第2章 第8讲 对数函数（PPT课件）-【高考领航】2025年高考数学大一轮复习

第8讲　对数函数 突破核心命题 1拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 　1.通过实例，了解对数函数的概念，能用描点法或借助计算工具画具体对数函数的图象，理解对数函数的单调性与特殊点.2.了解指数函数y＝ax与对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)互为反函数． 考试要求 突破核心命题 1拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 聚焦必备知识 突破核心命题 1拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 1．对数函数的概念 一般地，函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中_____是自变量，定义域是(0，＋∞)． 2．对数函数的图象与性质 知识梳理   y＝logax，a>1 y＝logax，0<a<1 图象 突破核心命题 1拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1   y＝logax，a>1 y＝logax，0<a<1 定义域 _____________ 值域 R 性质 过定点__________，即当x＝1时，y＝0 当x>1时，________； 当0<x<1时，________ 当x>1时，________； 当0<x<1时，________ 在(0，＋∞)上是__________ 在(0，＋∞)上是__________ 突破核心命题 1拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 3．反函数 指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的定义域与值域正好互换，它们的图象关于y＝x对称． 突破核心命题 1拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 2．如图给出4个对数函数的图象，则b>a>1>d>c>0，即在第一象限，不同的对数函数图象从左到右底数逐渐增大． 常用结论 突破核心命题 1拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 夯基诊断 ×　 √　 ×　 √　 突破核心命题 1拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 2．回源教材 (1)设a＝log0.26，b＝log0.36，c＝log0.46，则(　　) A．a＞b＞c　　　　　 B．a＞c＞b C．b＞c＞a　　 D．c＞b＞a A　 突破核心命题 1拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 A　法一：如图，作出函数y1＝log0.2x，y2＝log0.3x，y3＝log0.4x的图象，由图可知，当x＝6时，log0.26＞log0.36＞log0.46，即a＞b＞c. 法二：易知0＞log60.4＞log60.3＞log60.2， 突破核心命题 1拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 D　 突破核心命题 1拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 D　当0＜a＜1时，函数y＝ax的图象过定点(0，1)，在R上单调递减， 突破核心命题 1拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 当a＞1时，函数y＝ax的图象过定点(0，1)，在R上单调递增， 突破核心命题 1拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 突破核心命题 1拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 突破核心命题 突破核心命题 1拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 例1　(1)(2024·通辽模拟)若函数f(x)＝(k－1)ax－a－x(a＞0且a≠1)在R上既是奇函数，又是减函数，则g(x)＝loga|x＋k|的大致图象是(　　) 考 点 一 对数函数的图象及应用 B　 突破核心命题 1拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 B　因为函数f(x)＝(k－1)ax－a－x(a＞0，a≠1)在R上是奇函数， 所以f(0)＝0，所以k＝2，经检验，k＝2满足题意， 因为f(x)为减函数，所以0＜a＜1，则g(x)＝loga|x＋2|(0＜a＜1)． 由g(－4－x)＝loga|－4－x＋2|＝loga|x＋2|＝g(x)，可知g(x)的图象关于直线x＝－2轴对称，排除选项C，D；又g(0)＝loga|0＋2|＝loga2＜0，可知选项A错误， 所以g(x)的大致图象为B．故选B． 突破核心命题 1拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 (2)当x∈(0，1)时，不等式x2＜loga(x＋1)(其中a＞0且a≠1)恒成立，则a的取值范围为(　　) D　 突破核心命题 1拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 D　作出函数y＝x2与y＝loga(x＋1)的图象如图，要使当x∈(0，1)时，不等式x2＜loga(x＋1)恒成立，则a＞1且loga(1＋1)＝loga2≥1，解得1＜a≤2.∴a的取值范围为(1，2]． 突破核心命题 1拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 1．在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项． 2．对于较复杂的指数或对数不等式有解或恒成立问题，可借助函数图象解决，具体步骤如下： (1)对不等式变形，使不等号两边对应两函数f(x)，g(x)． (2)在同一平面直角坐标系内作出函数y＝f(x)及函数y＝g(x)的图象． (3)观察当x在某一范围内取值时图象的位置关系及交点的个数，由此确定参数的取值或不等式的解的情况． 反思感悟 突破核心命题 1拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 训练1　(1)函数f(x)＝loga|x|＋1(0＜a＜1)的图象大致为(　　) A　 突破核心命题 1拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 A　由函数f(x)的解析式可确定该函数为偶函数，图象关于y轴对称．