第6章 第1讲 数列的概念与简单表示法（PPT课件）-【高考领航】2025年高考数学大一轮复习

第1讲　数列的概念与简单表示法 第六章　数列 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 　1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数，理解单调性是数列的一项重要性质，可用来求最值． 考试要求 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 聚焦必备知识 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 1．数列的有关概念 (1)数列的定义 一般地，我们把按照______________排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项． (2)数列与函数 数列{an}是从正整数集N*(或它的有限子集{1，2，…，n})到实数集R的函数，其自变量是_________，对应的函数值是_________________，记为an＝f(n)． 知识梳理 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 　　　　数列是一种特殊的函数，在研究数列问题时，既要注意函数方法的普遍性，又要考虑数列方法的特殊性． 提醒 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 2．数列的表示法 解析式法、表格法、__________． 3．数列的单调性 从第2项起，每一项都________它的前一项的数列叫做递增数列；从第2项起，每一项都________它的前一项的数列叫做递减数列．特别地，______________的数列叫做常数列． 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 4．数列的通项公式和递推公式 (1)如果数列{an}的___________与它的_________之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式． (2)如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用____________来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式． 　　　　(1)并不是所有的数列都有通项公式； (2)同一个数列的通项公式在形式上未必唯一． 提醒 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 5．数列的前n项和公式 如果数列{an}的前n项和Sn与它的_________之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式． 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 常用结论 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 a1．思考辨析(在括号内打“ √”或“×”) (1)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个．(　　) (2)1，1，1，1，…，不能构成一个数列．(　　) (3)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列．(　　) (4)如果数列{an}的前n项和为Sn，则对∀n∈N*，都有an＋1＝Sn＋1－Sn. (　　) 夯基诊断 √　 ×　 ×　 √　 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 (2)已知数列{an}的前n项和公式为Sn＝n2，则an＝________． 当n＝1时，a1＝S1＝1， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－1， 且a1＝1也满足此式，故an＝2n－1，n∈N*. 答案：2n－1 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 (3)根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式an＝________． 由a1＝1＝5×1－4，a2＝6＝5×2－4，a3＝11＝5×3－4，a4＝16＝5×4－4，…，归纳可知，an＝5n－4. 答案：5n－4 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 突破核心命题 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 考 点 一 由an与Sn的关系求通项公式 C　 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 (2)已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn＝2n＋2－3，则an＝____． 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 已知Sn求an的3个步骤 (1)先利用a1＝S1求出a1. (2)用n－1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出当n≥2时an的表达式． (3)对n＝1时的结果进行检验，看是否符合n≥2时an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n＝1与n≥2两段来写． 反思感悟 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 训练1　(1)设数列{an}满足a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n，则an＝___． 当n＝1时，a1＝21＝2. ∵a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n，① ∴a1＋3a2＋…＋(2n－3)an－1＝2n－1(n≥2)，② 由①－②得(2n－1)·an＝2n－2n－1＝2n－1， 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 (2)设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则Sn＝________． 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 例2　设数列{an}满足a1＝1，且an＋1－an＝n＋1(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为an＝________． 考 点 二 由数列的递推关系求通项公式 考向 1 累加法 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 例3　已知a1＝2，an＋1＝2nan，则数列{an}的通项公式an＝_____． 考向 2 累乘法 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 1．累加法：已知a1，且an－an－1＝f(n)(n≥2)，可用累加法求an，即an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1. 反思感悟 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 A　 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 把以上各式相加得an－a1＝ln n－ln 1， 则an＝2＋ln n(n≥2)，且a1＝2也满足此式， 因此an＝2＋ln n(n∈N*)． 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 考 点 三 数列的性质 考向 1 数列的单调性 D　 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 考向 2 数列的周期性 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 答案：1 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 考向 3 数列的最值 A　 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 反思感悟 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 2．解决数列周期性问题的方法 先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值． 