第2章 第5讲 二次函数与幂函数（PPT课件）-【高考领航】2025年高考数学大一轮复习

第5讲　二次函数与幂函数 突破核心命题 5拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 　1.通过具体实例，了解幂函数及其图象的变化规律.2.掌握二次函数的图象与性质(单调性、对称性、顶点、最值等)． 考试要求 突破核心命题 5拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 聚焦必备知识 突破核心命题 5拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 1．幂函数 (1)幂函数的定义 一般地，形如_________的函数叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． (2)常见的5种幂函数的图象 知识梳理 突破核心命题 5拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 (3)幂函数的性质 ①幂函数在(0，＋∞)上都有定义； ②当α>0时，幂函数的图象都过点__________和__________，且在(0，＋∞)上单调________； ③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调________． 　　　　幂函数的图象一定会出现在第一象限，一定不会出现在第四象限．图象若与坐标轴有交点，则一定交于坐标原点． 提醒 突破核心命题 5拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 2．二次函数解析式的三种形式 (1)一般式：f(x)＝____________________． (2)顶点式：f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0)，顶点坐标为__________． (3)零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点． 突破核心命题 5拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 3．二次函数的图象与性质 解析式 f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0) f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0) 图象 定义域 R 值域 _______________ _______________ 突破核心命题 5拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 解析式 f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0) f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0) 单调性 在_________________上单调递增； 在_________________上单调递减 在_________________上单调递增； 在_________________上单调递减 奇偶性 当________时为偶函数，当b≠0时为非奇非偶函数 顶点 ______________ 对称性 图象关于直线x＝________成轴对称图形 突破核心命题 5拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 2．幂函数的图象：在第一象限内，在直线x＝1右侧，其指数越大，图象越高，即“指大图高”． 常用结论 突破核心命题 5拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 夯基诊断 ×　 √　 √　 ×　 突破核心命题 5拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 D　 突破核心命题 5拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 (2)函数f(x)＝－2x2＋4x，x∈[－1，2]的值域为(　　) A．[－6，2]　　 B．[－6，1] C．[0，2]　　 D．[0，1] A　 A　函数f(x)＝－2x2＋4x的对称轴为x＝1， 则f(x)在[－1，1]上单调递增，在[1，2]上单调递减，∴f(x)max＝f(1)＝2， f(x)min＝f(－1)＝－2－4＝－6， 即f(x)的值域为[－6，2]． 突破核心命题 5拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 (3)已知a＝0.40.3，b＝0.30.3，c＝0.30.4，则a，b，c的大小关系为___．   由幂函数、指数函数的单调性知0.30.4＜0.30.3，0.40.3＞0.30.3，即c＜b＜a.   答案：c＜b＜a 突破核心命题 5拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 突破核心命题 突破核心命题 5拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 考 点 一 幂函数的图象与性质 CD　 突破核心命题 5拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 突破核心命题 5拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 D　 突破核心命题 5拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 D　由幂函数的图象关于y轴对称，可知该函数为偶函数，所以p为偶数，则q为奇数． 突破核心命题 5拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 A．a＜b＜c　　 B．c＜a＜b　　　　 C．b＜c＜a　　 D．b＜a＜c D　 突破核心命题 5拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 突破核心命题 5拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 1．幂函数y＝xα(α∈R)只有一个参数α，因此只需一个条件可确定解析式． 2．在区间(0，1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在区间(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴． 3．在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键． 反思感悟 突破核心命题 5拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 例1　已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试确定该二次函数的解析式． 考 点 二 二次函数的解析式 突破核心命题 5拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 法二(利用“顶点式”解题)： 设f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)． 