第2章 第11讲 函数模型及其应用（PPT课件）-【高考领航】2025年高考数学大一轮复习

第11讲　函数模型及其应用 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 　1.了解指数函数、对数函数与一次函数增长速度的差异.2.理解“指数爆炸”“对数增长”“直线上升”等术语的含义.3.能选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律，了解函数模型在社会生活中的广泛应用． 考试要求 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 聚焦必备知识 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 1．指数、对数、幂函数模型性质比较 知识梳理 函数　 性质 y＝ax (a>1) y＝logax (a>1) y＝xn (n>0) 在(0，＋∞) 上的增减性 单调________ 单调________ 单调递增 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图象 的变化 随x的增大逐渐表现为与_______平行 随x的增大逐渐表现为与_______平行 随n值变化而各有不同 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 2．几种常见的函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0) 二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) 与指数函数相关的模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0) 与对数函数相关的模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0) 与幂函数相关的模型 f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0) 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 　　　　实际问题中函数要有意义，需合理确定函数的定义域，必须验证数学结果对实际问题的合理性． 提醒 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 1．“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，增长速度缓慢． 常用结论 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 1．回源教材 (1)已知甲、乙两种商品在过去一段时间内的价格走势如图所示，假设某商人持有资金120万元，他可以在t1至t4的任意时刻买卖这两种商品，且买卖能够立即成交(其他费用忽略不计)．如果他在t4时刻卖出所有商品，那么他将获得的最大利润是(　　) A．40万元　　 B．60万元 C．80万元　　 D．120万元 夯基诊断 D　 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 D　当甲商品的价格为6元时，该商人全部买入甲商品，可以买120÷6＝20(万份)，在t2时刻全部卖出，此时获利20×2＝40(万元)；当乙商品的价格为4元时，该商人买入乙商品，可以买(120＋40)÷4＝40(万份)，在t4时刻全部卖出，此时获利40×2＝80(万元)．故该商人共获利40＋80＝120(万元)． 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 (2)在数学课外活动中，小明同学进行了糖块溶于水的试验，将一块质量为7克的糖块放入到一定量的水中，测量不同时刻未溶解糖块的质量，得到若干组数据，其中在第5分钟末测得的未溶解糖块的质量为3.5克，同时小明发现可以用指数型函数S＝ae－kt(a，k为常数)来描述以上糖块的溶解过程，其中S(单位：克)代表t分钟末未溶解糖块的质量，则k＝ (　　) C　 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 2．易错自纠 (1)已知f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞)时，对三个函数的增长速度进行比较，下列选项中正确的是(　　) A．f(x)>g(x)>h(x)　　 B．g(x)>f(x)>h(x) C．g(x)>h(x)>f(x)　　 D．f(x)>h(x)>g(x) B　 B　 在同一坐标系内，根据函数图象变化趋势，当x∈(4，＋∞)时，增长速度大小排列为g(x)>f(x)>h(x)． 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 (2)当生物死亡后，其体内原有的碳14的含量大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．当死亡生物体内的碳14含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到了．若某死亡生物体内的碳14用该放射性探测器探测不到，则它经过的“半衰期”个数至少是(　　) A．8　　 B．9 C．10　　 D．11 C　 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 所以，若某死亡生物体内的碳14用该放射性探测器探测不到，则它至少需要经过10个“半衰期”． 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 突破核心命题 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 1．某工厂6年来生产某种产品的情况是前3年年产量的增长速度越来越快，后3年年产量保持不变，则该厂6年来这种产品的总产量C与时间 t(年)的函数图象正确的是(　　) 考 点 一 利用函数图象刻画实际问题的变化过程 A　 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 A　前3年年产量的增长速度越来越快，说明呈高速增长，只有A，C图象符合要求，而后3年年产量保持不变，A中总产量增长，C中总产量不变，因此A正确． 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 2．如图所示，△OAB是边长为2的等边三角形，直线x＝t截这个三角形位于此直线左方的图形面积为y(见图中阴影部分)，则函数y＝f(t)的大致图象为(　　) D　 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法 (1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象． (2)验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际情况的答案． 反思感悟 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 A．45%　　 B．55% C．65%　　 D．75% 考 点 二 已知函数模型解决实际问题 ABC　 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 已知函数模型解决实际问题的关键 (1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数． (2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数． (3)利用该函数模型，借助函数的性质、导数等求解实际问题，并进行检验． 反思感悟 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 A．1.5　　 B．1.2 C．