第3章 培优增分 第3讲 函数中的构造问题（PPT课件）-【高考领航】2025年高考数学大一轮复习

培优增分　第3讲　 函数中的构造问题 限时规范训练 1 命题解读　函数中的构造问题是高考考查的一个热点内容，经常以客观题出现，同构法构造函数也在解答题中出现，通过已知等式或不等式的结构特征，构造新函数，解决比较大小、解不等式、恒成立等问题． 限时规范训练 1 例1　(2024·重庆模拟)已知定义域为{x|x≠0}的偶函数f(x)，其导函数为f′(x)，对任意正实数x满足xf′(x)>2f(x)且f(1)＝0，则不等式f(x)<0的解集是(　　) A．(－∞，1)　　 B．(－1，1) C．(－∞，0)∪(0，1)　　 D．(－1，0)∪(0，1) 角度 1 利用f(x)与xn构造 题型一　利用导数运算构造函数 D　 限时规范训练 1 又对任意正实数x满足xf′(x)>2f(x)， 即当x>0时，g′(x)>0， 所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增， 限时规范训练 1 限时规范训练 1 1．出现nf(x)＋xf′(x)形式，构造函数F(x)＝xnf(x)． 反思感悟 限时规范训练 1 例2　f(x)为定义在R上的可导函数，且f′(x)>f(x)，对任意正实数a，下列式子一定成立的是(　　) A．f(a)<eaf(0)　　 B．f(a)>eaf(0) 角度 2 利用f(x)与ex构造 B　 限时规范训练 1 限时规范训练 1 1．出现f′(x)＋nf(x)形式，构造函数F(x)＝enxf(x)． 反思感悟 限时规范训练 1 角度 3 利用f(x)与sin x，cos x构造 CD　 限时规范训练 1 限时规范训练 1 限时规范训练 1 函数f(x)与sin x，cos x相结合构造可导函数的几种常见形式： F(x)＝f(x)sin x，F′(x)＝f′(x)sin x＋f(x)cos x； 反思感悟 限时规范训练 1 训练1　(1)已知函数f(x)为R上的可导函数，且∀x∈R，均有f(x)＜f′(x)，则有(　　) A．e2023f(－2023)＜f(0)，f(2023)＜e2023f(0) B．e2023f(－2023)＜f(0)，f(2023)＞e2023f(0) C．e2023f(－2023)＞f(0)，f(2023)＞e2023f(0) D．e2023f(－2023)＞f(0)，f(2023)＜e2023f(0) B　 限时规范训练 1 ∵∀x∈R，均有f(x)＜f′(x)， ∴g(x)在R上单调递增， ∴g(－2023)＜g(0)＜g(2023)，可得e2023f(－2023)＜f(0)，f(2023)＞e2023f(0)． 限时规范训练 1 (2)(2024·南昌模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＋f′(x)>0，且有f(3)＝3，则f(x)>3e3－x的解集为________． 设F(x)＝f(x)·ex，则F′(x)＝f′(x)·ex＋f(x)·ex＝ex[f(x)＋f′(x)]>0， ∴F(x)在R上单调递增． 又f(3)＝3，则F(3)＝f(3)·e3＝3e3. ∵f(x)>3e3－x等价于f(x)·ex>3e3， 即F(x)>F(3)， ∴x>3，即所求不等式的解集为(3，＋∞)． 答案：(3，＋∞) 限时规范训练 1 例4　(2024·武汉模拟)已知a>0，若在(1，＋∞)上存在x使得不等式ex－x≤xa－aln x成立，则a的最小值为________． 题型二　同构法构造函数 ∵xa＝eln xa＝ealn x，∴不等式即为ex－x≤ealn x－aln x， 限时规范训练 1 当x∈(e，＋∞)时，f′(x)>0， ∴f(x)在(1，e)上单调递减，在(e，＋∞)上单调递增， ∴f(x)min＝f(e)＝e，∴a≥e. 故a的最小值为e. 答案：e 限时规范训练 1 指对同构，经常使用的变换形式有两种： (1)将x变成ln ex，然后构造函数． (2)将x变成eln x，然后构造函数． 反思感悟 限时规范训练 1 训练2　(2024·南京模拟)设a，b都为正数，e为自然对数的底数，若aea<bln b，则(　　) A．ab>e　　 B．b>ea C．ab<e　　 D．b<ea B　 限时规范训练 1 B　由已知aea<bln b，则ealn ea<bln b. 设f(x)＝xln x，则f(ea)<f(b)． 因为a>0，则bln b>0，则b>1. 当x>1时，f′(x)＝ln x＋1>0， 则f(x)在(1，＋∞)上单调递增，所以ea<b. 限时规范训练 1 题型三　利用数值构造具体函数 限时规范训练 1 所以f(x)在(0，0.1]上单调递减， 所以f(0.1)<f(0)＝0＋ln(1－0)＝0， 即ln[u(0.1)]－ln[v(0.1)]<0， 所以ln[u(0.1)]<ln[v(0.1)]． 限时规范训练 1 ②设g(x)＝u(x)－w(x)＝xex＋ln(1－x)(0<x≤0.1)， 设h(x)＝(1－x2)ex－1(0<x≤0.1)， 则h′(x)＝(1－2x－x2)ex>0在(0，0.1]上恒成立， 所以h(x)在(0，0.1]上单调递增， 所以h(x)>h(0)＝(1－02)·e0－1＝0， 即g′(x)>0在(0，0.1]上恒成立， 限时规范训练 1 所以g(x)在(0，0.1]上单调递增， 所以g(0.1)>g(0)＝0·e0＋ln(1－0)＝0， 即g(0.1)＝u(0.1)－w(0.1)>0， 所以0.1e0.1>－ln 0.9，即a>c. 综上，c<a<b. 