因为f(2)＝f(－1)， 突破核心命题 5拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 突破核心命题 5拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 法三(利用“零点式”解题 )： 由已知f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1， 故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)(a≠0)， 即f(x)＝ax2－ax－2a－1. 突破核心命题 5拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 求二次函数解析式的三个策略 (1)已知三个点的坐标，宜选用一般式． (2)已知顶点坐标、对称轴、最大(小)值等，宜选用顶点式． (3)已知图象与x轴的两交点的坐标，宜选用零点式． 反思感悟 突破核心命题 5拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 训练1　(1)已知f(x)为二次函数，且f(x)＝x2＋f′(x)－1，则f(x)等于 (　　) A．x2－2x＋1　　 B．x2＋2x＋1 C．2x2－2x＋1　　 D．2x2＋2x－1 B　 突破核心命题 5拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 B　设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)， 则f′(x)＝2ax＋b，由f(x)＝x2＋f′(x)－1， 可得ax2＋bx＋c＝x2＋2ax＋(b－1)， 突破核心命题 5拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 (2)已知二次函数f(x)的图象经过点(4，3)，在x轴上截得的线段长为2，并且对任意x∈R，都有f(2－x)＝f(2＋x)，则f(x)＝________．   因为f(2－x)＝f(2＋x)对x∈R恒成立， 所以y＝f(x)的图象关于x＝2对称． 又y＝f(x)的图象在x轴上截得的线段长为2， 突破核心命题 5拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 因此设f(x)＝a(x－1)(x－3)． 又点(4，3)在y＝f(x)的图象上， 所以3a＝3，则a＝1， 故f(x)＝(x－1)(x－3)＝x2－4x＋3. 答案：x2－4x＋3 突破核心命题 5拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 例2　设abc＞0，则二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象可能是(　　) 考 点 三 二次函数的图象与性质 考向 1 二次函数的图象 D　 突破核心命题 5拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 D　因为abc＞0， 二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c，那么可知， 在A中，a＜0，b＜0，c＜0，不符合题意； B中，a＜0，b＞0，c＞0，不符合题意； C中，a＞0，b＞0，c＜0，不符合题意； D中，a＞0，b＜0，c＜0，符合题意． 突破核心命题 5拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 例3　(2024·福州模拟)已知二次函数f(x)＝ax2－x＋2a－1. (1)若f(x)在区间[1，2]上单调递减，求a的取值范围； (2)若a＞0，设函数f(x)在区间[1，2]上的最小值为g(a)，求g(a)的表达式． 考向 2 二次函数的单调性与最值 突破核心命题 5拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 突破核心命题 5拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 突破核心命题 5拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 突破核心命题 5拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 1．分析二次函数图象问题要抓住三点： 一是看二次项系数的符号；二是看对称轴和顶点；三是看函数图象上的一些特殊点．从这三方面入手，能准确地判断出二次函数的图象，反之，也能从图象中得到以上信息． 2．二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解题的关键都是对称轴与区间的位置关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论． 反思感悟 突破核心命题 5拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 训练2　(1)函数f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1在区间[－1，＋∞)上单调递减，则实数a的取值范围是(　　) A．[－3，0)　　 B．(－∞，－3] C．[－2，0]　　 D．[－3，0] D　 突破核心命题 5拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 D　当a＝0时，f(x)＝－3x＋1在[－1，＋∞)上单调递减，满足题意． 突破核心命题 5拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 (2)(2024·厦门模拟)函数y＝ax＋b和y＝ax2＋bx＋c在同一平面直角坐标系内的图象可以是(　　) C　 突破核心命题 5拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 C　若a＞0，则一次函数y＝ax＋b为增函数，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向上，故可排除A，D； 突破核心命题 5拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 训练3　设函数f(x)＝x2－2x＋2，x∈[t，t＋1]，t∈R，求函数f(x)的最小值． 解：f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[t，t＋1]，t∈R，函数图象的对称轴为x＝1. 当t＋1≤1，即t≤0时，函数图象如图(1)所示，函数f(x)在区间[t，t＋1]上为减函数， 所以最小值为f(t＋1)＝t2＋1； (1) 突破核心命题 5拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 当t＜1＜t＋1，即0＜t＜1时，函数图象如图(2)所示，在对称轴x＝1处取得最小值，最小值为f(1)＝1； 当t≥1时，函数图象如图(3)所示，函数f(x)在区间[t，t＋1]上为增函数， 所以最小值为f(t)＝t2－2t＋2. 综上可知，当t≤0时，f(x)min＝t2＋1， 当0＜t＜1时，f(x)min＝1， 当t≥1时，f(x)min＝t2－2t＋2. (2) (3) 突破核心命题 5拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 拓展提能5　几类特殊函数 突破核心命题 5拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 类型 一 对勾函数、飘带函数 突破核心命题 5拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 (2)图象 突破核心命题 5拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 突破核心命题 5拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 A．