第6章 第2讲 等差数列（PPT课件）-【高考领航】2025年高考数学大一轮复习

第2讲　等差数列 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 　1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题.4.了解等差数列与一次函数的关系． 考试要求 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 聚焦必备知识 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 1．等差数列的有关概念 (1)定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于______________，那么这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的________，符号表示为an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数)．   (2)等差中项：数列a，A，b成等差数列的充要条件是A＝________，其中A叫做a与b的等差中项． 知识梳理 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 2．等差数列的有关公式 (1)通项公式：an＝_______________．   (2)前n项和公式：Sn＝____________________＝_____________． 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 3．等差数列的性质 (1)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则________ ___________． (2)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为______的等差数列． (3)若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是________数列． 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 4．等差数列与函数的关系 (1)等差数列{an}的通项公式可写成an＝_______________，当d≠0时，它是关于n的____________，它的图象是直线y＝dx＋(a1－d)上横坐标为正整数的均匀分布的一系列________的点． 　　　　当d>0时，{an}是递增数列；当d<0时，{an}是递减数列；当d＝0时，{an}是常数列． 拓展 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 1．数列{an}为等差数列的充要条件是an＝kn＋b(k，b∈R)． 2．若数列{an}的前n项和为Sn，则“数列{an}为等差数列”的充要条件是“Sn＝an2＋bn(a，b∈R)”． 3．在等差数列{an}中，若a1>0，d<0，则Sn存在最大值；若a1<0，d>0，则Sn存在最小值． 常用结论 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 1．思考辨析(在括号内打“ √”或“×”) (1)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的．(　　) (2)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数．(　　) (3)已知等差数列{an}的通项公式an＝3－2n，则它的公差为－2.(　　) (4)数列{an}为等差数列的充要条件是∀n∈N*，都有2an＋1＝an＋an＋2. (　　) 夯基诊断 √　 ×　 √　 √　 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 2．回源教材 (1)已知在等差数列{an}中，a4＋a8＝20，a7＝12，则a4＝________． 由a4＋a8＝2a6＝20，故a6＝10，故d＝a7－a6＝2，所以a4＝a6－2d＝6. 答案：6 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 (2)等差数列{an}的前n项和为Sn，且S10＝2，S20＝8，则S30＝______． 由于S10，S20－S10，S30－S20成等差数列，所以2×(8－2)＝2＋S30－8，解得S30＝18. 答案：18 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 (3)等差数列{an}的前n项和为Sn，且S6＝3(a5＋3)，a4＝－1，则其公差d＝________． 答案：－2 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 突破核心命题 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 例1　(1)(2023全国甲卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a2＋a6＝10，a4a8＝45，则S5＝(　　) A．25　　 B．22　 C．20　　 D．15 考 点 一 等差数列基本量的运算 C　 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 (2)(2024·重庆一诊)设等差数列{an}的前n项和为Sn，5S9＝9a9－36，则a4＝(　　) A．－2　　 B．－1 C．1　　 D．2 B　 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 1．等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，n，d，an，Sn，知道其中三个就能求出另外两个(简称“知三求二”)． 2．确定等差数列通项公式的关键是求出两个最基本的量，即首项a1和公差d. 反思感悟 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 训练1　(1)(2024·北京通州区期末)在等差数列{an}中，a2＋a6＝8，a3＋a4＝3，则an＝(　　) A．5n－16　　 B．5n－11 C．3n－8　　 D．3n－5 A　 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 (2)《周髀算经》有这样一个问题：从冬至日起，依次为小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影长之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影长之和为八丈五尺五寸，问芒种日影长为(一丈＝十尺＝一百寸)(　　) A．一尺五寸　　 B．二尺五寸 C．三尺五寸　　 D．四尺五寸 B　 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 B　由题意知，从冬至日起，依次为小寒、大寒等十二个节气日影长构成一个等差数列{an}，设公差为d，∵冬至、立春、春分日影长之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影长之和为八丈五尺五寸， 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 例2　(2021·全国甲卷)已知数列{an}的各项均为正数，记Sn为{an}的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立． 