设g(x)＝loga|x|，先画出x＞0时，g(x)的图象(图略)，然后根据g(x)的图象关于y轴对称画出x＜0时g(x)的图象，最后由函数g(x)的图象向上平移一个单位长度即得f(x)的图象，结合图象知选A． 突破核心命题 1拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 突破核心命题 1拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 例2　(2024·武汉质检)已知a＝log30.5，b＝log3π，c＝log43，则a，b，c的大小关系是(　　) A．a＜b＜c　　 B．b＜a＜c C．a＜c＜b　　 D．c＜a＜b 考 点 二 对数函数的性质及应用 考向 1 比较对数式的大小 C　 突破核心命题 1拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 C　a＝log30.5＜log31＝0，即a＜0； b＝log3π＞log33＝1，即b＞1； 0＝log41＜log43＜log44＝1，即0＜c＜1， ∴a＜c＜b. 突破核心命题 1拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 比较对数函数值大小的方法 反思感悟 单调 性法 在同底的情况下直接得到大小关系，若不同底，先化为同底 中间量 过渡法 寻找中间数联系要比较的两个数，一般是用“0”“1”或其他特殊值进行“比较传递” 图象法 根据图象观察得出大小关系 突破核心命题 1拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 例3　已知不等式logx(2x2＋1)＜logx(3x)＜0成立，则实数x的取值范围是________． 考向 2 解对数方程、不等式 突破核心命题 1拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 常见的对数不等式的类型及解题方法 (1)解形如logaf(x)＞logag(x)的不等式，常借助函数y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论． (2)解形如logaf(x)＞b的不等式，应先将b化为以a为底数的对数式的形式，再借助函数y＝logax的单调性求解． (3)解形如logaf(x)＞logbg(x)的不等式，基本方法是将不等式两边化为同底的两个对数式，利用对数函数的单调性“脱去”对数符号，同时应保证真数大于零． 反思感悟 突破核心命题 1拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 例4　(2024·武汉模拟)函数f(x)＝loga(3－2ax)在区间[1，2]上单调递增，则实数a的取值范围为(　　) 考向 3 对数函数性质的综合应用 C　 突破核心命题 1拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 C　设u(x)＝3－2ax(a＞0且a≠1)，则u(x)是减函数，要使得函数f(x)＝loga(3－2ax)在[1，2]上单调递增，只需y＝logau为减函数，且满足u(x)＝3－2ax＞0在x∈[1，2]上恒成立， 突破核心命题 1拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 解决对数函数性质的综合问题的注意点 (1)要分清函数的底数是a∈(0，1)，还是a∈(1，＋∞)． (2)确定函数的定义域，无论研究函数的什么性质或利用函数的某个性质，都要在其定义域上进行． (3)转化时一定要注意对数问题转化的等价性． 反思感悟 突破核心命题 1拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 训练2　(1)设a＝log412，b＝log515，c＝log618，则(　　) A．a＞b＞c　　 B．b＞c＞a C．a＞c＞b　　 D．c＞b＞a A　 A　a＝1＋log43，b＝1＋log53，c＝1＋log63， ∵log43＞log53＞log63，∴a＞b＞c. 突破核心命题 1拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 突破核心命题 1拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 (3)已知定义域为R的偶函数f(x)在(－∞，0]上是减函数，且f(1)＝2，则不等式f(log2x)＞2的解集为________． 突破核心命题 1拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 拓展提能6　 指数、对数、幂大小比较的方法 突破核心命题 1拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 比较大小时，若题设涉及指数式、对数式，则应考虑指数函数、对数函数的图象与性质，此外，要特别注意数字“0”和“1”等在比较大小问题中的桥梁作用． 类型 一 利用图象与性质比较大小 突破核心命题 1拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 A．a＜b＜c　　 B．c＜a＜b C．b＜c＜a　　 D．c＜b＜a C　 突破核心命题 1拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 A．a＞b＞c　　 B．a＞c＞b C．b＞c＞a　　 D．b＞a＞c D　 突破核心命题 1拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 比较大小时，若题设涉及三个指数式连等，或三个对数式连等，则可利用特例法求解，也可在设元变形的基础上，灵活运用相关函数的性质求解． 类型 二 三元变量的比较大小问题 突破核心命题 1拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 B　 突破核心命题 1拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 突破核心命题 1拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 突破核心命题 1拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 突破核心命题 1拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 训练2　设x，y，z为正数，且2x＝3y＝5z，则(　　) A．3y＜2x＜5z　　 B．2x＜3y＜5z C．3y＜5z＜2x　　 D．