0.8　　 D．0.6 C　 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 例2　某汽车销售公司在A，B两地销售同一种品牌的汽车，在A地的销售利润(单位：万元)为y1＝4.1x－0.1x2，在B地的销售利润(单位：万元)为y2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)，若该公司在两地共销售16辆该种品牌的汽车，则能获得的最大利润是(　　) A．10.5万元　　 B．11万元 C．43万元　　 D．43.025万元 考 点 三 构造函数模型解决实际问题 考向 1 构建二次函数模型 C　 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 C　设在A地销售该品牌的汽车x辆，则在B地销售该品牌的汽车(16－x)辆，所以可得利润 y＝4.1x－0.1x2＋2(16－x) ＝－0.1x2＋2.1x＋32 ＝－0.1(x－10.5)2＋0.1×10.52＋32. 因为x∈[0，16]且x∈N，所以当x＝10或11时，总利润取得最大值43万元． 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 例3　某村利用当地优势引进经济效益好、养殖密度高的“活水围网”养鱼技术．研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度v(单位：千克/年)是养殖密度x(单位：尾/立方米)的连续函数．当x不超过4尾/立方米时，v的值为2千克/年；当4<x≤20时，v是x的一次函数；当x达到20尾/立方米时，因缺氧等原因，v的值为0千克/年． (1)当0<x≤20时，求函数v关于x的函数解析式； (2)当养殖密度x为多大时，鱼的年生长量(单位：千克/立方米)可以达到最大？并求出最大值． 考向 2 构建分段函数模型 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 解：(1)由题意得当0<x≤4时，v＝2， 当4<x≤20时，设v＝ax＋b(a≠0)， 显然v＝ax＋b在(4，20]内是减函数， 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 (2)设年生长量为f(x)千克/立方米， 依题意，由(1)得 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 所以f(x)max＝f(10)＝12.5. 所以当0<x≤20时，f(x)的最大值为12.5. 故当养殖密度为10尾/立方米时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值为12.5千克/立方米． 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 例4　某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析，每辆客车营运的总利润y(万元)与营运年数x的关系如图所示(抛物线的一段)，则为使其营运年平均利润最大，每辆客车营运年数为_____． 考向 3 构建对勾函数模型 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 答案：5 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 在应用函数解决实际问题时需注意以下4个步骤： (1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择函数模型． (2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的函数模型． (3)解模：求解函数模型，得出数学结论． (4)还原：将数学结论还原为实际意义的问题． 反思感悟 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 (2)当0<x≤10时， 由f′(x)＝81－x2＝－(x＋9)(x－9)， 得当x∈(0，9)时，f′(x)>0，f(x)单调递增； 当x∈(9，10)时，f′(x)<0，f(x)单调递减． 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 限时规范训练(十六) 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 A级　基础落实练 1．在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据，现准备用下列四个函数中的一个近似表示这些数据的规律，其中最接近的一个是(　　) 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 11 1 2 B　 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 11 1 2 B　由题中表格可知函数在(0，＋∞)上是增函数，且y的变化随x的增大而增大得越来越快，分析选项可知B符合，故选B． 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 2 1 2．据统计，第x年某湿地公园越冬的白鹭数量y(只)近似满足y＝klog3(x＋1)，观测发现第2年有越冬白鹭1000只，估计第5年有越冬白鹭(ln 2≈0.7，ln 3≈1.1)(　　) A．1530只　　 B．1636只 C．1830只　　 D．1930只 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 11 B　 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 11 B　∵第x年某湿地公园越冬的白鹭数量y(只)近似满足y＝klog3(x＋1)， 且当x＝2时，y＝1000， ∴1000＝klog33，解得k＝1000， 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 2 3 1 3．某商店每月按出厂价每瓶3元购进一种饮料，根据以前的统计数据，若零售价定为每瓶4元，每月可销售400瓶；若零售价每降低(升高)0.5元，则可多(少)销售40瓶，在每月的进货当月销售完的前提下，为获得最大利润，销售价应定为(　　) A．3.75元/瓶　　 B．7.5元/瓶 C．12元/瓶　　 D．6元/瓶 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 11 D　 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 2 3 1 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 11 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 2 3 4 1 4．(多选)甲同学家到乙同学家的途中有一座公园，甲同学家到公园的距离与乙同学家到公园的距离都是2 km.如图所示表示甲同学从家出发到乙同学家经过的路程y(km)与时间x(min)的关系，下列结论正确的是 (　　) A．甲同学从家出发到乙同学家走了60 min B．甲从家到公园的时间是30 min C．甲从家到公园的速度比从公园到乙同学 5 6 7 8 9 10 12 13 14 11 BD　 家的速度快 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 11 1 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 2 3 4 5 1 6 7 8 9 10 12 13 14 11 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 A．5 h　　 B．6 h C．7 h　　 D．