第2章 第2讲 函数的单调性与最大(小)值（PPT课件）-【高考领航】2025年高考数学大一轮复习

第2讲　函数的单调性与最大(小)值 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 　1.借助函数图象，会用数学符号语言表达函数的单调性、最值，理解实际意义.2.掌握函数单调性的简单应用． 考试要求 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 聚焦必备知识 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 1．函数的单调性 (1)单调函数的定义 知识梳理   单调递增 单调递减 定义 一般地，设函数f(x)的定义域为D，区间I⊆D，如果∀x1，x2∈I 当x1<x2时，都有____________，那么就称函数f(x)在区间I上单调递增．当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，称它是______函数 当x1<x2时，都有________________，那么就称函数f(x)在区间I上单调递减．当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，称它是______函数 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1   单调递增 单调递减 图象 描述   从左向右，图象________   从左向右，图象________ 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 (2)单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间I上____________或____________，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，_________叫做y＝f(x)的单调区间． 　　　　(1)有多个单调区间应分开写，不能用“∪”连接，也不能用“或”连接，只能用“逗号”或“和”连接．(2)“函数的单调区间是M”与“函数在区间N上单调”是两个不同的概念，显然N⊆M. 提醒 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 2．函数的最值 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，如果存在实数M满足： (1)∀x∈D，都有___________； (2)∃x0∈D，使得____________． 那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值． 类比函数y＝f(x)的最大值定义，只需把条件(1)变为_______________ _____________，则称M是函数y＝f(x)的最小值． 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 1．函数单调性的两个等价结论 设∀x1，x2∈I(x1≠x2)，则 常用结论 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 3．复合函数y＝f(g(x))的单调性与y＝f(u)和u＝g(x)的单调性有关．简记：“同增异减”． 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 1．思考辨析(在括号内打“ √”或“×”) (1)对于函数y＝f(x)，若f(1)<f(3)，则f(x)为增函数．(　　) (2)函数y＝f(x)在[1，＋∞)上单调递增，则函数的单调递增区间是[1，＋∞)．(　　) 夯基诊断 (4)闭区间上的单调函数的最值一定在区间端点取到．(　　) ×　 ×　 ×　 √ 　 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 2．回源教材 (1)(多选)下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递减的是(　　) AC　 C．y＝－x2－2x　　　　　　 D．y＝ex 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 答案：(－∞，－2)，(－2，－1) 由题意可知x2＋2x≠0，解得x≠0，且x≠－2， 所以函数f(x)的定义域为(－∞，－2)∪(－2，0)∪(0，＋∞)， 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 突破核心命题 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 例1　函数g(x)＝x·|x－1|＋1的单调递减区间为(　　) 考 点 一 函数的单调性(区间)的证明或判断 考向 1 求具体函数的单调区间 B　 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 例2　已知函数f(x)对任意的a，b∈R，都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)－1，且当x>0时，f(x)>1.求证：f(x)是R上的增函数． 证明：设x1，x2∈R，且x1<x2， 则x2－x1>0，即f(x2－x1)>1， 所以f(x2)－f(x1)＝f[(x2－x1)＋x1]－f(x1)＝f(x2－x1)＋f(x1)－1－f(x1)＝f(x2－x1)－1>0，所以f(x1)<f(x2)，所以f(x)是R上的增函数． 考向 2 证明函数的单调性 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 1．求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间． 2．(1)函数单调性的判断方法：①定义法；②图象法；③利用已知函数的单调性；④导数法． (2)函数y＝f(g(x))的单调性应根据外层函数y＝f(t)和内层函数t＝g(x)的单调性判断，遵循“同增异减”的原则． 反思感悟 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 训练1　(多选)下列函数在(0，＋∞)上单调递增的是(　　) A．y＝ex－e－x　　 B．y＝|x2－2x| AC　 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 AC　∵y＝ex与y＝－e－x为R上的增函数， ∴y＝ex－e－x为R上的增函数，故A正确； 由y＝|x2－2x|的图象(图略)知，B不正确； 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 所以，当a＞0时，f(x1)－f(x2)＞0， 即f(x1)＞f(x2)，f(x)在(－∞，1)上单调递减； 当a＜0时，f(x1)－f(x2)＜0， 即f(x1)＜f(x2)， f(x)在(－∞，1)上单调递增． 