第3章 第1讲 导数的概念及其意义、导数的运算（PPT课件）-【高考领航】2025年高考数学大一轮复习

第1讲　导数的概念及其意义、导数的运算 第三章　一元函数的导数及其应用 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 　1.了解导数的概念，掌握基本初等函数的导数.2.通过函数图象，理解导数的几何意义.3.能够用导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数(形如f(ax＋b))的导数． 考试要求 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 聚焦必备知识 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 知识梳理 　　　　f′(x0)表示函数f(x)在x＝x0处的导数值；但(f(x0))′是函数值f(x0)的导数，且(f(x0))′＝0. 提醒 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 2．导数的几何意义 函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的几何意义就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的______，相应的切线方程为______________________． 　　　　曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点． 提醒 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 3．基本初等函数的导数公式 基本初等函数 导函数 f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0 f(x)＝xα(α∈R，且α≠0) f′(x)＝__________ f(x)＝sin x f′(x)＝__________ f(x)＝cos x f′(x)＝____________ 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 4．导数的运算法则 若f′(x)，g′(x)存在，则有 (1)[f(x)±g(x)]′＝__________________； (2)[f(x)·g(x)]′＝__________________________； 5．复合函数的导数 复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝______________． 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 1．函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正、负号反映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f ′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”． 2．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数． 常用结论 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 1．思考辨析(在括号内打“ √”或“×”) (1)f′(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0附近的平均变化率．(　　) (2)若f(x)＝sin(－x)，则f′(x)＝cos x．(　　) (3)求f′(x0)时，可先求f(x0)，再求f′(x0)．(　　) (4)曲线y＝f(x)在某点处的切线与曲线y＝f(x)过某点的切线意义是相同的．(　　) 夯基诊断 ×　 ×　 ×　 ×　 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 2．回源教材 (1)(多选)下列导数运算正确的是(　　　) ABD　 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 (2)已知函数f(x)＝x(2022＋ln x)，若f′(x0)＝2023，则x0等于(　　) A．e2　　 B．1 C．ln 2　　 D．e B　 B　f′(x)＝2022＋ln x＋1＝2023＋ln x，f′(x0)＝2023＋ln x0＝2023，得x0＝1. 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 (3)已知曲线y＝xex在点(1，e)处的切线与曲线y＝aln x＋2在点(1，2)处的切线平行，则a＝________． 答案：2e 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 突破核心命题 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 1．(多选)下列求导运算正确的是(　　　) A．[(3x＋5)3]′＝9(3x＋5)2 B．(x3ln x)′＝3x2ln x＋x2 考 点 一 导数的运算 ABD　 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 ABD　对于A，[(3x＋5)3]′＝3(3x＋5)2(3x＋5)′＝9(3x＋5)2，故A正确； 对于B，(x3ln x)′＝(x3)′ln x＋x3(ln x)′＝3x2ln x＋x2，故B正确； 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 2．(多选)(2024·济南质检)下列求导运算正确的是(　　) AD　 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 3．(2024·河北省部分学校模拟)已知函数f(x)＝e2x＋f′(1)x2，则f′(1)＝ (　　) A．－2e2　　 B．2e2 C．e2　　 D．－e2 A　 A　由f(x)＝e2x＋f′(1)x2， 得f′(x)＝2e2x＋2f′(1)x， 令x＝1，得f′(1)＝2e2＋2f′(1)， 则f′(1)＝－2e2. 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 答案：6 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 1．求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导． 2．抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解． 3．复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元． 反思感悟 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 考 点 二 导数的几何意义 考向 1 求切线方程 C　 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 (2)(2022·新高考Ⅱ卷)曲线y＝ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为_______，_______． 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 考向 2 求切点坐标或参数的值(范围) 答案：－2e 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 (2)在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y＝ln x上，且该曲线在点A处的切线经过点(－e，－1)，则点A的坐标是________． 