8 h 2 3 4 5 1 6 7 8 9 10 12 13 14 11 车辆驾驶人员血液酒精含量阈值 驾驶行为类型 阈值(mg/100 mL) 饮酒后驾车 ≥20，<80 醉酒后驾车 ≥80 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 2 3 4 5 1 6 7 8 9 10 12 13 14 11 B　由题意可知当酒精含量阈值低于20时才可以开车，结合分段函数建立不等式90e－0.5x＋14<20，解得x>5.42，取整数，故为6个小时．故选B． 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 2 3 4 5 6 1 6．(2024·连云港质检)某企业投入100万元购入一套设备，该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元．为使该设备年平均费用最低，该企业需要更新设备的年数为(　　) A．8　　 B．10 C．12　　 D．13 7 8 9 10 12 13 14 11 B　 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 12 13 14 11 B　设该企业需要更新设备的年数为x(x∈N*)，设备年平均费用为y万元， 则x年的设备维护费用为 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 12 13 14 11 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 7 7．如图所示，学校要建造一面靠墙(墙足够长)的2个面积相同的矩形花圃，如果可供建造围墙的材料总长是60 m，要所建造的每个花圃的面积最大，则宽x应为________m. 8 9 10 12 13 14 11 1 3 4 5 6 2 答案：10 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 8 8．某建材商场国庆期间搞促销活动，规定：如果顾客选购物品的总金额不超过600元，则不享受任何折扣优惠；如果顾客选购物品的总金额超过600元，则超过600元部分享受一定的折扣优惠，折扣优惠按下表累计计算． 9 10 12 13 14 11 1 3 4 5 6 7 2 某人在此商场购物获得的折扣优惠金额为30元，则他实际所付金额为________元． 可以享受折扣优惠金额 折扣优惠率 不超过500元的部分 5% 超过500元的部分 10% 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 8 9 10 12 13 14 11 1 3 4 5 6 7 2 由题可知：折扣金额y元与购物总金额x元之间的解析式， ∵y＝30>25，∴x>1100， ∴0.1(x－1100)＋25＝30，解得x＝1150，1150－30＝1120，故此人购物实际所付金额为1120元． 答案：1120 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 9 10 12 13 14 11 1 3 4 5 6 7 8 2 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 9 10 12 13 14 11 1 3 4 5 6 7 8 2 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 10 (1)求出a，b的值； (2)若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s，则其耗氧量至少要多少个单位？ 12 13 14 11 1 3 4 5 6 7 8 9 2 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 10 12 13 14 11 1 3 4 5 6 7 8 9 2 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 10 12 13 14 11 1 3 4 5 6 7 8 9 2 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 11 11．某公司生产某种电子仪器的固定成本为2万元，每生产一台仪器需增加投入100元，公司每月生产量为x(单位：台)，已知总收入R(单位：元)满足函数： 12 13 14 1 3 4 5 6 7 8 9 10 2 (1)将利润P表示为月产量x的函数； (2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少万元？(总收入＝总成本＋利润) 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 解：(1)由题知，利润P＝ 11 12 13 14 1 3 4 5 6 7 8 9 10 2 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 11 12 13 14 1 3 4 5 6 7 8 9 10 2 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 12 13 14 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2 D　 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 12 13 14 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2 D　设A1，A2两处的海拔高度分别为h1，h2， 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 13．如图，有一直角墙角，两边的长度足够长，若P处有一棵树与两墙的距离分别是4 m 和a m(0<a<12)，不考虑树的粗细．现用16 m长的篱笆，借助墙角围成一个矩形花圃ABCD，设此矩形花圃的最大面积为u，若将这棵树围在矩形花圃内，则函数u＝f(a)(单位：m2)的图象大致是 (　　) 13 14 1 3 4 5 6 7 8 9 10 12 11 2 B　 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 B　设AD长为x，则CD长为16－x. 因为要将P点围在矩形ABCD内， 所以a≤x≤12， 则矩形ABCD的面积为x(16－x)． 当0<a≤8时，当且仅当x＝8时，u＝64； 当8<a<12时，u＝a(16－a)， 13 14 1 3 4 5 6 7 8 9 10 12 11 2 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 14 1 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 11 2 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 14 1 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 11 2 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 14 1 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 11 2 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 14 1 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 11 2 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 本部分内容讲解结束 按ESC键退出全屏播放 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 $$