第3章 第4讲 导数与函数的极值、最值（PPT课件）-【高考领航】2025年高考数学大一轮复习

第4讲　导数与函数的极值、最值 突破核心命题 8拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 　1.借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要和充分条件. 2.会用导数求函数的极大值、极小值. 3.掌握利用导数研究函数最值的方法.4.会用导数研究生活中的最优化问题． 考试要求 突破核心命题 8拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 聚焦必备知识 突破核心命题 8拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 1．导数与函数的极值 知识梳理 条件 设函数f(x)在x0处可导，且f′(x0)＝0 在点x＝x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0 在点x＝x0附近的左侧_____________，右侧_____________ 图象 极值 f(x0)为__________ f(x0)为__________ 极值点 x0为____________ x0为极小值点 突破核心命题 8拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 　　　　(1)在函数的整个定义域内，极值不一定是唯一的，有可能有多个极大值或极小值． (2)极大值与极小值之间无确定的大小关系． 提醒 突破核心命题 8拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 2．导数与函数的最值 (1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件 如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条____________的曲线，那么它必有最大值和最小值． (2)求y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤 ①求函数y＝f(x)在(a，b)内的________． ②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 　　　　极值只能在定义域内部取得，而最值却可以在区间的端点处取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值． 提醒 突破核心命题 8拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 1．对于可导函数f(x)，f′(x0)＝0是函数f(x)在x＝x0处有极值的必要不充分条件． 2．若函数f(x)在开区间(a，b)内只有一个极值点，则该极值点一定是函数的最值点． 3．若函数f(x)在[a，b]上是单调函数，则f(x)一定在区间端点处取得最值． 常用结论 突破核心命题 8拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 1．思考辨析(在括号内打“ √”或“×”) (1)函数的极大值不一定比极小值大．(　　) (2)对可导函数f(x)，f′(x0)＝0是x0点为极值点的充要条件．(　　) (3)函数的极大值一定是函数的最大值．(　　) (4)开区间上的单调连续函数无最值．(　　) 夯基诊断 √　 ×　 ×　 √　 突破核心命题 8拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 B　 突破核心命题 8拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 突破核心命题 8拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 (3)函数f(x)＝x3－ax2＋2x有极值，则实数a的取值范围是________． 突破核心命题 8拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 突破核心命题 突破核心命题 8拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 例1　(多选)函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则(　　) A．f(x)在x＝－3处取得极小值f(－3) B．－1是函数y＝f(x)的极小值点 C．y＝f(x)在区间(－3，1)上单调递增 D．－2是函数y＝f(x)的极大值点 考 点 一 利用导数研究函数的极值 考向 1 根据函数图象判断极值 AC　 突破核心命题 8拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 AC　根据导函数的图象可知，当x∈(－∞，－3)时，f′(x)＜0，当x∈(－3，－1)时，f′(x)＞0，所以函数y＝f(x)在(－∞，－3)上单调递减，在(－3，－1)上单调递增． 则f(x)在x＝－3处取得极小值f(－3)，A正确． 因为函数y＝f(x)在(－3，1)上单调递增，可知－1不是函数y＝f(x)的极小值点，－2也不是函数y＝f(x)的极大值点，所以B错误，C正确，D错误． 突破核心命题 8拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 由图象判断函数y＝f(x)的极值，要抓住两点： (1)由y＝f′(x)的图象与x轴的交点，可得函数y＝f(x)的可能极值点． (2)由导函数y＝f′(x)的图象可以看出y＝f′(x)的值的正负，从而可得函数y＝f(x)的单调性．两者结合可得极值点． 反思感悟 突破核心命题 8拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 考向 2 求已知函数的极值 突破核心命题 8拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 令f′(x)＝0，得x＝2， 于是当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表． x (0，2) 2 (2，＋∞) f′(x) ＋ 0 － f(x) ↗ ln 2－1 ↘ 故f(x)在定义域上的极大值为f(2)＝ln 2－1，无极小值． 