第6章 第5讲 数列求和（PPT课件）-【高考领航】2025年高考数学大一轮复习

第5讲　数列求和 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 　1.熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式.2.掌握非等差数列、非等比数列求和的几种常见方法． 考试要求 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 聚焦必备知识 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 1．公式法 (1)等差数列{an}的前n项和 Sn＝______________＝__________________． (2)等比数列{an}的前n项和Sn＝_____________________. 知识梳理 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 2．几种数列求和的常用方法 (1)分组转化求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或其他可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减． (2)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前n项和． 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 (3)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前n项和即可用错位相减法求解． (4)倒序相加法：如果一个数列{an}与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法求解． 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 常用结论 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 夯基诊断 √　 √　 ×　 √　 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 B　 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 (2)已知an＝2n＋n，则数列{an}的前n项和Sn＝________． 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 (3)数列{(n＋3)·2n－1}前20项的和为________． 答案：22·220－2 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 突破核心命题 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 例1　(2024·菏泽模拟)已知数列{an}中，a1＝1，它的前n项和Sn满足2Sn＋an＋1＝2n＋1－1. 考 点 一 分组(并项)法求和 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 1．若数列{cn}的通项公式为cn＝an±bn，且{an}，{bn}为等差或等比数列，可采用分组求和法求数列{cn}的前n项和． 反思感悟 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 训练1　已知数列{an}的通项公式为an＝2n＋4，数列{bn}的首项为b1＝2. (1)若{bn}是公差为3 的等差数列，求证：{abn}也是等差数列； (2)若{abn}是公比为2的等比数列，求数列{bn}的前n项和． 解：(1)证明：因为数列{bn}是首项为b1＝2，公差为3的等差数列， 所以bn＝2＋3(n－1)＝3n－1， 所以abn＝2bn＋4＝2(3n－1)＋4＝6n＋2， 所以abn＋1－abn＝6(n＋1)＋2－(6n＋2)＝6， 所以数列{abn}是以6为公差的等差数列． 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 (2)因为{abn}是公比为2的等比数列，数列{bn}的首项为b1＝2，an＝2n＋4， 所以ab1＝a2＝2×2＋4＝8， 所以abn＝8×2n－1＝2n＋2. 又因为an＝2n＋4，所以abn＝2bn＋4， 所以2bn＋4＝2n＋2， 解得bn＝2n＋1－2， 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 例2　(2024·东北三省三校模拟)已知等差数列{an}的首项a1＝1，公差为d，记{an}的前n项和为Sn，S4－2a2a3＋14＝0. (1)求数列{an}的通项公式； 考 点 二 裂项相消法求和 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 解：(1)由题意可得，S4－2a2a3＋14＝4a1＋6d－2(a1＋d)(a1＋2d)＋14＝4＋6d－2(1＋d)·(1＋2d)＋14＝0， 整理得d2＝4，则d＝±2， 可得an＝1＋2(n－1)＝2n－1或an＝1－2(n－1)＝－2n＋3， 故an＝2n－1或an＝－2n＋3. 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 1．裂项相消法求和的基本步骤 反思感悟 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 2．裂项相消法的原则及规律 (1)裂项原则 一般是前面裂几项，后面就裂几项，直到发现被消去项的规律为止． (2)消项规律 消项后前面剩几项，后面就剩几项，前面剩第几项，后面就剩倒数第几项． 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 训练2　已知Sn是数列{an}的前n项和，Sn＝n2. (1)求数列{an}的通项公式； 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 例3　(2024·重庆一中月考)已知函数f(x)＝cos πx－sin πx(x∈R)的所有正零点构成递增数列{an}(n∈N*)． (1)求数列{an}的通项公式； 考 点 三 错位相减法求和 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 1．如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{an·bn}的前n项和时，常采用错位相减法． 2．