第3章 第2讲 导数与函数的单调性（PPT课件）-【高考领航】2025年高考数学大一轮复习

第2讲　导数与函数的单调性 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 　1.借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系.2.能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)． 考试要求 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 聚焦必备知识 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 1．函数的单调性与导数的关系 知识梳理 条件 恒有 结论 函数y＝f(x) 在区间(a，b) 上可导 f′(x)>0 f(x)在(a，b)上____________ f′(x)<0 f(x)在(a，b)上____________ f′(x)＝0 f(x)在(a，b)上是____________ 　　　　“f′(x)>0在(a，b)上成立”是“f(x)在(a，b)上单调递增”的充分不必要条件． 提醒 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 2．利用导数判断函数单调性的步骤 第1步，确定函数的__________； 第2步，求出导函数f′(x)的________； 第3步，用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性． 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 1．若可导函数f(x)在(a，b)上存在单调递增区间，则x∈(a，b)时，f′(x)>0有解；若可导函数f(x)在(a，b)上存在单调递减区间，则x∈(a，b)时，f′(x)<0有解． 2．可导函数f(x)在(a，b)上单调递增(减)的充要条件是对∀x∈(a，b)，都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)且f′(x)在(a，b)任意子区间内都不恒为零． 常用结论 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 1．思考辨析(在括号内打“ √”或“×”) (1)函数f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有f′(x)>0.(　　) (2)如果f(x)在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)在此区间内没有单调性． (　　) (3)若函数f(x)在定义域上都有f′(x)>0，则f(x)在定义域上一定单调递增．(　　) (4)函数f(x)＝x－sin x在R上是增函数．(　　) 夯基诊断 ×　 √　 ×　 √　 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 2．回源教材 (1)函数f(x)＝cos x－x在(0，π)上的单调性是(　　) A．先增后减　　　 B．先减后增 C．增函数　　 D．减函数 D　 D　∵当x∈(0，π)时，f′(x)＝－sin x－1<0，∴f(x)在(0，π)上是减函数． 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 (2)函数f(x)＝x3＋2x2－4x的单调递增区间是________． 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 即a2≤x2在[2，＋∞)上恒成立， 由x2≥4，∴a2≤4，即－2≤a≤2. 又a>0，故0<a≤2. 答案：(0，2] 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 突破核心命题 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 1．函数f(x)＝xln x－3x＋2的单调递减区间为________． 考 点 一 求函数的单调性 考向 1 不含参函数的单调区间 f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝ln x－2， 当x∈(0，e2)时，f′(x)<0， 当x∈(e2，＋∞)时，f′(x)>0， ∴f(x)的单调递减区间为(0，e2)． 答案：(0，e2) 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 f(x)的定义域为(0，＋∞)， 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 φ(x)在(0，＋∞)上单调递减，且φ(1)＝0， ∴当x∈(0，1)时，φ(x)>0， 当x∈(1，＋∞)时，φ(x)<0， ∴f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减． ∴函数f(x)的单调递增区间为(0，1)． 答案：(0，1) 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 确定不含参数的函数的单调性，按照判断函数单调性的步骤即可，但应注意两点，一是不能漏掉求函数的定义域，二是函数的单调区间不能用并集，要用“逗号”或“和”隔开． 反思感悟 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 例1　已知函数g(x)＝(x－a－1)ex－(x－a)2，讨论函数g(x)的单调性． 解：g(x)的定义域为R，g′(x)＝(x－a)ex－2(x－a)＝(x－a)(ex－2)， 令g′(x)＝0，得x＝a或x＝ln 2， ①若a>ln 2，则当x∈(－∞，ln 2)∪(a，＋∞)时，g′(x)>0， 当x∈(ln 2，a)时，g′(x)<0， ∴g(x)在(－∞，ln 2)，(a，＋∞)上单调递增， 在(ln 2，a)上单调递减． 考向 2 含参函数的单调性 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 ②若a＝ln 2，则g′(x)≥0恒成立，且g′(x)不恒等于0， ∴g(x)在R上单调递增， ③若a<ln 2，则当x∈(－∞，a)∪(ln 2，＋∞)时，g′(x)>0， 当x∈(a，ln 2)时，g′(x)<0， ∴g(x)在(－∞，a)，(ln 2，＋∞)上单调递增， 在(a，ln 2)上单调递减． 