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 考 点 二 函数的最值 答案：8 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 法一：在同一坐标系中，作函数f(x)，g(x)的图象， 依题意，h(x)的图象为如图所示的实线部分． 易知点A(2，1)为图象的最高点，因此h(x)的最大值为h(2)＝1. 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 当0<x≤2时，h(x)＝log2x是增函数； 当x>2时，h(x)＝3－x是减函数， 因此h(x)在x＝2时取得最大值h(2)＝1.   答案：1 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 1．求函数最值的三种基本方法 (1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值． (2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值． (3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值． 2．对于较复杂函数，可运用导数，求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值． 反思感悟 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 答案：1 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 A．b>c>a　　 B．b>a>c C．c>b>a　　 D．c>a>b 考 点 三 函数单调性的应用 考向 1 比较函数值的大小 A　 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 A　由题意得f(x)＝f(2－x)，则函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，且f(x)在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减． 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 例5　已知函数f(x)＝ln x＋2x，若f(x2－4)<2，则实数x的取值范围是________． 因为函数f(x)＝ln x＋2x在定义域(0，＋∞)上单调递增，且f(1)＝ln 1＋2＝2， 所以由f(x2－4)<2，得f(x2－4)<f(1)， 所以0<x2－4<1， 考向 2 解函数不等式 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 考向 3 求参数的取值范围 B　 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 若f(x)在R上单调递减， 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 1．比较函数值的大小时，转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决． 2．求解与抽象函数有关的不等式问题时，由条件脱去“f”，转化为自变量间的大小关系，应注意函数的定义域． 3．利用单调性求参数的取值(范围)．根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组))或先得到其图象的升降，再结合图象求解．对于分段函数，要注意衔接点的取值． 反思感悟 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 A．a>b>c　　 B．a>c>b C．c>a>b　　 D．c>b>a D　 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 (2)(2023·新课标Ⅰ卷)设函数f(x)＝2x(x－a)在区间(0，1)上单调递减，则a的取值范围是(　　) A．(－∞，－2]　　 B．[－2，0) C．(0，2]　　 D．[2，＋∞) D　 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 答案：(0，1) 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 限时规范训练(七) 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 A级　基础落实练 1．(2023·北京卷)下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递增的是 (　　) 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 11 1 2 C　 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 11 1 2 C　对于A，因为y＝ln x在(0，＋∞)上单调递增，y＝－x在(0，＋∞)上单调递减，所以f(x)＝－ln x在(0，＋∞)上单调递减，故A错误； 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 11 1 2 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 2 1 2．函数f(x)＝－|x－2|的单调递减区间为(　　) A．(－∞，2]　　 B．[2，＋∞) C．[0，2]　　 D．[0，＋∞) 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 11 B　 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 2 3 1 A．(－∞，3]　　 B．(2，3) C．(2，3]　　 D．[3，＋∞) 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 11 C　 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 2 3 4 1 4．已知函数f(x)在R上是递减函数，a，b∈R且a＋b<0，则有(　　) A．f(a)＋f(b)<0 B．f(a)＋f(b)>0 C．f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b) D．f(a)＋f(b)>f(－a)＋f(－b) 5 6 7 8 9 10 12 13 14 11 D　 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 11 1 D　∵f(x)是减函数，a＋b<0， ∴a<－b，b<－a， ∴f(a)>f(－b)，f(b)>f(－a)，f(a)＋f(b)>f(－a)＋f(－b)，故选D． 