第2章 第1讲 函数的概念及其表示（PPT课件）-【高考领航】2025年高考数学大一轮复习

第1讲　函数的概念及其表示 第二章　函数 突破核心命题 3拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 　1.了解函数的含义.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.3.了解简单的分段函数，并会简单的应用． 考试要求 突破核心命题 3拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 聚焦必备知识 突破核心命题 3拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 1．函数的概念 一般地，设A，B是非空的__________，如果对于集合A中的________一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有____________的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A． 函数的三要素：__________、________、对应关系． 2．同一个函数 (1)前提条件：①定义域________；②对应关系________． (2)结论：这两个函数为同一个函数． 知识梳理 突破核心命题 3拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 3．函数的表示法 表示函数的常用方法有__________、__________和图象法． 4．分段函数 (1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数． (2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的________． 突破核心命题 3拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 1．直线x＝a(a是常数)与函数y＝f(x)的图象至多有1个交点． 2．注意以下几类函数的定义域： (1)分式型函数，定义域为分母不为零的实数集合． (2)偶次方根型函数，定义域为被开方式非负的实数集合． (3)f(x)为对数式时，函数的定义域是真数为正数、底数为正且不为1的实数集合． (4)若f(x)＝x0，则定义域为{x|x≠0}． (5)正切函数y＝tan x的定义域为 常用结论 突破核心命题 3拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 1．思考辨析(在括号内打“ √”或“×”) (1)函数y＝1与y＝x0是同一个函数．(　　) (2)对于函数f：A→B，其值域是集合B．(　　) (3)若A＝B＝R，f：x→y＝log2x，其对应是从A到B的函数(　　) (4)若两个函数的定义域与值域分别相同，则这两个函数是同一个函数．(　　) 夯基诊断 ×　 ×　 ×　 ×　 突破核心命题 3拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 2．回源教材 (1)下列函数中与函数y＝x是同一个函数的是(　　) B　 突破核心命题 3拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 突破核心命题 3拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 答案：[－1，2)∪(2，3] 突破核心命题 3拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 突破核心命题 突破核心命题 3拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 1．(多选)下列对应关系是集合A到集合B的函数的为(　　) A．A＝R，B＝{y|y＞0}，f：x→y＝|x| B．A＝Z，B＝Z，f：x→y＝x2 考 点 一 函数的概念 BD　 D．A＝{－1，1}，B＝{0}，f：x→y＝0 突破核心命题 3拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 BD　对于A，A中有元素0，在对应关系下y＝0，不在集合B中，不是函数； 对于B，符合函数的定义，是从A到B的函数； 对于C，A中元素x＜0时，B中没有元素与之对应，不是函数； 对于D，A中任意元素，在对应关系下y＝0，在集合B中，是从A到B的函数．故选BD． 突破核心命题 3拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 2．(多选)下列各组函数是同一个函数的为(　　) A．f(x)＝x2－2x－1，g(s)＝s2－2s－1 AC　 AC　同一个函数需满足：①定义域相同；②对应关系相同，只有A、C满足． 突破核心命题 3拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 3．若函数y＝f(x)的定义域为M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2}, 则函数y＝f(x)的图象可能是(　　) B　 B　A中函数定义域不是[－2，2]； C中图象不表示函数； D中函数值域不是[0，2]，只有B可能． 突破核心命题 3拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 函数概念的判定方法 (1)函数的定义要求非空数集A中的任何一个元素在非空数集B中有且只有一个元素与之对应，即可以“多对一”，不能“一对多”，但B中有可能存在与A中元素不对应的元素． (2)构成函数的三要素中，定义域和对应关系相同，则值域一定相同． 反思感悟 突破核心命题 3拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 A．(－1，2)　　 B．(－1，2] C．(1，2)　　 D．(1，2] 考 点 二 函数的定义域 A　 突破核心命题 3拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 (2)已知f(x2－1)的定义域为[0，3]，则f(2x－1)的定义域是(　　) B　 突破核心命题 3拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 函数定义域的求解方法 (1)求给定解析式的函数的定义域，其实质就是以函数解析式中所含式子(运算)有意义为准则，列出不等式或不等式组求解；对于实际问题，定义域应使实际问题有意义． (2)求抽象函数定义域的方法： ①若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f[g(x)]的定义域可由不等式a≤g(x)≤b求出． ②若已知函数f[g(x)]的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]上的值域． 反思感悟 突破核心命题 3拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 A．(－∞，－2]∪[3，＋∞) B．[－3，1)∪(1，2] C．[－2，1)∪(1，3] D．(－2，1)∪(1，3) C　 突破核心命题 3拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 A．(2，3]　　 B．(－2，3] C．[－2，3]　　 D．(0，3] A　 突破核心命题 3拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 例2　(1)已知f(1－sin x)＝cos2 x，求f(x)的解析式； 考 点 三 函数的解析式 (3)已知f(x)是一次函数且3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，求f(x)的解析式； (4)已知f(x)满足2f(x)＋f(－x)＝3x，求f(x)的解析式． 