综上，当a>ln 2时，g(x)在(－∞，ln 2)，(a，＋∞)上单调递增，在(ln 2，a)上单调递减； 当a＝ln 2时，g(x)在R上单调递增； 当a<ln 2时，g(x)在(－∞，a)，(ln 2，＋∞)上单调递增，在(a，ln 2)上单调递减． 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 1．研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论． 2．划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为零的点和函数的间断点． 反思感悟 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 训练1　已知函数f(x)＝(2－a)x－ln x－1，a∈R. (1)当a＝1时，求函数y＝f(x)的单调递增区间； (2)若a<0，设g(x)＝f(x)＋ax2，求函数g(x)的单调区间． 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 考 点 二 函数单调性的应用 考向 1 比较大小或解不等式 A　 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 (2)已知函数f(x)＝ex－e－x－2x＋1，则不等式f(2x－3)>1的解集为____ ____． 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 例3　(2023·全国乙卷)设a∈(0，1)，若函数f(x)＝ax＋(1＋a)x在(0，＋∞)单调递增，则a的取值范围是________． 考向 2 根据函数的单调性求参数的值(范围) 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 1．根据函数单调性求参数的方法 (1)利用集合间的包含关系处理：y＝f(x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集． (2)f(x)为增(减)函数的充要条件是对任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)，且在(a，b)内的任一非空子区间上，f′(x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则会漏解． (3)若函数y＝f(x)在区间(a，b)上不单调，则转化为f′(x)＝0在(a，b)上有解(需验证解的两侧导数是否异号)． 反思感悟 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 2．利用导数比较大小，其关键是判断已知(或构造后的)函数的单调性，利用其单调性比较大小． 3．与抽象函数有关的不等式，要充分挖掘条件关系，恰当构造函数，再利用导数研究新函数的单调性，从而解不等式． 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 训练2　(1)已知函数f(x)＝sin x＋cos x－2x，a＝f(－π)，b＝f(2e)，c＝f(ln 2)，则a，b，c的大小关系是(　　) A．a>c>b　　 B．a>b>c C．b>a>c　　 D．c>b>a A　 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 B　 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 ∴y＝－2x2－x的值域为(－10，－3)， 因此实数a的取值范围为(－10，－3)． 答案：(－10，－3) 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 限时规范训练(十八) 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 A级　基础落实练 1．(2023·三明一中月考)函数f(x)＝x－ln(2x＋1)的单调递增区间是 (　　) 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 11 1 2 D　 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 11 1 2 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 2 1 2．已知f′(x)是函数y＝f(x)的导函数，且y＝f′(x)的图象如图所示，则y＝f(x)函数的图象可能是(　　) 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 11 D　 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 11 D　根据导函数的图象可得，当x∈(－∞，0)时，f′(x)<0，则f(x)单调递减； 当x∈(0，2)时，f′(x)>0，则f(x)单调递增； 当x∈(2，＋∞)时，f′(x)<0，则f(x)单调递减，所以只有D选项符合． 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 2 3 1 3．(2024·亳州一中考试)若函数y＝f(x)满足xf′(x)>－f(x)在R上恒成立，且a>b，则(　　) A．af(b)>bf(a)　　 B．af(a)>bf(b) C．af(a)<bf(b)　　 D．af(b)<bf(a) 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 11 B　 B　由题意，设g(x)＝xf(x)，则g′(x)＝xf′(x)＋f(x)>0，所以g(x)在R上是增函数，又a>b，所以g(a)>g(b)，即af(a)>bf(b)，故选B． 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 2 3 4 1 4．(2024·甘肃部分学校联考)已知R上的可导函数f(x)的图象如图所示，则不等式(x－2)f′(x)>0的解集为(　　) A．(－∞，－2)∪(1，＋∞) B．(－∞，－2)∪(1，2) C．(－∞，－1)∪(2，＋∞) D．