考 点 二 等差数列的判定与证明 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 判断数列{an}是等差数列的常用方法 (1)定义法． (2)等差中项法． (3)通项公式法． (4)前n项和公式法． 反思感悟 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 训练2　已知在数列{an}中，a1＝1，an＝2an－1＋1(n≥2，n∈N*)，记bn＝log2(an＋1)． (1)判断{bn}是否为等差数列，并说明理由； (2)求数列{an}的通项公式． 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 例3　(2024·湖北联考)已知{an}是各项均为正数的等差数列，Sn为其前n项和，且a6＋2a7＋a10＝20，则当a7·a8取最大值时，S10＝(　　) A．10　　 B．20　 C．25　　 D．50 考 点 三 等差数列性质的应用 考向 1 项的性质 D　 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 例4　(2024·广州天河区期末)北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层地面的中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块．下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块．已知每层环数相同，且上、中、下三层共有扇面形石板(不含天心石)3402块，则中层共有扇面形石板(　　) A．1125块　　 B．1134块 C．1143块　　 D．1152块 考向 2 和的性质 B　 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 B　记从中间向外每环扇面形石板数为{an}，则{an}是等差数列，且公差d＝9，a1＝9. 设每层有k环，则n＝3k，Sn＝3402， {an}是等差数列，则Sk，S2k－Sk，S3k－S2k也成等差数列， 所以2(S2k－Sk)＝Sk＋(S3k－S2k)， 所以Sn＝3(S2k－Sk)＝3402，则S2k－Sk＝1134. 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 例5　等差数列{an}中，设Sn为其前n项和，且a1＞0，S3＝S11，则当n为多少时，Sn最大？ 考向 3 前n项和的最值 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 法四：设公差为d. 由S3＝S11，可得2a1＋13d＝0， 即(a1＋6d)＋(a1＋7d)＝0，故a7＋a8＝0， 又由a1＞0，S3＝S11可知d＜0， 所以a7＞0，a8＜0，所以当n＝7时，Sn最大． 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 1．项的性质：在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq. 2．和的性质：在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，则 (1)S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)． (2)S2n－1＝(2n－1)an. (3)依次k项和成等差数列，即Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…成等差数列． 反思感悟 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 3．求等差数列前n项和的最值，常用的方法： (1)邻项变号法，利用等差数列的单调性，求出其正负转折项，或者利用性质求其正负转折项，便可求得和的最值． (2)函数法，利用公差不为零的等差数列的前n项和Sn＝An2＋Bn(A≠0)为二次函数，通过二次函数的性质求最值． 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 C　 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 C　 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 (3)(2024·河南名校第四次联考)在等差数列{an}中，a1－2a2＝6，S3＝－27，当Sn取得最小值时，n的值为(　　) A．4或5　　 B．5或6 C．4　　 D．5 A　 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 限时规范训练(四十一) 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 A级　基础落实练 1．(2024·河南名校联考)已知数列{an}是各项均为正数的等差数列，a5＝10，且a4·a6＝96，则公差为(　　) A．－2　　 B．2 C．－2或2　　 D．4 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 11 1 2 B　 B　设等差数列{an}的公差为d，∵a4·a6＝(a5－d)(a5＋d)＝(10－d) (10＋d)＝96，∴d＝2或d＝－2，∵an＞0，∴d＞0，∴d＝2，故选B． 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 2 1 2．(2023·咸阳质量检测)在等差数列{an}中，若a2＋2a6＋a10＝120，则a3＋a9＝(　　) A．30　　 B．40　 C．60　　 D．80 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 11 C　 C　由等差数列的性质可得a2＋2a6＋a10＝4a6＝120，所以a6＝30，所以a3＋a9＝2a6＝60，故选C． 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 2 3 1 3．(2024·台州第一次质量评估)已知数列{an}满足对于∀m，n∈N*，am＋n＝am＋an.若a2023＝2023，则a1＝(　　) A．1　　 B．2　 C．3　　 D．2023 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 11 A　 A　令m＝1，则an＋1＝a1＋an，故an＋1－an＝a1，∵a1为常数，故数列{an}是等差数列，公差为a1，∴a2023＝a1＋(2023－1)a1＝2023a1＝2023，则a1＝1，故选A． 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 2 3 4 1 4．(2024·三明一中期中)《九章算术》是我国古代的一本数学名著．全书有方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程、勾股九章，收有246个与生产、生活实践有联系的应用问题．书中有这样一道题目“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何？”其意思为“现有五个人分5钱，且较多的两份之和等于较少的三份之和，问五人各得多少？”