第2章 第10讲 函数的零点与方程的解（PPT课件）-【高考领航】2025年高考数学大一轮复习

第10讲　函数的零点与方程的解 突破核心命题 7拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 1.理解函数的零点与方程的解的联系.2.理解函数零点存在定理，并能简单应用.3.了解用二分法求方程的近似解． 考试要求 突破核心命题 7拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 聚焦必备知识 突破核心命题 7拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 1．函数的零点 (1)概念：对于一般函数y＝f(x)，我们把使___________的实数x叫做函数y＝f(x)的零点． (2)几个等价关系 方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点． 知识梳理 突破核心命题 7拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 2．函数零点存在定理 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有_______________，那么，函数y＝f(x)在区间__________内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得___________，这个c也就是方程f(x)＝0的解． 　　　　连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号． 提醒 突破核心命题 7拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 3．二分法 对于在区间[a，b]上图象连续不断且_______________的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间____________，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． 1．若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点． 2．连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号． 3．若周期函数有零点，则必有无穷多个零点． 常用结论 突破核心命题 7拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 A．3　　 B．2 C．7　　 D．0 夯基诊断 B　 突破核心命题 7拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 突破核心命题 7拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 (2)函数f(x)＝log2 x＋x－2的零点所在的区间为(　　) A．(0，1)　　 B．(1，2) C．(2，3)　　 D．(3，4) B　 B　函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，又f(1)＝－1，f(2)＝1，f(1)f(2)<0，故f(x)只有一个零点，且在区间(1，2)内． 突破核心命题 7拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 2．易错自纠 (1)函数f(x)＝2sin x－sin 2x在[0，2π]上的零点个数为(　　) A．2　　 B．3 C．4　　 D．5 B　 B　由2sin x－sin 2x＝0，得sin x＝0或cos x＝1. 又x∈[0，2π]，由sin x＝0，得x＝0，π，2π. 由cos x＝1，得x＝0，2π. ∴f(x)＝0有三个实根0，π，2π， 即f(x)在[0，2π]上有三个零点． 突破核心命题 7拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 (2)若二次函数f(x)＝x2－2x＋m在区间(0，4)上存在零点，则实数m的取值范围是________． 二次函数f(x)的图象的对称轴为x＝1，若在区间(0，4)上存在零点，只需f(1)≤0且f(4)>0即可，即－1＋m≤0且8＋m>0，解得－8<m≤1. 答案：(－8，1] 突破核心命题 7拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 突破核心命题 突破核心命题 7拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 例1　(1)(2024·长沙长郡中学第四次月考)函数f(x)＝5－2x－lg(2x＋1)的零点所在的区间是(　　) A．(0，1)　　 B．(1，2) C．(2，3)　　 D．(3，4) 考 点 一 函数零点所在区间的判定 C　 突破核心命题 7拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 D　 突破核心命题 7拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 突破核心命题 7拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 确定函数零点所在区间的常用方法 (1)利用函数零点存在定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点． (2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断． 反思感悟 突破核心命题 7拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 训练1　(1)函数f(x)＝ln x＋2x－6的零点所在的区间是(　　) A．(1，2)　　 B．(2，3) C．(3，4)　　 D．(4，5) B　 B　由题意得，f(x)＝ln x＋2x－6在定义域内单调递增， f(2)＝ln 2＋4－6＝ln 2－2<0， f(3)＝ln 3＋6－6＝ln 3>0， 则f(2)f(3)<0，∴零点在区间(2，3)上． 突破核心命题 7拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 (2)若a<b<c，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间(　　) A．(a，b)和(b，c)内 B．(－∞，a)和(a，b)内 C．(b，c)和(c，＋∞)内 D．(－∞，a)和(c，＋∞)内 A　 突破核心命题 7拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 A　函数y＝f(x)是开口向上的二次函数，最多有两个零点，由于a<b<c，则a－b<0，a－c<0，b－c<0，因此f(a)＝(a－b)(a－c)>0，f(b)＝(b－c)(b－a)<0，f(c)＝(c－a)·(c－b)>0. 