答案：c<a<b 限时规范训练 1 当要比较的各数为某些函数的函数值时，要仔细观察这些数值的共同之处，构造一个或两个函数，使要比较的数成为该函数的函数值，然后利用函数的单调性比较大小． 反思感悟 限时规范训练 1 训练3　实数e3，3π，π3的大小关系为________． 答案：e3<π3<3π 限时规范训练 1 限时规范训练(十九) 限时规范训练 1 A级　基础落实练 1．设f(x)是定义在R上的函数，其导函数为f′(x)，满足f(x)－xf′(x)<0，若a＝2f(2)，b＝f(4)，则(　　) A．a<b B．a>b C．a＝b D．a，b的大小无法判断 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 1 2 A　 限时规范训练 1 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 1 2 限时规范训练 1 2 1 A．a<b<c　　 B．c<a<b C．b<a<c　　 D．c<b<a 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 B　 限时规范训练 1 2 3 1 3．(2023·佛山质检)函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)>2，则f(x)>2x＋4的解集为(　　) A．(－1，1)　　 B．(－1，＋∞) C．(－∞，－1)　　 D．(－∞，＋∞) 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 B　 B　∵f(x)>2x＋4，∴f(x)－2x－4>0，令g(x)＝f(x)－2x－4， g′(x)＝f′(x)－2>0，∴g(x)为R上的增函数， 又g(－1)＝f(－1)－2×(－1)－4＝0， ∴由g(x)>g(－1)＝0得x>－1. 限时规范训练 1 2 3 4 1 4．若2x－2y<3－x－3－y，则(　　) A．ln(y－x＋1)>0　　 B．ln(y－x＋1)<0 C．ln|x－y|>0　　 D．ln|x－y|<0 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 A　 限时规范训练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 1 A　由2x－2y<3－x－3－y， 得2x－3－x<2y－3－y，令f(t)＝2t－3－t， ∵y＝2t为R上的增函数，y＝3－t为R上的减函数， ∴f(t)为R上的增函数， ∴x<y，∵y－x>0，∴y－x＋1>1， ∴ln(y－x＋1)>0，则A正确，B错误； ∵|x－y|与1的大小不确定，故C，D无法确定． 限时规范训练 1 2 3 4 5 1 5．已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f′(x)，对任意x∈R，满足f(x)＋f′(x)<0，则下列结论一定正确的是(　　) A．e2f(2)>e3f(3)　　 B．e2f(2)<e3f(3) C．e3f(2)>e2f(3)　　 D．e3f(2)<e2f(3) 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 A　 限时规范训练 1 2 3 4 5 1 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 A　构造函数g(x)＝exf(x)，则g′(x)＝ex[f′(x)＋f(x)]， 因为f(x)＋f′(x)<0，故g′(x)<0， 因此可得g(x)在R上单调递减， 由于2<3，故g(2)>g(3)， 所以e2f(2)>e3f(3)，A正确，B错误． 无法判断C，D的正误． 限时规范训练 1 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 C　 限时规范训练 1 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 限时规范训练 1 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 限时规范训练 1 7 A．0<b<1　　 B．0<a<1 C．1<b<e　　 D．1<a<e 8 9 10 12 13 14 15 16 11 1 3 4 5 6 2 C　 限时规范训练 1 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 1 3 4 5 6 2 限时规范训练 1 8．已知a＝e－0.02，b＝0.01，c＝ln 1.01，则(　　) A．c>a>b　　 B．b>a>c C．a>b>c　　 D．b>c>a C　 设f(x)＝ex－1－x，则f′(x)＝ex－1≥0在[0，＋∞)上恒成立， ∴f(x)在[0，＋∞)上是增函数， ∴f(0.01)>f(0)，即e0.01－1－0.01>0， 即e0.01>1.01， ∴b＝0.01>ln 1.01＝c，∴a>b>c. 8 9 10 12 13 14 15 16 11 1 3 4 5 6 7 2 限时规范训练 1 9 9．已知f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)为f(x)的导函数，且满足f(x)<－xf′(x)，则不等式f(x＋1)>(x－1)f(x2－1)的解集是________． 10 12 13 14 15 16 11 1 3 4 5 6 7 8 2 根据题意， 构造函数y＝xf(x)，x∈(0，＋∞)， 则y′＝f(x)＋xf′(x)<0， 所以函数y＝xf(x)在(0，＋∞)上单调递减． 