在此题中，若每人分得钱数成等差数列，则任意两人分得的最大差值为(　　) 5 6 7 8 9 10 12 13 14 11 B　 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 11 1 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 2 3 4 5 1 5．(2024·济南莱芜一中阶段考)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝16，S6＝8，则S12＝(　　) A．－50　　 B．－60　 C．－70　　 D．－80 6 7 8 9 10 12 13 14 11 D　 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 2 3 4 5 1 6 7 8 9 10 12 13 14 11 D　由等差数列的性质可知，S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9成等差数列， 且该数列的公差为(S6－S3)－S3＝－8－16＝－24，则S9－S6＝(S6－S3)－24＝－32， 所以S12－S9＝(S9－S6)－24＝－56， 因此S12＝S3＋(S6－S3)＋(S9－S6)＋(S12－S9)＝－80. 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 2 3 4 5 6 1 6．(2023·合肥期末)等差数列{an}的前n项和为Sn，公差不为0，若S5＝S10，则(　　) A．S5＝0　　 B．S8＝0 C．S15＝0　　 D．S17＝0 7 8 9 10 12 13 14 11 C　 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 12 13 14 11 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 7 7．(2022·全国乙卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若2S3＝3S2＋6，则公差d＝________． 8 9 10 12 13 14 11 1 3 4 5 6 2 由2S3＝3S2＋6， 可得2(a1＋a2＋a3)＝3(a1＋a2)＋6， 化简得2a3＝a1＋a2＋6， 即2(a1＋2d)＝2a1＋d＋6， 解得d＝2. 答案：2 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 8 9 10 12 13 14 11 1 3 4 5 6 7 2 答案：8 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 9 9．(2024·枣庄期末)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝2，且S1000＝S1023，则S2022＝________． 10 12 13 14 11 1 3 4 5 6 7 8 2 答案：2 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 10 10．已知等差数列的前三项依次为a，4，3a，前n项和为Sn，且Sk＝110. (1)求a及k的值； 12 13 14 11 1 3 4 5 6 7 8 9 2 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 解：(1)设该等差数列为{an}， 则a1＝a，a2＝4，a3＝3a， 由已知有a＋3a＝8， 得a1＝a＝2，公差d＝4－2＝2， 10 12 13 14 11 1 3 4 5 6 7 8 9 2 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 10 12 13 14 11 1 3 4 5 6 7 8 9 2 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 11 (1)证明：{an}是等差数列； (2)若a4，a7，a9成等比数列，求Sn的最小值． 12 13 14 1 3 4 5 6 7 8 9 10 2 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 11 12 13 14 1 3 4 5 6 7 8 9 10 2 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 11 12 13 14 1 3 4 5 6 7 8 9 10 2 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 12 B级　能力提升练 12．(多选)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d，若S11＜S10＜S12，则(　　) A．d＞0　　 B．a1＞0 C．S22＜0　　 D．S21＜0 13 14 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2 AD　 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 12 13 14 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 13．(2024·株洲联考)等差数列{an}是递增数列，公差为d，前n项和为Sn，满足a7＝3a5，则下列说法正确的是(　　) A．d＜0 B．a1＞0 C．当n＝5时，Sn最小 D．当Sn＞0时，n的最小值为8 13 14 1 3 4 5 6 7 8 9 10 12 11 2 D　 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 13 14 1 3 4 5 6 7 8 9 10 12 11 2 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 14 (1)若3a2＝3a1＋a3，S3＋T3＝21，求{an}的通项公式； (2)若{bn}为等差数列，且S99－T99＝99，求d. 1 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 11 2 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 14 1 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 11 2 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 14 1 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 11 2 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 14 1 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 11 2 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 14 1 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 11 2 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 本部分内容讲解结束 按ESC键退出全屏播放 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 $$