当a＞0时，f(x)在定义域上单调递增 B．当a＝－4时，f(x)的单调递增区间为(－∞，－2)，(2，＋∞) C．当a＝－4时，f(x)的值域为(－∞，－4]∪[4，＋∞) D．当a＞0时，f(x)的值域为R BCD　 突破核心命题 5拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 突破核心命题 5拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 突破核心命题 5拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 突破核心命题 5拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 突破核心命题 5拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 突破核心命题 5拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 1．高斯函数y＝[x] (1)定义：不超过实数x的最大整数称为x的整数部分，记作[x]，例如，[3.4]＝3，[－2.1]＝－3，这一规定最早为数学家高斯所使用，故函数y＝[x]称为高斯函数，又称取整函数． (2)性质 ①定义域：R；值域：Z. ②不具有单调性、奇偶性、周期性． 类型 二 高斯函数、狄利克雷函数、最值函数 突破核心命题 5拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 (3)图象 突破核心命题 5拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 突破核心命题 5拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 3．最值函数的概念 突破核心命题 5拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 BC　 突破核心命题 5拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 突破核心命题 5拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 突破核心命题 5拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 ∵x1＞x2，则e x1＞e x2，即e x1－e x2＞0， 突破核心命题 5拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 BD　 突破核心命题 5拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 BD　对于A，函数y＝f(x)的图象是断续的点集，不是两条直线，A错误； 对于B，当x为有理数时，f(x)＝1， 所以f(f(x))＝f(1)＝1， 当x为无理数时，f(x)＝0，f(f(x))＝f(0)＝1，B正确； 突破核心命题 5拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 对于D，由题意，函数定义域为R，且f(－x)＝f(x)，所以f(x)为偶函数， 若x是有理数，则x＋T也是有理数； 若x是无理数，则x＋T也是无理数； 所以根据函数的表达式，任取一个不为零的有理数T， f(x＋T)＝f(x)对∀x∈R恒成立， 故f(x＋2)＝f(x)＝f(－x)＝f(1－x)， 所以∀x∈R，都有f(1－x)＝f(2＋x)， D正确． 突破核心命题 5拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 突破核心命题 5拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 突破核心命题 5拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 B　 突破核心命题 5拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 突破核心命题 5拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 突破核心命题 5拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 类型 三 一次分式函数 突破核心命题 5拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 突破核心命题 5拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 (1)当函数f(x)的图象关于点P(－1，3)成中心对称时，求a的值； (2)若函数f(x)在(－1，＋∞)上单调递减，求a的取值范围． 突破核心命题 5拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 突破核心命题 5拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 A．2　　 B．4　 C．6　　 D．8 D　 突破核心命题 5拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 从图象可知两函数共有8个交点，均关于点(1，0)成中心对称，即横坐标之和等于8. 突破核心命题 5拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 限时规范训练(十) 突破核心命题 5拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 11 1 2 B　 突破核心命题 5拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 2 1 2．(2024·六安一中段考)已知幂函数y＝(m2－3m＋3)xm＋1是奇函数，则实数m的值为(　　) A．1　　 B．2　 C．3　　 D．4 B　由题意m2－3m＋3＝1，∴m＝1或m＝2.当m＝1时，y＝x2不是奇函数，排除；当m＝2时，y＝x3是奇函数，满足题意．故选B． 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 11 B　 突破核心命题 5拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 2 3 1 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 11 A　 突破核心命题 5拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 2 3 4 1 4．已知函数f(x)＝x2－2(a－1)x＋a，若对于区间[－1，2]上的任意两个不相等的实数x1，x2，都有f(x1)≠f(x2)，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，0]　　　　 B．[0，3] C．(－∞，0]∪[3，＋∞)　　 D．[3，＋∞) 5 6 7 8 9 10 12 13 14 11 C　 突破核心命题 5拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 11 1 C　二次函数f(x)＝x2－2(a－1)x＋a图象的对称轴为直线x＝a－1， ∵对于任意x1，x2∈[－1，2]且x1≠x2，都有f(x1)≠f(x2)， 即f(x)在区间[－1，2]上是单调函数， ∴a－1≤－1或a－1≥2， ∴a≤0或a≥3，即实数a的取值范围为(－∞，0]∪[3，＋∞)． 