突破核心命题 8拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 (2)由(1)知，函数f(x)的定义域为(0，＋∞)， 当a≤0时，f′(x)>0在(0，＋∞)上恒成立， 即函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，此时函数f(x)在定义域上无极值点； 突破核心命题 8拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 突破核心命题 8拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 运用导数求函数f(x)极值的一般步骤：(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导数f′(x)；(3)解方程f′(x)＝0，求出函数在定义域内的所有根；(4)列表检验f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右两侧值的符号；(5)求出极值． 反思感悟 突破核心命题 8拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 考向 3 已知极值求参数 突破核心命题 8拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 ①当a≤0时，2a－1<0，当x>0时，h′(x)<0，所以h(x)在(0，＋∞)上单调递减， 所以当x>0时，h(x)<h(0)＝0，即f′(x)<0， 所以f(x)在(0，＋∞)上单调递减，无极值，不满足题意． 突破核心命题 8拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 所以当x>0时，h(x)>h(0)＝0，即f′(x)>0， 所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增，无极值，不满足题意． 突破核心命题 8拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 突破核心命题 8拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 突破核心命题 8拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 已知函数极值点或极值求参数的两个关键 反思感悟 列式 根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解 验证 因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性 突破核心命题 8拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 训练1　(1)设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是(　　) A．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1) B．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1) C．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2) D．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2) D　 突破核心命题 8拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 D　由题图可知， 当x<－2时，f′(x)>0； 当－2<x<1时，f′(x)<0； 当1<x<2时，f′(x)<0； 当x>2时，f′(x)>0. 由此可以得到函数f(x)在x＝－2处取得极大值，在x＝2处取得极小值． 突破核心命题 8拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 A．bc>0　　 B．ab>0 C．b2＋8ac>0　　 D．ac<0 BCD　 突破核心命题 8拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 BCD　依题意，x>0， 突破核心命题 8拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 当a≤0时，f′(x)＞0， 所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，因此f(x)无极大值与极小值． 当a＞0时，令f′(x)＞0，则x＞ln a， 所以f(x)在(ln a，＋∞)上单调递增． 突破核心命题 8拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 令f′(x)＜0，则x＜ln a， 所以f(x)在(－∞，ln a)上单调递减． 故f(x)在x＝ln a处取得极小值， 且f(ln a)＝ln a，但是无极大值． 综上，当a≤0时，f(x)无极大值与极小值； 当a＞0时，f(x)在x＝ln a处取得极小值ln a，但是无极大值． 突破核心命题 8拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 例4　已知函数g(x)＝aln x＋x2－(a＋2)x(a∈R)． (1)若a＝1，求g(x)在区间[1，e]上的最大值； (2)求g(x)在区间[1，e]上的最小值h(a)． 考 点 二 利用导数研究函数的最值 考向 1 求已知函数的最值 突破核心命题 8拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 突破核心命题 8拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 突破核心命题 8拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 突破核心命题 8拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 求函数f(x)在[a，b]上最值的方法 (1)若函数在区间[a，b]上单调递增或递减，f(a)与f(b)一个为最大值，一个为最小值． (2)若函数在区间[a，b]内有极值，要先求出[a，b]上的极值，与f(a)，f(b)比较，最大的是最大值，最小的是最小值，可列表完成． (3)函数f(x)在区间(a，b)上有唯一一个极值点，这个极值点就是最大(或最小)值点，此结论在导数的实际应用中经常用到． 