所以f(a)f(b)<0，f(b)f(c)<0， 即f(x)在区间(a，b)和区间(b，c)内各有一个零点． 突破核心命题 7拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 A．5　　 B．4 C．3　　 D．2 考 点 二 函数零点个数的判定 D　 突破核心命题 7拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 突破核心命题 7拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 C　 突破核心命题 7拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 突破核心命题 7拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 突破核心命题 7拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 令g(x)≥0，解得x≤150，画出y＝|f(x)|与y＝g(x)的部分图象如图所示． 突破核心命题 7拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 突破核心命题 7拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 求解函数零点个数的基本方法 (1)直接法：令f(x)＝0，方程有多少个解，则f(x)有多少个零点． (2)定理法：利用定理时往往还要结合函数的单调性、奇偶性等． (3)图象法：一般是把函数拆分为两个简单函数，依据两函数图象的交点个数得出函数的零点个数． 反思感悟 突破核心命题 7拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 (　　) A．0　　 B．1 C．2　　 D．3 C　 突破核心命题 7拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 C　令f(x)－2|x|＝0，得f(x)＝2|x|， 则函数y＝f(x)－2|x|的零点个数等价于函数f(x)与函数y＝2|x|的图象的交点个数． 突破核心命题 7拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 作出函数f(x)与函数y＝2|x|的图象如图所示， 由图象可知，两个函数图象的交点个数为2，故函数y＝f(x)－2|x|的零点个数为2. 突破核心命题 7拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 考 点 三 函数零点的应用 考向 1 根据零点的个数求参数 突破核心命题 7拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 当x>a时，f(x)＝2x－3单调递增，当－1<x≤a时，f(x)＝log2(x＋1)单调递增．由题意，若存在实数t使得g(x)有两个不同的零点，即存在实数t，使得方程f(x)＝－t有两个不相等的根，即函数f(x)的图象与直线y＝－t有两个交点，所以当点P(a，log2(a＋1))在点Q(a，2a－3)上方，即log2(a＋1)>2a－3时，符合题意．因为log2(2＋1)>22－3＝1，log2(3＋1)<23－3＝5，结合y＝2x－3与y＝log2(x＋1)的图象可得正整数a的最大值为2. 答案：2 突破核心命题 7拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 考向 2 根据函数的零点范围求参数 答案：(－10，0) 突破核心命题 7拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 1．根据零点所在区间求参数：(1)直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．(2)分离参数，转化为求函数的最值(或值域)问题加以解决． 2．已知函数零点的个数求参数范围，常利用数形结合法将其转化为两个函数的图象的交点问题，需准确画出两个函数的图象，利用图象写出满足条件的参数范围． 反思感悟 突破核心命题 7拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 训练3　(1)已知关于x的方程ax＋6＝2x在区间(1，2)内有解，则实数a的取值范围是(　　) A　 突破核心命题 7拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 A　根据题意可得ax＝2x－6，故问题转化为函数y＝ax和y＝2x－6的图象在x∈(1，2)时有交点，如图所示，易知y＝2x－6的图象的两个端点为(1，－4)和(2，－2)，当y＝ax过点(1，－4)时a＝－4，当y＝ax过点(2，－2)时a＝－1，所以a的取值范围是(－4，－1)． 突破核心命题 7拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 (2)(2024·安康第一次联考)若函数f(x)＝kex－x2＋3有三个零点，则k的取值范围为(　　) A　 突破核心命题 7拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 突破核心命题 7拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 法二：当k＝0时，f(x)＝－x2＋3，f(x)有两个零点，不符合题意，排除B和D；当k＝－1时，f(x)＝－ex－x2＋3，因为y＝－ex＋3与y＝x2的图象有两个交点，所以f(x)有两个零点，不符合题意，排除C，故选A. 突破核心命题 7拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 拓展提能7　嵌套函数的零点问题 突破核心命题 7拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 1．一般地，判断形如f(g(x))的嵌套函数的零点个数或根据函数的零点求参数的取值范围时，可采用换元法，先令g(x)＝t，求解当f(t)＝0时t的值，然后根据函数g(x)的图象及性质确定当g(x)＝t时，x的值的个数即为f(g(x))的零点个数，解答时注意数形结合，侧重对函数f(x)与g(x)图象性质的分析． 2．解决此类问题往往应用函数的图象，作函数的图象必须关注其关键点(位置)和发展趋势、渐近线等，尤其当作图比例较大时，由于画的是局部图象，若关注度不够或疏忽，就会导致错误． 突破核心命题 7拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 A．4　　 B．5 C．6　　 D．