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 训练3　(1)观察数列1，ln 2，sin 3，4，ln 5，sin 6，7，ln 8，sin 9，…，则该数列的第11项是(　　) A．1111　　 B．11　 C．ln 11　　 D．sin 11 C　由数列得出规律，按照1，ln 2，sin 3，…，是按正整数的顺序排列，且以3为循环，由11÷3＝3余2，所以该数列的第11项为ln 11. C　 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 答案：3，－1 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 限时规范训练(四十) 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 1 2 A　 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 D　 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 2 3 1 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 B　 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 2 3 1 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 2 3 4 1 4．大衍数列，来源于我国的《乾坤谱》，是世界数学史上第一道数列题，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．其前11项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，60，则大衍数列的第41项为 (　　) A．760　　 B．800　 C．840　　 D．924 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 C　 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 2 3 4 5 1 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 BCD　 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 2 3 4 5 1 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 2 3 4 5 6 1 6．(2023·珠海质检)数列{an}满足a1＝1，a2＝2且an＋2＝an＋(－1)n，n∈N*，则该数列的前40项之和为(　　) A．－170　　 B．80 C．60　　 D．230 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 C　 C　由an＋2＝an＋(－1)n，n∈N*， 得a2k＋2＝a2k＋1，a2k＋1＝a2k－1－1， 所以a2k＋1＋a2k＋2＝a2k－1＋a2k＝…＝a1＋a2＝3， 所以数列{an}的前40项之和为20(a1＋a2)＝60. 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 1 3 4 5 6 2 B　 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 1 3 4 5 6 2 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 8 9 10 12 13 14 15 16 11 1 3 4 5 6 7 2 C　 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 8 9 10 12 13 14 15 16 11 1 3 4 5 6 7 2 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 9 9．Sn为数列{an}的前n项和，且log2(Sn＋1)＝n＋1，则数列{an}的通项公式为________． 10 12 13 14 15 16 11 1 3 4 5 6 7 8 2 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 10．已知数列{an}的首项a1＝1，前n项和为Sn，且满足2an＋1＋Sn＝2(n∈N*)，则数列{an}的通项公式an＝________． 10 12 13 14 15 16 11 1 3 4 5 6 7 8 9 2 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 答案：3 11 12 13 14 15 16 1 3 4 5 6 7 8 9 10 2 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 12 12．已知[x]表示不超过x的最大整数，例如：[2.3]＝2，[－1.7]＝－2.在数列{an}中，an＝[lg n]，记Sn为数列{an}的前n项和，则a2024＝______；S2024＝________． 13 14 15 16 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2 ∵an＝[lg n]， ∴当1≤n≤9时，an＝[lg n]＝0； 当10≤n≤99时，an＝[lg n]＝1； 当100≤n≤999时，an＝[lg n]＝2； 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 12 13 14 15 16 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2 当1000≤n≤9999时，an＝[lg n]＝3. ∴a2024＝[lg 2024]＝3，S2024＝9×0＋90×1＋900×2＋1025×3＝4965. 答案：3　4965 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 B级　能力提升练 13．(多选)若数列{an}满足：对任意正整数n，{an＋1－an}为递减数列，则称数列{an}为“差递减数列”．给出下列数列{an}(n∈N*)，其中是“差递减数列”的有(　　) 13 14 15 16 1 3 4 5 6 7 8 9 10 12 11 2 CD　 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 13 14 15 16 1 3 4 5 6 7 8 9 10 12 11 2 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 14 15 16 1 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 11 2 D　 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 14 15 16 1 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 11 2 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 15 16 1 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 11 2 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 15 16 1 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 11 2 答案：3 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 16 16．(2024·八省八校联考)数列{an}：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，称为斐波那契数列，该数列是由意大利数学家莱昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”．在数学上，斐波那契数列可表述为a1＝a2＝1，an＝an－1＋an－2(n≥3，n∈N*)．设该数列的前n项和为Sn，记a2023＝m，则S2021＝________．(用m表示) 1 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 11 2 由an＝an－1＋an－2得an＝an＋2－an＋1(n∈N*)，即S2021＝a1＋a2＋…＋a2021＝a3－a2＋a4－a3＋…＋a2023－a2022＝a2023－a2＝m－1. 答案：m－1 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 本部分内容讲解结束 按ESC键退出全屏播放 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 $$