(－1，1)∪(2，＋∞) 5 6 7 8 9 10 12 13 14 11 D　 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 11 1 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 2 3 4 5 1 5．(2024·湖北部分重点高中联考)若函数f(x)＝2x2－ln x在其定义域的一个子区间(2k－1，2k＋1)内不单调，则实数k的取值范围是(　　) 6 7 8 9 10 12 13 14 11 A　 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 2 3 4 5 1 6 7 8 9 10 12 13 14 11 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 2 3 4 5 6 1 6．(2024·顺义区模拟)已知函数f(x)＝log2(x＋1)－x，则不等式f(x)>0的解集是(　　) A．(1，＋∞)　　 B．(0，＋∞) C．(0，1)　　 D．(－1，0)∪(1，＋∞) 7 8 9 10 12 13 14 11 C　 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 12 13 14 11 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 7 7．函数f(x)＝e－xcos x(x∈(0，π))的单调递增区间为________． 8 9 10 12 13 14 11 1 3 4 5 6 2 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 8 8．若函数f(x)＝ax3＋3x2－x恰好有三个单调区间，则实数a的取值范围是________． 9 10 12 13 14 11 1 3 4 5 6 7 2 由题意知f′(x)＝3ax2＋6x－1.由函数f(x)恰好有三个单调区间，得f′(x)有两个不相等的零点，所以3ax2＋6x－1＝0需满足a≠0，且Δ＝36＋12a>0，解得a>－3且a≠0，所以实数a的取值范围是(－3，0)∪(0，＋∞)． 答案：(－3，0)∪(0，＋∞) 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 9 9．已知函数f(x)＝x3＋x－sin x，则满足不等式f(2m2)≤f(1－m)成立的实数m的取值范围是________． 10 12 13 14 11 1 3 4 5 6 7 8 2 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 10 10．已知函数f(x)＝x2＋ax－ln x，a∈R. (1)若a＝1，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程； (2)若函数f(x)在[1，3]上是减函数，求实数a的取值范围． 12 13 14 11 1 3 4 5 6 7 8 9 2 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 10 12 13 14 11 1 3 4 5 6 7 8 9 2 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 11 12 13 14 1 3 4 5 6 7 8 9 10 2 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 11 12 13 14 1 3 4 5 6 7 8 9 10 2 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 11 12 13 14 1 3 4 5 6 7 8 9 10 2 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 ②若－3<a<0，由f′(x)<0，得0<x<－a或x>3，由f′(x)>0，得－a<x<3， ∴f(x)在(0，－a)，(3，＋∞)上单调递减，在(－a，3)上单调递增； ③若a＝－3，则f′(x)≤0恒成立， ∴f(x)在(0，＋∞)上单调递减； ④若a<－3，由f′(x)<0，得0<x<3或x>－a， 由f′(x)>0，得3<x<－a， ∴f(x)在(0，3)，(－a，＋∞)上单调递减，在(3，－a)上单调递增． 11 12 13 14 1 3 4 5 6 7 8 9 10 2 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 12 B级　能力提升练 12．(多选)已知函数f(x)＝ln(e2x＋1)－x，则下列说法正确的是(　　) 13 14 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2 ACD　 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 12 13 14 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 13 14 1 3 4 5 6 7 8 9 10 12 11 2 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 13 14 1 3 4 5 6 7 8 9 10 12 11 2 答案：(2，＋∞) 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 14 14．讨论函数f(x)＝(a－1)ln x＋ax2＋1的单调性． 1 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 11 2 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 14 1 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 11 2 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 14 1 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 11 2 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 本部分内容讲解结束 按ESC键退出全屏播放 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 $$