3 A　 突破核心命题 7拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 A　当x≥0时，f(x)＝4x3－6x2＋1的导数为f′(x)＝12x2－12x，当0<x<1时，f(x)单调递减，x>1时，f(x)单调递增，可得f(x)在x＝1处取得最小值，最小值为－1，且f(0)＝1，作出函数f(x)的图象，g(x)＝3[f(x)]2－10f(x)＋3，可令g(x)＝0，t＝f(x)， 突破核心命题 7拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 B　 突破核心命题 7拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 突破核心命题 7拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 突破核心命题 7拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 突破核心命题 7拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 突破核心命题 7拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 A．7　　 B．5 C．3　　 D．2 B　 突破核心命题 7拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 突破核心命题 7拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 若t＝1，直线y＝t＝1与y＝f(x)的图象有3个交点，即f(f(x))＝1有3个不同实根； 若t＝3，直线y＝t＝3与y＝f(x)的图象有2个交点，即f(f(x))＝1有2个不同实根． 综上所述，方程f(f(x))＝1的实数根的个数为5个，故选B. 突破核心命题 7拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 A　 A．(－1，1]　　 B．(－1，0] C．[0，1]　　 D．[－1，1] 突破核心命题 7拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 突破核心命题 7拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 限时规范训练(十五) 突破核心命题 7拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 A级　基础落实练 1．对于函数f(x)，若f(－1)f(3)<0，则(　　) A．方程f(x)＝0一定有实数解 B．方程f(x)＝0一定无实数解 C．方程f(x)＝0一定有两实根 D．方程f(x)＝0可能无实数解 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 1 2 D　 D　因为函数f(x)的图象在(－1，3)上未必连续，所以尽管f(－1)f(3)<0，但方程f(x)＝0在(－1，3)上可能无实数解． 突破核心命题 7拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 2 1 A. 0　　 B．1 C．2　　 D．3 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 C　 突破核心命题 7拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 C　当x≤0时，令x2＋2x－3＝0，则(x－1)(x＋3)＝0，解得x＝1(舍去)或x＝－3；当x>0时，令ex－2＝0，解得x＝ln 2，所以f(x)的零点个数为2.故选C. 突破核心命题 7拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 2 3 1 (　　) A．(－4，－2)　　 B．(－2，－1) C．(1，2)　　 D．(2，4) 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 B　 突破核心命题 7拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 2 3 4 1 4．(2024·山西部分学校联考)若函数f(x)＝ln x＋x2＋a－1在区间(1，e)内有零点，则实数a的取值范围是(　　) A．(－e2，0)　　 B．(－e2，1) C．(1，e)　　 D．(1，e2) 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 A　 A　函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，因为函数y＝ln x与y＝x2＋a－1在(0，＋∞)上均单调递增，所以函数f(x)＝ln x＋x2＋a－1在(0，＋∞)上单调递增，由函数f(x)在区间(1，e)内有零点知f(1)f(e)<0，即a(e2＋a)<0，解得－e2<a<0，故选A. 突破核心命题 7拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 2 3 4 5 1 5．(2024·福州模拟)若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝ f(x)，且当x∈[0，1]时， f(x)＝x，则函数y＝f(x)－log3|x|的零点有(　　) A．多于4个　　 B．4个 C．3个　　 D．2个 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 B　 突破核心命题 7拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 2 3 4 5 1 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 B　分别作出y＝f(x)与y＝log3|x|的图象如图所示， 由图可知y＝f(x)与y＝log3|x|有4个交点，故函数y＝f(x)－log3|x|有4个零点． 突破核心命题 7拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 2 3 4 5 6 1 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 C　 突破核心命题 7拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 突破核心命题 7拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 7 A．2　　 B．4 C．6　　 D．8 8 9 10 12 13 14 15 16 11 1 3 4 5 6 2 B　 突破核心命题 7拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 1 3 4 5 6 2 突破核心命题 7拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 8 9 10 12 13 14 15 16 11 1 3 4 5 6 7 2 B　 突破核心命题 7拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 8 9 10 12 13 14 15 16 11 1 3 4 5 6 7 2 突破核心命题 7拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 9 10 12 13 14 15 16 11 1 3 4 5 6 7 8 2 突破核心命题 7拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 10 10．