答案：(e，1) 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 例3　(2022·新高考Ⅰ卷)若曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是__________． 考向 3 由切线条数求参数 答案：(－∞，－4)∪(0，＋∞) 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 1．求曲线的切线方程要分清“在点处”与“过点处”的切线方程的不同．求过某点的切线方程，要先设出切点坐标，再依据条件建立方程(组)求解，求出切点坐标是解题的关键． 2．处理与切线有关的参数问题，通常利用曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程(组)并解出参数：(1)切点处的导数是切线的斜率；(2)切点在切线上，故满足切线方程；(3)切点在曲线上，故满足曲线方程． 反思感悟 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 A．y＝3x－2　　 B．y＝3x＋2 C．y＝－3x－2　　 D．y＝－3x＋2 A　 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 D　 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 (3)(2024·南通模拟)已知过点A(a，0)作曲线y＝(1－x)ex的切线有且仅有1条，则a＝(　　) A．－3　　 B．3 C．－3或1　　 D．3或1 C　 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 例4　若直线l：y＝kx＋b(k>1)为曲线f(x)＝ex－1与曲线g(x)＝eln x的公切线，则l的纵截距b等于(　　) A．0　　 B．1 C．e　　 D．－e 考 点 三 两曲线的公切线 D　 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 公切线问题的解法 公切线问题，应根据两个函数在切点处的斜率相等，且切点既在切线上又在曲线上，列出有关切点横坐标的方程组，通过解方程组求解．或者分别求出两函数的切线，利用两切线重合列方程组求解． 反思感悟 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 训练2　已知定义在(0，＋∞)上的函数f(x)＝x2－m，h(x)＝6ln x－4x，设两曲线y＝f(x)与y＝h(x)在公共点处的切线相同，则m等于(　　) A．－3　　 B．1 C．3　　 D．5 D　 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 限时规范训练(十七) 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 A级　基础落实练 1．(多选)下列求导运算正确的是(　　　) A．若f(x)＝sin(2x＋3)，则f′(x)＝2cos(2x＋3) 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 1 2 ACD　 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 1 2 ACD　f(x)＝sin(2x＋3)，f′(x)＝cos(2x＋3)·(2x＋3)′＝2cos(2x＋3)，故A正确； f(x)＝e－2x＋1，则f′(x)＝－2e－2x＋1，故B错误； 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 2 1 2．(2023·皖豫名校第二次联考)已知函数f(x)＝ax3－x＋b，若f′(x)为f(x)的导函数，f′(1)＝2，且f(1)＝5，则b＝(　　) A．5　　 B．4 C．3　　 D．2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 A　 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 2 3 1 3．(2024·宜春月考)曲线y＝f(x)在点P(1，f(1))处的切线如图所示，则f(1)＋f′(1)＝(　　) 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 A　 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 2 3 1 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 2 3 4 1 A．6x－4y－1＝0　　 B．6x－4y－5＝0 C．4x－2y－1＝0　　 D．4x－2y－3＝0 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 C　 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 1 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 2 3 4 5 1 5．(2024·山西部分学校联考)若函数f(x)＝ex＋ln x＋a的图象在点(1，f(1))处的切线方程为y＝kx－1，则a＝(　　) A．1　　 B．0 C．－1　　 D．e 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 B　 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 2 3 4 5 6 1 6．曲线f(x)＝x3－x＋3在点P处的切线平行于直线y＝2x－1，则点P的坐标为(　　) A．(1，3)　　 B．(－1，3) C．(－1，3)或(1，1)　　 D．(－1，3)或(1，3) 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 D　 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 7 7．若f(x)＝ln x与g(x)＝x2＋ax两个函数的图象有一条与直线y＝x平行的公共切线，则a等于(　　) A．1　　 B．2 C．3　　 D．3或－1 8 9 10 12 13 14 15 16 11 1 3 4 5 6 2 D　 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 1 3 4 5 6 2 故切点为(1，0)，可求出切线方程为y＝x－1， 此切线和g(x)＝x2＋ax也相切， 故x2＋ax＝x－1， 化简得x2＋(a－1)x＋1＝0， 只需满足Δ＝(a－1)2－4＝0， 解得a＝－1或3. 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 8 8．已知曲线y＝aex＋xln x在点(1，ae)处的切线方程为y＝2x＋b，则 (　　) A．a＝e，b＝－1　　 B．a＝e，b＝1 C．a＝e－1，b＝1　　 D．a＝e－1，b＝－1 9 10 12 13 14 15 16 11 1 3 4 5 6 7 2 D　 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 8 9 10 12 13 14 15 16 11 1 3 4 5 6 7 2 D　因为y′＝aex＋ln x＋1， 所以k＝y′|x＝1＝ae＋1， 所以曲线在点(1，ae)处的切线方程为 y－ae＝(ae＋1)(x－1)， 即y＝(ae＋1)x－1. 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 9 10 12 13 14 15 16 11 1 3 4 5 6 7 8 2 答案：2 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 10 10．