5z＜2x＜3y A　 突破核心命题 1拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 突破核心命题 1拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 法二：特值法 取z＝1，则由2x＝3y＝5得x＝log25，y＝log35，所以2x＝log225＜log232＝5z，3y＝log3125＜log3243＝5z，所以5z最大． 取y＝1，则由2x＝3得x＝log23，所以2x＝log29＞3y. 综上可得，3y＜2x＜5z，故选A． 突破核心命题 1拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 限时规范训练(十三) 突破核心命题 1拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 A级　基础落实练 1．若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的反函数且f(2)＝1，则f(x)等于(　　) 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 11 1 2 A　 突破核心命题 1拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 11 1 2 A　函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的反函数是f(x)＝logax， 又f(2)＝1，即loga2＝1， 所以a＝2.故f(x)＝log2x. 突破核心命题 1拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 2 1 2．(2024·北京西城区期末)已知函数f(x)＝lg |x|，则f(x)(　　) A．是奇函数，且在(0，＋∞)上单调递增 B．是奇函数，且在(0，＋∞)上单调递减 C．是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增 D．是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 11 C　 C　由已知可得，f(x)的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称．又f(－x)＝lg |－x|＝lg |x|＝f(x)，所以f(x)为偶函数．当x＞0时，f(x)＝lg x，因为y＝lg x在(0，＋∞)上单调递增，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增．故选C． 突破核心命题 1拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 2 3 1 A．a＜b＜c　　 B．c＜a＜b C．b＜c＜a　　 D．a＜c＜b 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 11 D　 突破核心命题 1拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 2 3 1 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 11 突破核心命题 1拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 2 3 4 1 4．对数函数y＝logax(a＞0且a≠1)与二次函数y＝(a－1)x2－x在同一坐标系内的图象可能是(　　) 5 6 7 8 9 10 12 13 14 11 A　 突破核心命题 1拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 11 1 突破核心命题 1拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 2 3 4 5 1 5．定义在R上的奇函数f(x)满足：当x＞0时，f(x)＝2023x＋log2023x，则在R上方程f(x)＝0的实根个数为(　　) A．1　　 B．3　 C．2　　 D．2023 6 7 8 9 10 12 13 14 11 B　 突破核心命题 1拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 2 3 4 5 1 6 7 8 9 10 12 13 14 11 B　①当x＞0时，令f(x)＝0，即2023x＝－log2023x，在同一坐标系中作出函数y1＝2023x， y2＝－log2023x的示意图，如图， 突破核心命题 1拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 2 3 4 5 1 6 7 8 9 10 12 13 14 11 函数y1＝2023x为增函数，y2＝－log2023x为减函数， 可知两个图象有且只有一个交点P，横坐标记为x0，即当x＞0时方程f(x)＝0有且只有一个实根x0.②因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，所以当x＜0时，方程f(x)＝0也有一个实根－x0.③又因为f(x)是R上的奇函数，f(0)＝0，所以0也是方程f(x)＝0的根． 综上所述，方程f(x)＝0有3个实根．故选B． 突破核心命题 1拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 2 3 4 5 6 1 6．(2024·泸州模拟)若函数y＝f(x)与y＝5x互为反函数，则y＝f(x2－2x)的单调递减区间是________．   因为y＝f(x)与y＝5x互为反函数， 所以f(x)＝log5x，则f(x2－2x)＝log5(x2－2x)． 设μ＝x2－2x，则f(μ)＝log5μ， 由x2－2x＞0，解得x＜0或x＞2， 7 8 9 10 12 13 14 11 突破核心命题 1拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 12 13 14 11 因为f(μ)＝log5μ在其定义域上单调递增， 又μ＝x2－2x在(－∞，0)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增， 所以y＝f(x2－2x)的单调递减区间是(－∞，0)．   答案：(－∞，0) 突破核心命题 1拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 7 8 9 10 12 13 14 11 1 3 4 5 6 2 突破核心命题 1拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 8 8．已知f(x)＝|log2x|，若0＜a＜b，且f(a)＝f(b)，则4ab＝________．   ∵f(a)＝f(b)， ∴|log2a|＝|log2b|. 作出函数图象， 由图可得0＜a＜1＜b，∴－log2a＝log2b， ∴log2a＋log2b＝0， ∴log2ab＝0，∴ab＝1，∴4ab＝4.   