若函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c是奇函数，且有三个不同的零点，写出一个符合条件的函数：f(x)＝________． 12 13 14 15 16 11 1 3 4 5 6 7 8 9 2 f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c为奇函数，故a＝c＝0，f(x)＝x3＋bx＝x(x2＋b)有三个不同零点， ∴b<0，∴f(x)＝x3－x满足题意． 答案：x3－x(答案不唯一) 突破核心命题 7拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 11 11．已知函数f(x)＝2lg x＋x－4的零点在区间(k，k＋1)(k∈Z)上，则k＝________． 12 13 14 15 16 1 3 4 5 6 7 8 9 10 2 函数f(x)＝2lg x＋x－4在(0，＋∞)上为增函数， ∵f(3)＝2lg 3＋3－4＝2lg 3－1＝lg 9－1<0，f(4)＝2lg 4＋4－4＝2lg 4>0，即f(3)·f(4)<0，则函数f(x)＝2lg x＋x－4的零点在区间(3，4)上，即k＝3. 答案：3 突破核心命题 7拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 12 12．若x1是方程xex＝1的解，x2是方程xln x＝1的解，则x1x2＝_____． 13 14 15 16 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2 答案：1 突破核心命题 7拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 B级　能力提升练 13．(2023·保定摸底)已知x>0，函数f(x)＝2x＋x－5，g(x)＝x2＋x－4，h(x)＝log2x＋x－3的零点分别为a，b，c，则(　　) A．a<b<c　　 B．a<c<b C．b<a<c　　 D．b<c<a 13 14 15 16 1 3 4 5 6 7 8 9 10 12 11 2 C　 突破核心命题 7拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 13 14 15 16 1 3 4 5 6 7 8 9 10 12 11 2 突破核心命题 7拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 14 14．(2024·苏州常熟中学第一阶段抽测)定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＋f(x)＝0，f(－x)＝f(x＋2)，且当x∈[0，1]时，f(x)＝x3－x2＋x，则方程4f(x)－x＋2＝0所有的根之和为(　　) A．6　　 B．12 C．14　　 D．10 15 16 1 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 11 2 D　 突破核心命题 7拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 14 15 16 1 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 11 2 D　因为f(－x)＋f(x)＝0，x∈R，所以f(x)为奇函数．又因为f(－x)＝f(x＋2)，所以f(x)的图象关于直线x＝1对称．当x∈[0，1]时，f′(x)＝3x2－2x＋1>0，f(x)单调递增．由f(x＋2)＝f(－x)＝－f(x)，得f(x＋4)＝－f(x＋2)＝－[－f(x)]＝f(x)，所以f(x)的一个周期为4.画出f(x)的图象，如图所示． 突破核心命题 7拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 14 15 16 1 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 11 2 突破核心命题 7拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 15 15．(2021·北京卷)已知f(x)＝|lg x|－kx－2，给出下列四个结论： (1)若k＝0，则f(x)有两个零点； (2)∃k<0，使得f(x)有一个零点； (3)∃k<0，使得f(x)有三个零点； (4)∃k>0，使得f(x)有三个零点． 以上正确结论的序号是________． 16 1 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 11 2 突破核心命题 7拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 15 16 1 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 11 2 f(x)＝|lg x|－kx－2的零点问题，可转化成两个函数y1＝|lg x|，y2＝kx＋2的图象的交点问题． 对于(1)，当k＝0时，|lg x|＝2，有两个交点，(1)正确； 对于(2)，存在k<0，使y1＝|lg x|与y2＝kx＋2相切，(2)正确； 对于(3)，若k<0，y1＝|lg x|与y2＝kx＋2最多有2个交点，(3)错误； 对于(4)，当k>0时，过点(0，2)存在函数g(x)＝lg x(x>1)的切线，此时共有两个交点，当直线斜率稍微小于相切时的斜率时，就会有3个交点，(4)正确． 答案：(1)(2)(4) 突破核心命题 7拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 16 1 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 11 2 突破核心命题 7拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 16 1 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 11 2 y＝f(x)－a有四个不同的零点x1，x2，x3，x4， 即方程f(x)＝a有四个不同的解， 即y＝f(x)的图象与直线y＝a有四个交点． 在同一平面直角坐标系中分别作出y＝f(x)与y＝a的图象，如图所示， 由二次函数的对称性可得，x3＋x4＝4.因为1－2x1＝2x2－1， 突破核心命题 7拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 本部分内容讲解结束 按ESC键退出全屏播放 突破核心命题 7拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 $$