错位相减法求和时，应注意： (1)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便于下一步准确地写出“Sn－qSn”的表达式． (2)应用等比数列求和公式时必须注意公比q是否等于1，如果q＝1，应用公式Sn＝na1. 反思感悟 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 训练3　已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝2，S3＝a3＋6. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝log2an，求数列{anbn}的前n项和Tn. 解：(1)设等比数列{an}的公比为q. 由a1＝2，S3＝a3＋6， 得a1(1＋q＋q2)＝6＋a1q2，解得q＝2， 所以an＝2n. 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 (2)由(1)可得bn＝log2an＝n， 所以anbn＝n·2n， Tn＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n×2n， 2Tn＝1×22＋2×23＋…＋(n－1)2n＋n·2n＋1， 所以－Tn＝2＋22＋…＋2n－n·2n＋1 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 限时规范训练(四十四) 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 1．(2023·全国乙卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a2＝11，S10＝40. (1)求{an}的通项公式； (2)求数列{|an|}的前n项和Tn. 3 4 5 6 1 2 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 3 4 5 6 1 2 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 2 1 2．已知单调递增的等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4＝20，a2，a4，a8成等比数列． (1)求数列{an}的通项公式； (2)若bn＝2an＋1－3n＋2，求数列{bn}的前n项和Tn. 3 4 5 6 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 2 1 3 4 5 6 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 2 1 3 4 5 6 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 2 3 1 3．在①S5＝50，②S1，S2，S4成等比数列，③S6＝3(a6＋2)这三个条件中任选两个，补充到下面问题中，并解答本题． 已知等差数列{an}的公差为d(d≠0)，前n项和为Sn，且满足______． (1)求an； 4 5 6 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 2 3 1 4 5 6 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 2 3 1 4 5 6 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 2 3 1 4 5 6 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 2 3 4 1 解：(1)证明：由an＋1－2an－1＝0，得an＋1＝2an＋1，从而an＋1＋1＝2(an＋1)， 又a1＝1，所以数列{an＋1}是以2为首项，2为公比的等比数列， 所以an＋1＝2·2n－1＝2n，从而an＝2n－1. 5 6 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 2 3 4 5 6 1 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 2 3 4 5 6 1 设Tn＝(n－1)·2n＋(n－2)·2n－1＋…＋1×22， 则2Tn＝(n－1)·2n＋1＋(n－2)·2n＋…＋1×23， 两式相减得Tn＝(n－1)·2n＋1－(2n＋2n－1＋…＋22)＝(n－2)·2n＋1＋4， 即bn－b1＝(n－2)·2n＋1＋4. 又b1＝1，所以bn＝(n－2)·2n＋1＋5. 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 2 3 4 5 1 解：(1)由已知得，当n＝1时，a2a1－2(a2－a1)＋1＝0，又a1＝1，代入上式，解得a2＝3，同理可求得a3＝5.猜想an＝2n－1. 6 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 2 3 4 5 1 6 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 2 3 4 5 6 1 (1)求{an}和{bn}的通项公式； (2)求数列{anbn}的前n项和． 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 2 3 4 5 6 1 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 若Sn－n2＝－1，则a1＝S1＝0，与{an}的项均为正整数相矛盾，故不符合题意， 所以Sn＝n2＋1，Tn＝2n－1. 当n＝1时，a1＝S1＝2， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－1， 2 3 4 5 6 1 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 (2)记数列{anbn}的前n项和为Cn， 当n＝1时，a1＝2，b1＝1，所以C1＝a1b1＝2. 当n≥2时，Cn＝2×1＋3×2＋5×22＋…＋(2n－1)·2n－1，① ①×2，得2Cn＝2×2＋3×22＋5×23＋…＋(2n－1)·2n，② ①－②，得－Cn＝4＋8(2n－2－1)－(2n－1)·2n， 化简得Cn＝(2n－3)·2n＋4. 综上，数列{anbn}的前n项和Cn＝(2n－3)·2n＋4. 2 3 4 5 6 1 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 本部分内容讲解结束 按ESC键退出全屏播放 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 $$