列{an－an－1}，若1不是方程的根，则需要构造两个数列，采取消元的方法求an. 反思感悟 限时规范训练 1 训练2　若x＝1是函数f(x)＝an＋1x4－anx3－an＋2x＋1(n∈N*)的极值点，数列{an}满足a1＝1，a2＝3，则数列{an}的通项公式an＝________． f′(x)＝4an＋1x3－3anx2－an＋2，∴f′(1)＝4an＋1－3an－an＋2＝0， 即an＋2－an＋1＝3(an＋1－an)， ∴数列{an＋1－an}是首项为2，公比为3的等比数列， ∴an＋1－an＝2×3n－1， 则an＝an－an－1＋an－1－an－2＋…＋a2－a1＋a1＝2×3n－2＋…＋2×30＋1＝3n－1. 答案：3n－1 限时规范训练 1 C　 限时规范训练 1 限时规范训练 1 限时规范训练 1 反思感悟 限时规范训练 1 限时规范训练 1 限时规范训练 1 限时规范训练(四十三) 限时规范训练 1 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 1 2 A级　基础落实练 1．已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝2an＋1，则a4的值为(　　) A．15　　 B．23　 C．32　　 D．42 B　 限时规范训练 1 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 1 2 B　因为an＋1＝2an＋1， 所以an＋1＋1＝2(an＋1)， 所以{an＋1}是以3为首项，2为公比的等比数列， 所以an＋1＝3·2n－1， 所以an＝3·2n－1－1，a4＝23. 限时规范训练 1 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 C　 限时规范训练 1 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 限时规范训练 1 2 3 1 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 A　 限时规范训练 1 2 3 1 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 限时规范训练 1 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 4．已知数列{an}满足a1＝1，且an＋1－2an＝n－1，其中n∈N*，则数列{an}的通项公式为(　　) A．an＝2n－n　　 B．an＝2n＋n C．an＝3n－1　　 D．an＝3n＋1 A　 A　由题设，an＋1＋(n＋1)＝2(an＋n)， 而a1＋1＝2， ∴{an＋n}是首项、公比均为2的等比数列， 故an＋n＝2n，即an＝2n－n. 限时规范训练 1 2 3 4 5 1 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 D　 限时规范训练 1 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 C　 限时规范训练 1 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 限时规范训练 1 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 限时规范训练 1 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 1 3 4 5 6 2 C　 限时规范训练 1 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 1 3 4 5 6 2 限时规范训练 1 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 1 3 4 5 6 2 限时规范训练 1 8 9 10 12 13 14 15 16 11 1 3 4 5 6 7 2 8．将一些数排成如图所示的倒三角形，其中第一行各数依次为1，2，3，…，2023，从第二行起，每一个数都等于它“肩上”的两个数之和，最后一行只有一个数M，则M等于(　　) 1　2　3　…　2021　2022　2023 3　5　7 　… 　4043　4045 8　12　 　…　 　8088 …　… … M A．2023×22020　　 B．2024×22021 C．2023×22021　　 D．2024×22022 B　 限时规范训练 1 8 9 10 12 13 14 15 16 11 1 3 4 5 6 7 2 限时规范训练 1 9 10 12 13 14 15 16 11 1 3 4 5 6 7 8 2 限时规范训练 1 9 10 12 13 14 15 16 11 1 3 4 5 6 7 8 2 限时规范训练 1 10 12 13 14 15 16 11 1 3 4 5 6 7 8 9 2 10．已知数列{an}满足an＋1＝2an＋n，a1＝2，则an＝________． 令an＋1＋x(n＋1)＋y＝2(an＋xn＋y)， 即an＋1＝2an＋xn＋y－x， 与原等式比较得，x＝y＝1， 限时规范训练 1 10 12 13 14 15 16 11 1 3 4 5 6 7 8 9 2 所以数列{an＋n＋1}是以a1＋1＋1＝4为首项，2为公比的等比数列， 所以an＋n＋1＝4×2n－1， 即an＝2n＋1－n－1. 答案：2n＋1－n－1 限时规范训练 1 11 12 13 14 15 16 1 3 4 5 6 7 8 9 10 2 限时规范训练 1 11 12 13 14 15 16 1 3 4 5 6 7 8 9 10 2 答案：(n＋1)3n－1 限时规范训练 1 12 13 14 15 16 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2 12．已知数列{an}满足an＋1＝3an－2an－1(n≥2，n∈N*)，且a1＝0，a6＝124，则a2＝________． 限时规范训练 1 12 13 14 15 16 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2 所以an＋1－an＝a2·2n－1， 所以a6－a1＝a2－a1＋a3－a2＋a4－a3＋a5－a4＋a6－a5＝a2·20＋a2·21＋a2·22＋a2·23＋a2·24＝31a2＝124，所以a2＝4. 答案：4 限时规范训练 1 13 14 15 16 1 3 4 5 6 7 8 9 10 12 11 2 B级　能力提升练 13．(2023·武汉调研)南宋数学家杨辉为我国古代数学研究作出了杰出贡献，他的著名研究成果“杨辉三角”记录于其重要著作《详解九章算法》，该著作中的“垛积术”问题介绍了高阶等差数列．以高阶等差数列中的二阶等差数列为例，其特点是从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列．若某个二阶等差数列的前4项分别为2，3，6，11，则该数列的第15项为(　　) A．196　　 B．197　 C．198　　 D．199 C　 限时规范训练 1 13 14 15 16 1 3 4 5 6 7 8 9 10 12 11 2 限时规范训练 1 14 15 16 1 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 11 2 B　 限时规范训练 1 14 15 16 1 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 11 2 限时规范训练 1 14 15 16 1 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 11 2 限时规范训练 1 15 16 1 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 11 2 限时规范训练 1 15 16 1 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 11 2 限时规范训练 1 16 1 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 11 2 限时规范训练 1 16 1 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 11 2 限时规范训练 1 16 1 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 11 2 答案：2n－1 限时规范训练 1 本部分内容讲解结束 按ESC键退出全屏播放 限时规范训练 1 $$