答案：4 9 10 12 13 14 11 1 3 4 5 6 7 2 突破核心命题 1拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 9 9．若函数f(x)＝lg(x2－2ax＋1＋a)在区间(－∞，1]上递减，则实数a的取值范围为________． 10 12 13 14 11 1 3 4 5 6 7 8 2 答案：[1，2) 突破核心命题 1拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 10 (1)求a的值与函数f(x)的定义域； (2)若当x∈(1，＋∞)时，f(x)＋log2(x－1)>m恒成立，求实数m的取值范围． 12 13 14 11 1 3 4 5 6 7 8 9 2 突破核心命题 1拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 10 12 13 14 11 1 3 4 5 6 7 8 9 2 突破核心命题 1拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 (2)f(x)＋log2(x－1)＝log2(1＋x)， 当x>1时，x＋1>2，所以log2(1＋x)>log22＝1. 因为当x∈(1，＋∞)时，f(x)＋log2(x－1)>m恒成立， 所以m≤1，所以m的取值范围是(－∞，1]． 10 12 13 14 11 1 3 4 5 6 7 8 9 2 突破核心命题 1拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 11 (1)若函数f(x)的定义域为(－∞，1)∪(3，＋∞)，求实数a的值； (2)若函数f(x)的定义域为R，值域为(－∞，－1]，求实数a的值； (3)若函数f(x)在(－∞，－1]上为增函数，求实数a的取值范围． 解：(1)依题意知x2－2ax＋3＞0的解集为(－∞，1)∪(3，＋∞)，∴方程x2－2ax＋3＝0的解为x1＝1，x2＝3，根据根与系数的关系得2a＝1＋3，解得a＝2，即实数a的值为2. 12 13 14 1 3 4 5 6 7 8 9 10 2 突破核心命题 1拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 (2)∵函数f(x)的值域为(－∞，－1]， 11 12 13 14 1 3 4 5 6 7 8 9 10 2 而函数f(x)的定义域为R，∴u＝x2－2ax＋3的最小值umin＝2. 而u＝x2－2ax＋3＝(x－a)2＋3－a2， ∴3－a2＝2，解得a2＝1，即a＝±1， ∴实数a的值为1或－1. 突破核心命题 1拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 11 12 13 14 1 3 4 5 6 7 8 9 10 2 突破核心命题 1拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 12 B级　能力提升练 12．(2023·苏州、常熟抽测)如果0＜a＜1，那么下列不等式中正确的是(　　) 13 14 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2 A　 突破核心命题 1拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 12 13 14 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2 突破核心命题 1拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 13．(多选)已知函数f(x)＝ln x＋ln(2－x)，则(　　) A．f(x)在(0，2)上单调递增 B．f(x)在(0，2)上的最大值为0 C．f(x)的图象关于直线x＝1对称 D．f(x)的图象关于点(1，0)对称 13 14 1 3 4 5 6 7 8 9 10 12 11 2 BC　 突破核心命题 1拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 13 14 1 3 4 5 6 7 8 9 10 12 11 2 BC　f(x)＝ln x＋ln(2－x)，定义域为(0，2)， f(x)＝ln[x(2－x)]＝ln(－x2＋2x)， 令t＝－x2＋2x，y＝ln t， ∵t＝－x2＋2x，x∈(0，2)，在(0，1)上单调递增，在(1，2)上单调递减， ∴f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，2)上单调递减，故A不正确； 突破核心命题 1拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 13 14 1 3 4 5 6 7 8 9 10 12 11 2 f(x)max＝f(1)＝0，故B正确； ∵f(1＋x)＝ln(1＋x)＋ln(1－x)， f(1－x)＝ln(1－x)＋ln(1＋x)， ∴f(1＋x)＝f(1－x)， ∴f(x)的图象关于直线x＝1对称，故C正确，D不正确． 突破核心命题 1拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 14 14．已知函数f(x)＝3－2log2x，g(x)＝log2x. (1)当x∈[1，4]时，求函数h(x)＝[f(x)＋1]·g(x)的值域； 1 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 11 2 解：(1)h(x)＝(4－2log2x)log2x ＝2－2(log2x－1)2. 因为x∈[1，4]，所以log2x∈[0，2]， 故函数h(x)的值域为[0，2]． 突破核心命题 1拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 得(3－4log2x)(3－log2x)＞k·log2x， 令t＝log2x，因为x∈[1，4]， 所以t＝log2x∈[0，2]， 所以(3－4t)(3－t)＞k·t对一切t∈[0，2]恒成立， ①当t＝0时，k∈R； 14 1 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 11 2 突破核心命题 1拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 14 1 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 11 2 突破核心命题 1拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 本部分内容讲解结束 按ESC键退出全屏播放 突破核心命题 1拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 $$