第6章 第3讲 等比数列（PPT课件）-【高考领航】2025年高考数学大一轮复习

第3讲　等比数列 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 　1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.3.了解等比数列与指数函数的关系． 考试要求 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 聚焦必备知识 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 1．等比数列的定义与等比中项 知识梳理 (2)等比中项：如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．即G是a与b的等比中项⇔a，G，b成等比数列⇒__________． 　　　　等比数列的任意一项都不能为零．公比不能为零． 提醒 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 2．等比数列的有关公式 (1)通项公式：an＝___________． (2)通项公式的推广： an＝________________________． (3)前n项和公式：     Sn＝____________________________________. 　　　　　在运用等比数列前n项和公式时，必须注意对q＝1和q≠1分类讨论，防止因忽略q＝1这一特殊情况而导致解答错误． 提醒 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 (3)若等比数列为常数列，即q＝1时，因为a1≠0，所以Sn＝na1.由此可知，数列{Sn}的图象是函数y＝a1x图象上一系列孤立的点． (4)已知数列{an}的前n项和Sn＝Aqn＋B(其中q≠0，且q≠1，AB≠0)，则A＝－B是数列{an}为等比数列的充要条件． 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 常用结论 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 1．思考辨析(在括号内打“ √”或“×”) (1)满足an＋1＝qan(n∈N*，q为常数)的数列{an}为等比数列．(　　) (2)G为a，b的等比中项⇔G2＝ab.(　　) (3)如果数列{an}为等比数列，bn＝a2n－1＋a2n，则数列{bn}也是等比数列．(　　) (4)如果数列{ln an}为等差数列，则数列{an}是等比数列．(　　) 夯基诊断 ×　 ×　 ×　 √ 　 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 2．回源教材 (1)在等比数列{an}中，已知a2＝6，6a1＋a3＝30，则an＝________． 答案：3·2n－1或2·3n－1 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 (2)在等比数列{an}中，a3＝3，a5·a9＝27，则a11＝________． 由a5a9＝a3a11得3a11＝27，故a11＝9. 答案：9 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 (3)已知等比数列{an}的公比q＝－2，前6项和S6＝21，则a6＝_____． 答案：32 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 突破核心命题 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 例1　(1)(2023·全国甲卷)设等比数列{an}的各项均为正数，前n项和为Sn，若a1＝1，S5＝5S3－4，则S4＝(　　) 考 点 一 等比数列基本量的运算 C　 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 法二：由已知得1＋q＋q2＋q3＋q4 ＝5(1＋q＋q2)－4， 整理得(1＋q)(q3－4q)＝0， 由于此数列各项均为正数，所以q＝2， 所以S4＝1＋q＋q2＋q3＝1＋2＋4＋8＝15.故选C． 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 (2)(2024·亳州模拟)《九章算术》中有述：今有蒲生一日，长三尺，莞生一日，长1尺，蒲生日自半，莞生日自倍．意思是：“今有蒲第一天长高3尺，莞第一天长高1尺，以后蒲每天长高前一天的一半，莞每天长高前一天的2倍．”则当莞长高到长度是蒲的5倍时，需要经过的天数是(结果精确到0.1.参考数据：lg 2≈0.30，lg 3≈0.48)(　　) A．2.9天　　 B．3.9天　 C．4.9天　　 D．5.9天 C　 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 等比数列基本量运算的解题策略 (1)等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解． (2)解方程组时常常利用“作商”消元法． (3)运用等比数列的前n项和公式时，一定要讨论公比q＝1的情形，否则会漏解或增解． 反思感悟 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 训练1　(1)(2023·天津卷)已知{an}为等比数列，Sn为数列{an}的前n项和，an＋1＝2Sn＋2，则a4的值为(　　) A．3　　 B．18　 C．54　　 D．152 C　 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 (2)记Sn为等比数列{an}的前n项和．若8S6＝7S3，则{an}的公比为____ ______． 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 例2　已知数列{an}的各项均为正数，记Sn为{an}的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立． ①数列{an}是等比数列；②数列{Sn＋a1}是等比数列；③a2＝2a1. 注：如果选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分． 考 点 二 等比数列的判定与证明 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 解：选①②作为条件证明③： 设Sn＋a1＝Aqn－1(A≠0)， 则Sn＝Aqn－1－a1， 当n＝1时，a1＝S1＝A－a1， 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 选②③作为条件证明①： 设Sn＋a1＝Aqn－1(A≠0)，则Sn＝Aqn－1－a1， 当n＝1时，a1＝S1＝A－a1，所以A＝2a1； 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝Aqn－2(q－1)， 因为a2＝2a1，所以A(q－1)＝A，解得q＝2， 所以当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝Aqn－2(q－1)＝A·2n－2＝a1·2n－1， 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 反思感悟 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 训练2　已知数列{an}的前n项和为Sn，且an＋Sn＝n. (1)设cn＝an－1，求证：{cn}是等比数列； (2)求数列{an}的通项公式． 解：(1)证明：∵an＋Sn＝n，① ∴an＋1＋Sn＋1＝n＋1.② ②－①得an＋1－an＋an＋1＝1， ∴2an＋1＝an＋1，∴2(an＋1－1)＝an－1， 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 例3　(2024·驻马店统考)在正项等比数列{an}中，若a3，a7是关于x的方程x2－mx＋4＝0的两实根，则log2a1＋log2a2＋log2a3＋…＋log2a9＝ (　　) A．8　　 B．9　 C．16　　 D．18 考 点 三 等比数列性质的应用 考向 1 项的性质 B　 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 例4　(2023·新课标Ⅱ卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和，若S4＝－5，S6＝21S2，则S8＝(　　) A．120　　 B．85　 C．－85　　 D．－120 考向 2 前n项和的性质 C　 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 考向 3 前n项和的最值 AB　 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 1．等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形，二是等比中项的变形，三是前n项和公式的变形．根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口． 