突破核心命题 5拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 2 3 4 5 1 6 7 8 9 10 12 13 14 11 ABC　 突破核心命题 5拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 2 3 4 5 1 6 7 8 9 10 12 13 14 11 突破核心命题 5拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 2 3 4 5 6 1 6．(多选)在同一平面直角坐标系中，函数f(x)＝ax2＋x＋1和函数g(x)＝ax＋1的图象可能是(　　　) 7 8 9 10 12 13 14 11 ABD　 突破核心命题 5拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 12 13 14 11 ABD　若a＝0，则f(x)＝x＋1，g(x)＝1，A正确； 若a＜0，则f(x)的图象开口向下，过点(0，1)， 突破核心命题 5拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 12 13 14 11 突破核心命题 5拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 12 13 14 11 突破核心命题 5拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 7 8 9 10 12 13 14 11 1 3 4 5 6 2 突破核心命题 5拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 8 答案：f(x)＝x2＋x＋11 9 10 12 13 14 11 1 3 4 5 6 7 2 突破核心命题 5拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 9 10 12 13 14 11 1 3 4 5 6 7 8 2 突破核心命题 5拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 9 10 12 13 14 11 1 3 4 5 6 7 8 2 答案：3 突破核心命题 5拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 10 (1)求f(x)的解析式； (2)若函数g(x)＝f(x)－2(a－1)x＋1在区间[0，4]上的最大值为9，求实数a的值． 12 13 14 11 1 3 4 5 6 7 8 9 2 突破核心命题 5拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 10 12 13 14 11 1 3 4 5 6 7 8 9 2 突破核心命题 5拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 (2)由(1)得，g(x)＝f(x)－2(a－1)x＋1＝x2－2(a－1)x＋1. 函数的对称轴为x＝a－1，开口向上，f(0)＝1，f(4)＝17－8(a－1)， 由题意得，在区间[0，4]上，f(x)max＝f(4)＝17－8(a－1)＝9，解得a＝2，经检验a＝2符合题意，所以实数a的值为2. 10 12 13 14 11 1 3 4 5 6 7 8 9 2 突破核心命题 5拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 11 11．已知a∈R，函数f(x)＝x2－2ax＋5. (1)若a＞1，且函数f(x)的定义域和值域均为[1，a]，求实数a的值； 12 13 14 1 3 4 5 6 7 8 9 10 2 突破核心命题 5拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 11 12 13 14 1 3 4 5 6 7 8 9 10 2 突破核心命题 5拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 12 B级　能力提升练 12．已知幂函数y＝xa与y＝xb的部分图象如图所示，直线x＝m2，x＝m(0＜m＜1)与y＝xa，y＝xb的图象分别交于A，B，C，D四点，且|AB|＝|CD|，则ma＋mb等于(　　) 13 14 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2 B　 突破核心命题 5拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 12 13 14 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2 B　由题意，|AB|＝|(m2)a－(m2)b|，|CD|＝|ma－mb|，根据图象可知b＞1＞a＞0，当0＜m＜1时，(m2)a＞(m2)b，ma＞mb，因为|AB|＝|CD|，所以m2a－m2b＝(ma＋mb)·(ma－mb)＝ma－mb，因为ma－mb＞0，所以ma＋mb＝1. 突破核心命题 5拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 13．设关于x的方程x2－2mx＋2－m＝0(m∈R)的两个实数根分别是α，β，则α2＋β2＋5的最小值为________． 13 14 1 3 4 5 6 7 8 9 10 12 11 2 突破核心命题 5拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 13 14 1 3 4 5 6 7 8 9 10 12 11 2 答案：7 突破核心命题 5拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 14 14．已知函数f(x)＝kx2＋(3＋k)x＋3，其中k为常数． (1)若f(2)＝3，求函数f(x)的表达式； (2)在(1)的条件下，设函数g(x)＝f(x)－mx，若g(x)在区间[－2，2]上是单调函数，求实数m的取值范围； (3)是否存在k使得函数f(x)在[－1，4]上的最大值是4？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由． 1 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 11 2 突破核心命题 5拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 14 1 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 11 2 突破核心命题 5拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 14 1 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 11 2 突破核心命题 5拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 14 1 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 11 2 突破核心命题 5拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 本部分内容讲解结束 按ESC键退出全屏播放 突破核心命题 5拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 $$