限时规范训练 1 9 10 12 13 14 15 16 11 1 3 4 5 6 7 8 2 因为f(x＋1)>(x－1)f(x2－1)， 所以(x＋1)f(x＋1)>(x2－1)f(x2－1)， 所以0<x＋1<x2－1，解得x>2， 所以不等式f(x＋1)>(x－1)f(x2－1)的解集是(2，＋∞)． 答案：(2，＋∞) 限时规范训练 1 10 12 13 14 15 16 11 1 3 4 5 6 7 8 9 2 答案：> 限时规范训练 1 11 12 13 14 15 16 1 3 4 5 6 7 8 9 10 2 限时规范训练 1 11 12 13 14 15 16 1 3 4 5 6 7 8 9 10 2 令g(x)＝xf(x)－xex，则g(x1)>g(x2)， 又x2>x1>0， ∴g(x)在(0，＋∞)上单调递减． ∵ln xf(ln x)－xln x>2， g(2)＝2f(2)－2e2＝2，∴g(ln x)>g(2)， ∴0<ln x<2，得1<x<e2. 答案：(1，e2) 限时规范训练 1 12 13 14 15 16 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2 C　 限时规范训练 1 12 13 14 15 16 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2 答案：b>a>c 限时规范训练 1 A．a>b>c　　 B．a>c>b C．b>a>c　　 D．c>b>a 13 14 15 16 1 3 4 5 6 7 8 9 10 12 11 2 A　 限时规范训练 1 13 14 15 16 1 3 4 5 6 7 8 9 10 12 11 2 限时规范训练 1 13 14 15 16 1 3 4 5 6 7 8 9 10 12 11 2 把ln a，ln b，ln c分别看作函数y＝ln x图象上的点(4，ln 4)，(5，ln 5)，(7，ln 7)与原点连线的斜率． 通过作图(图略)直接比较斜率大小得到ln a>ln b>ln c，所以a>b>c. 限时规范训练 1 13 14 15 16 1 3 4 5 6 7 8 9 10 12 11 2 而57＝25×25×25×5>50×50×25>49×49×7＝75，所以b>c.因此，a>b>c. 限时规范训练 1 14 14．已知a<5且ae5＝5ea，b<4且be4＝4eb，c<3且ce3＝3ec，则(　　) A．c<b<a　　 B．b<c<a C．a<c<b　　 D．a<b<c 15 16 1 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 11 2 D　 限时规范训练 1 14 15 16 1 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 11 2 限时规范训练 1 14 15 16 1 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 11 2 ∵f(5)＝f(a)，而0<a<5，故0<a<1. 同理，0<b<1，0<c<1，f(4)＝f(b)，f(3)＝f(c)． ∵f(5)>f(4)>f(3)， ∴f(a)>f(b)>f(c)，0<a<b<c<1. 限时规范训练 1 15 15．设实数λ>0，对任意的x>1，不等式λeλx≥ln x恒成立，则λ的取值范围为________． 16 1 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 11 2 由题意，得eλx·λx≥xln x＝eln x·ln x， 令f(t)＝t·et，t∈(0，＋∞)， 则f′(t)＝(t＋1)·et>0， 所以f(t)在(0，＋∞)上单调递增， 又f(λx)≥f(ln x)， 即当x∈(1，＋∞)时，λx≥ln x， 限时规范训练 1 15 16 1 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 11 2 限时规范训练 1 16 16．已知a＝e0.1－1，b＝sin 0.1，c＝ln 1.1，则a，b，c的大小关系为________． 1 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 11 2 令f(x)＝ex－1－sin x，∴f′(x)＝ex－cos x， 当x>0时，ex>1，∴ex－cos x>0，∴f′(x)>0，f(x)在(0，＋∞)上单调递增， ∴f(0.1)>f(0)，即e0.1－1－sin 0.1>0， 即a>b， 限时规范训练 1 16 1 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 11 2 限时规范训练 1 16 1 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 11 2 令φ(x)＝(x＋1)sin x－cos x， ∴φ′(x)＝2sin x＋(x＋1)cos x， 限时规范训练 1 16 1 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 11 2 ∴h(x)在(0，0.1)上单调递减， ∴h(x)<h(0)＝0，∴g′(x)<0， ∴g(x)在(0，0.1)上单调递减， ∴g(0.1)<g(0)＝0，即ln 1.1－sin 0.1<0， ∴c<b，综上，c<b<a. 答案：c<b<a 限时规范训练 1 本部分内容讲解结束 按ESC键退出全屏播放 限时规范训练 1 $$