反思感悟 突破核心命题 8拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 考向 2 由函数的最值求参数 由于f′(x)＝－x2＋1， 易知f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上单调递减，在(－1，1)上单调递增， 突破核心命题 8拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 故若函数f(x)在(a，10－a2)上存在最大值， 答案：[－2，1) 突破核心命题 8拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 由函数的最值确定参数的值或范围，一般要利用最值或最值点列出含参数的方程或不等式(组)，解方程或不等式(组)即可． 反思感悟 突破核心命题 8拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 突破核心命题 8拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 突破核心命题 8拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 突破核心命题 8拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 拓展提能8　三次函数的图象和性质 突破核心命题 8拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 设三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a，b，c，d∈R且a≠0)．Δ＝4(b2－3ac)，其基本性质有： 性质1：①定义域为R.②值域为R，函数在整个定义域上没有最大值、最小值．③单调性和图象：   a＞0 a＜0 图象 Δ＞0 Δ≤0 Δ＞0 Δ≤0 突破核心命题 8拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 突破核心命题 8拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 突破核心命题 8拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 突破核心命题 8拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 突破核心命题 8拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 突破核心命题 8拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 A．m＜2或m＞4　　 B．m≤2或m≥4 C．2≤m≤4　　 D．2＜m＜4 C　f′(x)＝x2－2(4m－1)x＋15m2－2m－7， 由题意得导函数f′(x)＝x2－2(4m－1)x＋15m2－2m－7无变号零点， ∴x2－2(4m－1)x＋15m2－2m－7≥0恒成立， ∴Δ＝4(4m－1)2－4(15m2－2m－7)＝64m2－32m＋4－60m2＋8m＋28＝4(m2－6m＋8)≤0，解得2≤m≤4.故选C． C　 突破核心命题 8拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 训练2　设三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋1的导函数f′(x)＝3ax(x－1)，且a＞2，则函数f(x)的零点个数为(　　) A．0　　 B．1 C．2　　 D．3 D　 突破核心命题 8拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 D　由f′(x)＝3ax(x－1)且a＞2知，当0＜x＜1时，f′(x)＜0， 当x＜0或x＞1时，f′(x)＞0， 则函数f(x)在(－∞，0)上单调递增， 在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增， 又f′(x)＝3ax2＋2bx＋c＝3ax(x－1)， 突破核心命题 8拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 突破核心命题 8拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 限时规范训练(二十) 突破核心命题 8拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 A级　基础落实练 1．(多选)已知函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则下列结论中正确的是(　　　) A．f(x)在区间(－2，3)上有2个极值点 B．f′(x)在x＝－1处取得极小值 C．f(x)在区间(－2，3)上单调递减 D．f(x)在x＝0处的切线斜率小于0 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 11 1 2 BCD　 突破核心命题 8拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 11 1 2 BCD　根据f′(x)的图象可得，在(－2，3)上，f′(x)≤0，∴f(x)在(－2，3)上单调递减， ∴f(x)在区间(－2，3)上没有极值点，故A错误，C正确； 由f′(x)的图象易知B正确； 根据f′(x)的图象可得f′(0)<0，即f(x)在x＝0处的切线斜率小于0，故D正确． 突破核心命题 8拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 2 1 2．函数f(x)＝x(x－c)2在x＝2处有极小值，则常数c的值为(　　) A．2　　 B．6 C．2或6　　 D．1 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 11 A　 A　∵函数f(x)＝x(x－c)2，∴f′(x)＝3x2－4cx＋c2，又f(x)＝x(x－c)2在x＝2处有极小值，∴f′(2)＝12－8c＋c2＝0，解得c＝2或c＝6.经验证，当c＝6时，函数f(x)＝x(x－c)2在x＝2处有极大值，故选A． 突破核心命题 8拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 2 3 1 3．函数f(x)＝e|x|＋cos x＋1在区间[－π，π]上的最大值、最小值分别为(　　) 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 11 B　 突破核心命题 8拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 2 3 1 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 11 B　因为f(－x)＝e|x|＋cos x＋1＝f(x)，所以f(x)为偶函数， 当x≥0时，f(x)＝ex＋cos x＋1，f′(x)＝ex－sin x. 