2．涉及等比数列的单调性与最值的问题，一般要考虑公比与首项的符号对其的影响． 反思感悟 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 B　 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 (2)已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn且S8－2S4＝6，则a9＋a10＋a11＋a12的最小值为________． 答案：24 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 限时规范训练(四十二) 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 11 1 2 B　 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 11 B　 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 2 3 1 3．(2021·全国甲卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和．若S2＝4，S4＝6，则S6＝(　　) A．7　　 B．8　 C．9　　 D．10 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 11 A　 A　易知S2，S4 －S2，S6 －S4构成等比数列， 由等比中项得S2(S6－S4)＝(S4－S2)2， 即4(S6－6)＝22，所以S6＝7. 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 2 3 4 1 4．(2024·滨州月考)已知正项等比数列{an}的首项为1，且4a5，a3，2a4成等差数列，则{an}的前6项和为(　　) 5 6 7 8 9 10 12 13 14 11 C　 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 11 1 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 2 3 4 5 1 5．某工厂生产A，B，C三种产品的数量刚好构成一个公比为q(q≠1)的等比数列，现从全体产品中按分层随机抽样的方法抽取一个样本容量为260的样本进行调查，其中C产品的数量为20，则抽取的A产品的数量为 (　　) A．100　　 B．140　 C．180　　 D．120 6 7 8 9 10 12 13 14 11 C　 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 2 3 4 5 1 6 7 8 9 10 12 13 14 11 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 2 3 4 5 6 1 6．(2024·佛山第一次质量检测)已知各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，a2a4＝9，9S4＝10S2，则a2＋a4的值为(　　) A．30　　 B．10　 C．9　　 D．6 7 8 9 10 12 13 14 11 B　 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 12 13 14 11 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 7 7．已知等比数列{an}的首项a1＝3，公比q＝2，则S6＝________． 8 9 10 12 13 14 11 1 3 4 5 6 2 答案：189 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 8 8．(2024·合肥质检)等比数列{an}的前n项和为Sn，若a2＝3，S3＝13，则a3＝________． 9 10 12 13 14 11 1 3 4 5 6 7 2 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 8 9 10 12 13 14 11 1 3 4 5 6 7 2 答案：1或9 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 9 9．设数列{xn}满足logaxn＋1＝1＋logaxn(a＞0，a≠1)，若x1＋x2＋…＋x100＝100，则x101＋x102＋…＋x200＝________． 10 12 13 14 11 1 3 4 5 6 7 8 2 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 9 10 12 13 14 11 1 3 4 5 6 7 8 2 ∴数列{xn}是公比为a的等比数列， ∵x1＋x2＋…＋x100＝100， ∴x101＋x102＋…＋x200＝a100(x1＋x2＋…＋x100)＝100a100. 答案：100a100 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 10 12 13 14 11 1 3 4 5 6 7 8 9 2 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 11 11．(2022·新高考Ⅱ卷)已知{an}是等差数列，{bn}是公比为2的等比数列，且a2－b2＝a3－b3＝b4－a4. (1)证明：a1＝b1； (2)求集合{k|bk＝am＋a1，1≤m≤500}中元素的个数． 解：(1)证明：设等差数列{an}的公差为d， 由a2－b2＝a3－b3得a1＋d－2b1＝a1＋2d－4b1，即d＝2b1， 由a2－b2＝b4－a4得a1＋d－2b1＝8b1－(a1＋3d)，即a1＝5b1－2d， 将d＝2b1代入，得a1＝5b1－2×2b1＝b1， 即a1＝b1. 12 13 14 1 3 4 5 6 7 8 9 10 2 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 (2)由(1)知an＝a1＋(n－1)d＝a1＋(n－1)×2b1＝(2n－1)a1， bn＝b1·2n－1， 由bk＝am＋a1，得b1·2k－1＝(2m－1)a1＋a1， 由a1＝b1≠0得2k－1＝2m， 由题知1≤m≤500，所以2≤2m≤1000， 所以k＝2，3，4，…，10，共9个数， 即集合{k|bk＝am＋a1，1≤m≤500}＝{2，3，4，…，10}中元素的个数为9. 11 12 13 14 1 3 4 5 6 7 8 9 10 2 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 12 13 14 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2 ACD　 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 ACD　对于A，易知公比q≠－1， 则可知S3，S6－S3，S9－S6成等比数列， 又S3＝4，S6－S3＝12－4＝8， ∴S9－S6＝16， ∴S9＝S6＋16＝12＋16＝28，A错误； 12 13 14 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 12 13 14 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 12 13 14 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 13．记Sn为等比数列{an}的前n项和，已知a1＝8，a4＝－1，则数列{Sn}(　　) A．有最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项 C．无最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项 13 14 1 3 4 5 6 7 8 9 10 12 11 2 A　 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 13 14 1 3 4 5 6 7 8 9 10 12 11 2 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 13 14 1 3 4 5 6 7 8 9 10 12 11 2 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 14 1 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 11 2 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 14 1 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 11 2 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 本部分内容讲解结束 按ESC键退出全屏播放 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 $$