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 2 3 4 5 1 5．(多选)已知函数f(x)＝loga|x－1|在区间(－∞，1)上单调递增，则 (　　) A．0<a<1 B．a>1 C．f(a＋2022)>f(2023) D．f(a＋2022)<f(2023) 6 7 8 9 10 12 13 14 11 AC　 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 2 3 4 5 1 6 7 8 9 10 12 13 14 11 AC　f(x)＝loga|x－1|的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)． 设z＝|x－1|，可得函数z在(－∞，1)上单调递减；在(1，＋∞)上单调递增， 由题意可得0<a<1，故A正确，B错误； 由于0<a<1，可得2022<a＋2022<2023. 又f(x)在(1，＋∞)上单调递减， 则f(a＋2022)>f(2023)，故C正确，D错误． 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 2 3 4 5 6 1 A．a<b<c B．a<c<b C．c<b<a D．a，b，c的大小关系不能确定 7 8 9 10 12 13 14 11 A　 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 7 7．函数f(x)＝x2－6|x|＋8的单调递减区间是________． 8 9 10 12 13 14 11 1 3 4 5 6 2 答案：(－∞，－3]，[0，3] 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 8 9 10 12 13 14 11 1 3 4 5 6 7 2 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 9 9．设f(x)是定义在R上的增函数，且f(xy)＝f(x)＋f(y)，f(3)＝1，则不等式f(x)＋f(－2)>1的解集为________． 10 12 13 14 11 1 3 4 5 6 7 8 2 由已知条件可得f(x)＋f(－2)＝f(－2x)， 又f(3)＝1，∴不等式f(x)＋f(－2)>1可化为f(－2x)>f(3)． ∵f(x)是定义在R上的增函数， 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 10 (1)求证：f(x)在(0，＋∞)上是增函数； (2)若f(x)在[1，3]上的最大值是最小值的2倍，求a的值． 12 13 14 11 1 3 4 5 6 7 8 9 2 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 从而f(x1)－f(x2)<0，则f(x1)<f(x2)， 故函数f(x)在区间(0，＋∞)上是增函数． (2)由(1)知f(x)在[1，3]上单调递增． 依题意f(3)＝2f(1)． 10 12 13 14 11 1 3 4 5 6 7 8 9 2 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 11 11．已知函数f(x)＝|x|(x－2)． (1)作出函数f(x)的图象； (2)写出函数f(x)的单调区间； (3)当x∈[0，1]时，求f(x)的值域． 12 13 14 1 3 4 5 6 7 8 9 10 2 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 (2)由图可得：函数的单调增区间为(－∞，0)，[1，＋∞)，单调减区间为[0，1)． (3)因为函数在x∈[0，1]上递减，所以f(x)max＝f(0)＝0，f(x)min＝f(1)＝－1，所以f(x)的值域为[－1，0]． 11 12 13 14 1 3 4 5 6 7 8 9 10 2 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 12 A．y＝f(x)＋x是增函数 B．y＝f(x)＋x是减函数 C．y＝f(x)是增函数 D．y＝f(x)是减函数 13 14 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2 A　 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 12 13 14 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 13．若函数f(x)＝ln (ax－2)在(1，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围为(　　) A．(0，＋∞)　　 B．(2，＋∞) C．(0，2]　　 D．[2，＋∞) 13 14 1 3 4 5 6 7 8 9 10 12 11 2 D　 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 13 14 1 3 4 5 6 7 8 9 10 12 11 2 D　 在函数f(x)＝ln (ax－2)中，令u＝ax－2， 函数y＝ln u在(0，＋∞)上单调递增， 而函数f(x)＝ln (ax－2)在(1，＋∞)上单调递增， 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 14 14．已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f(x)单调递增，f(1)＝0，f(3)＝1. (1)解不等式0<f(x2－1)<1； (2)若f(x)≤m2－2am＋1对所有x∈(0，3]，a∈[－1，1]恒成立，求实数m的取值范围． 1 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 11 2 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 (2)因为函数f(x)在(0，3]上单调递增， 所以f(x)在(0，3]上的最大值为f(3)＝1， 所以不等式f(x)≤m2－2am＋1对所有x∈(0，3]，a∈[－1，1]恒成立转化为1≤m2－2am＋1对所有a∈[－1，1]恒成立，即m2－2am≥0对所有a∈[－1，1]恒成立． 设g(a)＝－2ma＋m2，a∈[－1，1]， 14 1 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 11 2 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 本部分内容讲解结束 按ESC键退出全屏播放 突破核心命题 限时规范训练 聚焦必备知识 1 $$