易知当x≥0时，ex≥1，－1≤sin x≤1，则f′(x)＝ex－sin x≥0，所以f(x)在[0，π]上单调递增．因为f(x)为偶函数，所以f(x)在[－π，0)上单调递减，所以f(x)max＝f(π)＝eπ，f(x)min＝f(0)＝3. 突破核心命题 8拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 2 3 4 1 A．[0，1] B．(－∞，0]∪[1，＋∞) C．[0，2] D．(－∞，0]∪[2，＋∞) 5 6 7 8 9 10 12 13 14 11 C　 突破核心命题 8拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 11 1 C　f′(x)＝x2＋2(a－1)x＋1， 由于f(x)无极值，则Δ＝4(a－1)2－4≤0， ∴0≤a≤2. 突破核心命题 8拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 2 3 4 5 1 5．(多选)(2022·新高考Ⅰ卷)已知函数f(x)＝x3－x＋1，则(　　) A．f(x)有两个极值点 B．f(x)有三个零点 C．点(0，1)是曲线y＝f(x)的对称中心 D．直线y＝2x是曲线y＝f(x)的切线 6 7 8 9 10 12 13 14 11 AC　 突破核心命题 8拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 2 3 4 5 1 6 7 8 9 10 12 13 14 11 AC　因为f(x)＝x3－x＋1， 所以f′(x)＝3x2－1， 突破核心命题 8拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 2 3 4 5 1 6 7 8 9 10 12 13 14 11 因此f(x)有两个极值点，A正确． 所以f(x)的极小值大于0， 所以f(x)仅有一个零点．故选项B错误． 突破核心命题 8拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 2 3 4 5 1 6 7 8 9 10 12 13 14 11 由于y＝x3－x的图象关于原点(0，0)对称，且向上平移一个单位，得y＝f(x)的图象． 故函数y＝f(x)的图象关于点(0，1)对称，C项正确． 突破核心命题 8拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 2 3 4 5 6 1 6．设函数f(x)＝ex－2x，直线y＝ax＋b是曲线y＝f(x)的切线，则2a＋b的最大值是(　　) A．e－1　　 B．－1 C．2e－4　　 D．e2－4 7 8 9 10 12 13 14 11 D　 突破核心命题 8拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 12 13 14 11 D　由题得f′(x)＝ex－2.设切点为(t，f(t))，则f(t)＝et－2t，f′(t)＝et－2，则切线方程为y－(et－2t)＝(et－2)(x－t)，即y＝(et－2)x＋et(1－t)．因为y＝ax＋b是曲线y＝f(x)的切线，所以a＝et－2，b＝et(1－t)，则2a＋b＝－4＋3et－tet.令g(t)＝－4＋3et－tet，则g′(t)＝(2－t)et，则当t>2时，g′(t)<0，g(t)在(2，＋∞)上单调递减；当t<2时，g′(t)>0，g(t)在(－∞，2)上单调递增．所以g(t)max＝g(2)＝－4＋3e2－2e2＝－4＋e2，即2a＋b的最大值为e2－4.故选D． 突破核心命题 8拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 7 7．若x＝－2是函数f(x)＝(x2＋ax－1)ex的极值点，则f′(－2)＝_____，f(x)的极小值为________． 8 9 10 12 13 14 11 1 3 4 5 6 2 由函数f(x)＝(x2＋ax－1)ex， 可得f′(x)＝(2x＋a)ex＋(x2＋ax－1)ex， 因为x＝－2是函数f(x)的极值点， 所以f′(－2)＝(－4＋a)e－2＋(4－2a－1)e－2＝0， 即－4＋a＋3－2a＝0，解得a＝－1. 所以f′(x)＝(x2＋x－2)ex. 突破核心命题 8拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 7 8 9 10 12 13 14 11 1 3 4 5 6 2 令f′(x)＝0可得x＝－2或x＝1. 当x<－2或x>1时，f′(x)>0，此时函数f(x)为增函数，当－2<x<1时，f′(x)<0，此时函数f(x)为减函数， 所以当x＝1时函数f(x)取得极小值， 极小值为f(1)＝(12－1－1)×e1＝－e. 答案：0　－e 突破核心命题 8拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 8 8．现有一块边长为a的正方形铁片，铁片的四角截去四个边长均为x的小正方形，然后做成一个无盖方盒，该方盒容积的最大值是______． 9 10 12 13 14 11 1 3 4 5 6 7 2 突破核心命题 8拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 9 10 12 13 14 11 1 3 4 5 6 7 8 2 f′(x)＝x2－4，x∈[0，3]，当x∈[0，2)时，f′(x)<0，当x∈(2，3]时，f′(x)>0，所以f(x)在[0，2)上单调递减，在(2，3]上单调递增．又f(0)＝m，f(3)＝－3＋m，所以在[0，3]上，f(x)max＝f(0)＝4，所以m＝4. 答案：4 突破核心命题 8拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 10 10．已知函数f(x)＝excos x－x. (1)求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程； 12 13 14 11 1 3 4 5 6 7 8 9 2 解：(1)因为f(x)＝excos x－x， 所以f′(x)＝ex(cos x－sin x)－1， f′(0)＝0. 因为f(0)＝1， 所以曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝1. 