突破核心命题 3拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 解：(1)(换元法) 设1－sin x＝t，t∈[0，2]， 则sin x＝1－t，∵f(1－sin x)＝cos2 x＝1－sin2 x， ∴f(t)＝1－(1－t)2＝2t－t2，t∈[0，2]． 即f(x)＝2x－x2，x∈[0，2]． 突破核心命题 3拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 (3)(待定系数法) ∵f(x)是一次函数，可设f(x)＝ax＋b(a≠0)． ∴3[a(x＋1)＋b]－2[a(x－1)＋b]＝2x＋17. 即ax＋(5a＋b)＝2x＋17， 突破核心命题 3拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 (4)(解方程组法) ∵2f(x)＋f(－x)＝3x，　① ∴将x用－x替换，得2f(－x)＋f(x)＝－3x，　② 由①②解得f(x)＝3x. 突破核心命题 3拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 函数解析式的求法 (1)配凑法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达方式． (2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法． (3)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围． 反思感悟 突破核心命题 3拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 答案：x2－4x＋3(x≥1) 突破核心命题 3拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 (2)若对任意实数x，均有f(x)－2f(－x)＝9x＋2，则f(x)＝________． ∵f(x)－2f(－x)＝9x＋2，　① ∴f(－x)－2f(x)＝9(－x)＋2，　② 由①＋2×②得－3f(x)＝－9x＋6， ∴f(x)＝3x－2(x∈R)． 答案：3x－2 突破核心命题 3拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 (3)已知f[f(x)]＝4x＋9，且f(x)为一次函数，则f(x)＝________． 因为f(x)为一次函数，所以设f(x)＝kx＋b(k≠0)， 所以f[f(x)]＝f(kx＋b)＝k(kx＋b)＋b＝k2x＋b(k＋1)， 因为f[f(x)]＝4x＋9，所以k2x＋b(k＋1)＝4x＋9恒成立， 答案：2x＋3或－2x－9 突破核心命题 3拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 答案：1 考 点 四 分段函数 考向 1 求分段函数的函数值 突破核心命题 3拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 考向 2 分段函数与方程、不等式 B　 突破核心命题 3拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 B　令f(a)＝t，则f(t)＝t－2. 当t≤0时，t2＋2t＝t－2，则t2＋t＋2＝0，无解； 当t＞0时，－t2＝t－2，∴t＝1，∴f(a)＝1， 突破核心命题 3拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 D　 突破核心命题 3拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 突破核心命题 3拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 分段函数求值问题的解题思路 (1)求函数值：当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值． (2)求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验． 反思感悟 突破核心命题 3拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 C　 C　f(26)＝log5(26－1)＝log525＝2，∴f(f(26))＝f(2)＝e2－2＝e0＝1. 突破核心命题 3拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 突破核心命题 3拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 突破核心命题 3拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 拓展提能3　函数的值域 突破核心命题 3拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 求函数值域的一般方法： (1)分离常数法；(2)反解法；(3)配方法；(4)不等式法；(5)单调性法；(6)换元法；(7)数形结合法；(8)导数法． 突破核心命题 3拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 典例　求下列函数的值域： (1)y＝x2－2x＋3，x∈[0，3)； 突破核心命题 3拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 解：(1)(配方法) y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2， 由x∈[0，3)，再结合函数的图象(如图①所示)， 可得函数的值域为[2，6)． 突破核心命题 3拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 突破核心命题 3拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 突破核心命题 3拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 答案：(－∞，1)∪(1，＋∞) 突破核心命题 3拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 突破核心命题 3拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 限时规范训练(六) 突破核心命题 3拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 A级　基础落实练 1．(多选)(2024·宁德高级中学第一次月考)下列函数中，与函数y＝x＋2是同一个函数的是(　　) 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 1 2 BD　 突破核心命题 3拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 1 2 BD　函数y＝x＋2的定义域为R. 突破核心命题 3拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 2 1 A．(2，＋∞)　　 B．(2，3) C．(3，＋∞)　　 D．(2，3)∪(3，＋∞) 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 D　 突破核心命题 3拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 2 3 1 3．(多选)如图所示，可以表示y是x的函数的图象是(　　　) 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 ACD　 突破核心命题 3拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 2 3 1 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 ACD　对于B：对每一个x的值，不是有唯一确定的y值与之对应，不是函数图象；对于A、C、D：对每一个x的值，都有唯一确定的y值与之对应，是函数图象．