(2024·西安长安区模拟)函数f(x)＝ex－e－x＋ax2的导函数为f′(x)，若f′(x)是偶函数，则实数a＝________，此时，曲线y＝f(x)在原点处的切线方程为________． 12 13 14 15 16 11 1 3 4 5 6 7 8 9 2 由题知f′(x)＝ex＋e－x＋2ax，因为f′(x)是偶函数，所以f′(－x)＝f′(x)在x∈R上恒成立，则e－x＋ex－2ax＝ex＋e－x＋2ax在x∈R上恒成立，故a＝0. 因为f(0)＝0，f′(0)＝2， 所以曲线y＝f(x)在原点处的切线方程为y－0＝2(x－0)，即y＝2x. 答案：0　y＝2x 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 11 11．(2024·南通期末)已知函数f(x)＝x3－2x2＋2x，则曲线y＝f(x)经过点A(1，1)的切线方程是________． 12 13 14 15 16 1 3 4 5 6 7 8 9 10 2 答案：3x－4y＋1＝0或x－y＝0 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 12 12．(2024·福州普通高中第二次质量检测)已知曲线f(x)＝x3－3x2＋6x＋2在点P处的切线与在点Q处的切线平行，若点P的纵坐标为1，则点Q的纵坐标为________． 13 14 15 16 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2 法一：f(x)＝x3－3x2＋6x＋2， 则f′(x)＝3x2－6x＋6， 设P(m，1)，Q(n，f(n))，依题意f′(m)＝f′(n)，所以3m2－6m＋6＝3n2－6n＋6， 则m2－n2＝2(m－n)，显然m≠n，则m＋n＝2. 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 12 13 14 15 16 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2 因为f(x)＝(x－1)3＋3(x－1)＋6， 所以f(x)的图象关于点(1，6)中心对称， 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 12 13 14 15 16 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2 法二：f(x)＝x3－3x2＋6x＋2， 则f′(x)＝3x2－6x＋6， 因为f′(x)＝3(x－1)2＋3>0， 所以f(x)在R上单调递增， 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 12 13 14 15 16 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2 答案：11 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 B级　能力提升练 13．(多选)(2024·温州普通高中第一次适应考)若函数y＝f(x)的图象上存在两个不同的点P，Q，使得f(x)的图象在这两点处的切线重合，则称函数y＝f(x)为“切线重合函数”，下列函数中是“切线重合函数”的是 (　　　) A．f(x)＝sin x＋cos x　　　 B．f(x)＝sin(cos x) C．f(x)＝x＋sin x　　　 D．f(x)＝x2＋sin x 13 14 15 16 1 3 4 5 6 7 8 9 10 12 11 2 ABC　 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 13 14 15 16 1 3 4 5 6 7 8 9 10 12 11 2 对于B，f(x)＝sin(cos x)，则f′(x)＝－sin xcos(cos x)，当x＝2kπ，k∈Z时，f′(x)＝0，f(x)取得最大值sin 1，直线y＝sin 1是函数图象的切线，且过点(2kπ，sin 1)，k∈Z，故B正确； 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 13 14 15 16 1 3 4 5 6 7 8 9 10 12 11 2 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 13 14 15 16 1 3 4 5 6 7 8 9 10 12 11 2 因此该切线过f(x)图象上的两个以上的点，故C正确； 对于D，f(x)＝x2＋sin x，则f′(x)＝2x＋cos x，令g(x)＝f′(x)＝2x＋cos x， 则g′(x)＝2－sin x>0在R上恒成立，所以g(x)即f′(x)是R上的增函数，因此函数图象上不存在两点，使它们的切线斜率相等，即不存在切线过图象上的两点，故D错误． 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 14 14．已知曲线y＝ex在点(x1，ex1)处的切线与曲线y＝ln x在点(x2，ln x2)处的切线相同，则(x1＋1)(x2－1)等于(　　) A．－1　　 B．－2 C．1　　 D．2 15 16 1 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 11 2 B　 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 14 15 16 1 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 11 2 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 14 15 16 1 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 11 2 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 15 15．若直线y＝kx＋b是曲线y＝ln x＋2的切线，也是曲线y＝ln(x＋1)的切线，则b＝________． 16 1 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 11 2 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 15 16 1 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 11 2 答案：1－ln 2 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 16 1 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 11 2 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 16 1 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 11 2 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 16 1 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 11 2 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 16 1 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 11 2 于是f(x)＝0有唯一解， 于是两曲线的公切线的条数为1. 答案：1 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 本部分内容讲解结束 按ESC键退出全屏播放 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 $$