突破核心命题 8拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 (2)设h(x)＝ex(cos x－sin x)－1， 则h′(x)＝ex(cos x－sin x－sin x－cos x) ＝－2exsin x. 10 12 13 14 11 1 3 4 5 6 7 8 9 2 突破核心命题 8拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 即f′(x)＜0， 10 12 13 14 11 1 3 4 5 6 7 8 9 2 突破核心命题 8拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 11 11．已知函数f(x)＝ex－ax，a∈R，e是自然对数的底数． (1)若函数f(x)在x＝1处取得极值，求a的值及f(x)的极值； (2)求函数f(x)在区间[0，1]上的最小值． 解：(1)因为f(x)＝ex－ax， 则f′(x)＝ex－a， 因为函数f(x)在x＝1处取得极值， 则f′(1)＝e1－a＝0，即a＝e， 则f′(x)＝ex－e， 12 13 14 1 3 4 5 6 7 8 9 10 2 突破核心命题 8拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 令f′(x)＝ex－e>0，则x>1，令f′(x)＝ex－e<0，则x<1，则函数f(x)在(1，＋∞)上单调递增，在(－∞，1)上单调递减， 故函数f(x)的极小值为f(1)＝0，无极大值． (2)因为f′(x)＝ex－a， 当a≤0时，f(x)在R上单调递增，因此f(x)在[0，1]上单调递增，f(x)min＝f(0)＝1. 当a>0时，f(x)在(－∞，ln a)上单调递减， 在(ln a，＋∞)上单调递增． 11 12 13 14 1 3 4 5 6 7 8 9 10 2 突破核心命题 8拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 ①当1≤ln a，即a≥e时，f(x)在[0，1]上单调递减，所以f(x)min＝f(1)＝e－a； ②当0<ln a<1，即1<a<e时，f(x)在[0，ln a)上单调递减，在(ln a，1]上单调递增， 所以f(x)min＝f(ln a)＝a－aln a； ③当ln a≤0，即0<a≤1时，f(x)在[0，1]上单调递增，f(x)min＝f(0)＝1. 综上，当a≤1时，f(x)min＝1； 当a≥e时，f(x)min＝e－a； 当1<a<e时，f(x)min＝a－aln a. 11 12 13 14 1 3 4 5 6 7 8 9 10 2 突破核心命题 8拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 12 B级　能力提升练 12．(2023·全国乙卷)函数f(x)＝x3＋ax＋2存在3个零点，则a的取值范围是(　　) A．(－∞，－2)　　 B．(－∞，－3) C．(－4，－1)　　 D．(－3，0) 13 14 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2 B　 突破核心命题 8拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 12 13 14 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2 突破核心命题 8拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 13．(2024·安康模拟)若函数f(x)＝ex－ax2－2ax有两个极值点，则实数a的取值范围为(　　) 13 14 1 3 4 5 6 7 8 9 10 12 11 2 D　 突破核心命题 8拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 13 14 1 3 4 5 6 7 8 9 10 12 11 2 突破核心命题 8拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 14 14．(2024·张家口质检)已知函数f(x)＝ex＋e－x－ax2－2. (1)当a＝1时，证明：函数f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增； (2)若g(x)＝f(x)－e－x，讨论函数g(x)的极值点的个数． 解：(1)证明：当a＝1时，f(x)＝ex＋e－x－x2－2， f′(x)＝ex－e－x－2x. 令φ(x)＝ex－e－x－2x， 当x>0时，φ′(x)＝ex＋e－x－2>0， 所以函数f′(x)在区间(0，＋∞)上单调递增， 故f′(x)>f′(0)＝0， 故函数f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增． 1 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 11 2 突破核心命题 8拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 (2)由题意知，g(x)＝ex－ax2－2， 当a＝0时，g(x)＝ex－2单调递增，无极值点． 当a≠0时，g′(x)＝ex－2ax， 由g′(0)＝1，得x＝0不是极值点． 14 1 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 11 2 突破核心命题 8拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 故函数g(x)存在一个极值点； 当0<x<1时，h′(x)<0， 当x>1时，h′(x)>0， 故函数h(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，h(1)＝e为函数h(x)的极小值， 14 1 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 11 2 突破核心命题 8拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 14 1 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 11 2 突破核心命题 8拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 14 1 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 11 2 突破核心命题 8拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 本部分内容讲解结束 按ESC键退出全屏播放 突破核心命题 8拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 $$