故选ACD． 突破核心命题 3拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 2 3 4 1 (　　) A．4　　 B．8　 C．16　　 D．32 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 C　 C　f(－2)＝f(0)＝f(2)＝22＝4，f(4)＝16，故选C． 突破核心命题 3拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 2 3 4 5 1 5．一次函数f(x)满足：f[f(x)－2x]＝3，则f(1)＝(　　) A．1　　 B．2　 C．3　　 D．5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 C　 突破核心命题 3拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 2 3 4 5 6 1 6．(2024·潍坊模拟)存在函数f(x)满足：对任意x∈R都有(　　) A．f(|x|)＝x3　　 B．f(sin x)＝x2 C．f(x2＋2x)＝|x|　　 D．f(|x|)＝x2＋1 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 D　 D　对于A，当x＝1时，f(|1|)＝f(1)＝1；当x＝－1时，f(|－1|)＝f(1)＝－1，不符合函数定义(一个自变量的值只有唯一一个函数值与之对应)，A错误． 对于B，令x＝0，则f(sin x)＝f(0)＝0， 令x＝π，则f(sin π)＝f(0)＝π2，不符合函数定义，B错误． 突破核心命题 3拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 对于C，令x＝0，则f(0)＝0，令x＝－2，则f(0)＝f((－2)2＋2×(－2))＝2，不符合函数定义，C错误． 对于D，f(|x|)＝x2＋1＝|x|2＋1，x∈R，则|x|≥0，则存在x≥0时，f(x)＝x2＋1， 符合函数定义，即存在函数f(x)＝x2＋1(x≥0)满足：对任意x∈R都有f(|x|)＝x2＋1，D正确．故选D． 突破核心命题 3拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 7 A．0　　 B．1　 C．2　　 D．4 8 9 10 12 13 14 15 16 11 1 3 4 5 6 2 D　 突破核心命题 3拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 1 3 4 5 6 2 D　因为当x＞0时，f(x)＝f(x－1)－f(x－2)，所以f(x＋1)＝f(x)－f(x－1)， 突破核心命题 3拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 8 A．[－2，5]　　 B．(－2，3] C．[－1，3]　　 D．(－2，5] 9 10 12 13 14 15 16 11 1 3 4 5 6 7 2 D　 突破核心命题 3拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 8 9 10 12 13 14 15 16 11 1 3 4 5 6 7 2 突破核心命题 3拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 9 9．已知函数f(2x＋1)＝4x2－1，则f(x)＝________． 10 12 13 14 15 16 11 1 3 4 5 6 7 8 2 f(2x＋1)＝(2x＋1)2－2(2x＋1)，所以f(x)＝x2－2x. 答案：x2－2x 突破核心命题 3拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 10 12 13 14 15 16 11 1 3 4 5 6 7 8 9 2 当x≤－2时，f(x＋2)＝1，f(2x)＝1，则1＜1，矛盾； 当－2＜x≤0时，f(x＋2)＝2x＋2，f(2x)＝1，则2x＋2＜1⇒x＜－2，矛盾； 当x＞0时，f(x＋2)＝2x＋2，f(2x)＝22x，则2x＋2＜22x⇒x＋2＜2x⇒x＞2，所以x＞2. 综述：x取值范围为(2，＋∞)． 答案：(2，＋∞) 突破核心命题 3拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 11 12 13 14 15 16 1 3 4 5 6 7 8 9 10 2 突破核心命题 3拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 12 13 14 15 16 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2 突破核心命题 3拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 B级　能力提升练 13．(2024·东北师大附中模拟)已知函数f(x)满足2f(x)＋f(－x)＝3x2＋2x＋6，则(　　) 13 14 15 16 1 3 4 5 6 7 8 9 10 12 11 2 B　 突破核心命题 3拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 13 14 15 16 1 3 4 5 6 7 8 9 10 12 11 2 突破核心命题 3拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 14 15 16 1 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 11 2 D　 突破核心命题 3拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 14 15 16 1 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 11 2 突破核心命题 3拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 14 15 16 1 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 11 2 在f(x＋y)＝2f(x)f(y)中， 令y＝x，得f(2x)＝2[f(x)]2， 即函数取值非负， 令y＝a－x，得f(a)＝2[f(x)]2， 突破核心命题 3拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 15 当a≥1时，2a≥2， ∴f(f(a))＝f(2a)＝22a＝2f(a)恒成立； 当a＜1时，f(f(a))＝f(－a＋λ)＝2f(a)＝2λ－a， ∴λ－a≥1，即λ≥a＋1恒成立， 由题意λ≥(a＋1)max，∴λ≥2， 综上，λ的取值范围是[2，＋∞)． 答案：[2，＋∞) 16 1 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 11 2 突破核心命题 3拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 16 1 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 11 2 突破核心命题 3拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 16 1 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 11 2 突破核心命题 3拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 16 1 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 11 2 突破核心命题 3拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 本部分内容讲解结束 按ESC键退出全屏播放 突破核心命题 3拓展提能 限时规范训练 聚焦必备知识 1 $$