精品解析：黑龙江省哈尔滨市巴彦县华山乡中学2023-2024学年九年级上学期期中数学模拟试题A

2023-2024学年度九年级上期中模拟测试题A（人教版） 数学试卷 考生须知： 1、本试卷满分为120分，考试时间为120分钟． 2、答题前，考生先将自己的“姓名”、“考号”、“考场”、“座位号”在答题卡上填写清楚，将“条形码”准确粘贴在条形码区域内． 3、请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题纸上答题无效． 4、选择题必须使用2B 铅笔填涂：非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 5、保持卡面整洁，不要折叠、不要弄脏、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀． 第I卷 一、单选题（共30分，每题3分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 二次函数的顶点坐标是（　　） A B. C. D. 3. 平面直角坐标系内一点关于原点对称的点的坐标是（ ） A B. C. D. 4. 通过平移的图象，可得到的图象，下列平移方法正确的是（ ） A. 向左移动1个单位，向上移动3个单位 B. 向右移动1个单位，向上移动3个单位 C. 向左移动1个单位，向下移动3个单位 D. 向右移动1个单位，向下移动3个单位 5. 如果关于的方程有实数根，则实数的取值范围（ ） A. B. C. D. 6. 某商品原价200元，连续两次降价后售价为148元，下列所列方程正确是（    ） A. B. C. D. 7. 流行性感冒传染迅速，若有一人感染，经过两轮传染后共有100人患病，设每轮传染中平均一人传染了x人，可列出的方程是（　　） A. B. C. D. 8. 某工厂一月份生产机器100台，计划三月份生产机器225台，设二、三月份的平均增长率为x，则根据题意列出方程是（ ） A. B. C. D. 9. 已知抛物线和直线在同一坐标系内的图象如图，其中正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 二次函数的图像如图所示，下列结论①；②；③；④，其中正确结论的是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 第II卷 二、填空题（共30分，每题3分） 11. 若关于x的方程是一元二次方程，则_________． 12. 已知一元二次方程有一个根为2，则m值为______． 13. 抛物线的对称轴是______． 14. 已知点、在二次函数的图像上，则______（＞或＜或＝）． 15. 如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，则关于的方程的解是__________． 16. 一元二次方程有两个相等实数根，则_________． 17. 如图，利用一面墙（墙长度不超过45m），另三边用80m长的篱笆围一个面积为的矩形场地，则矩形的长是______，宽是______． 18. 如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m．水面上升1.5m，水面宽度为_____m． 19. 如图，在中，，点P从点A开始沿向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿向点C以的速度移动．如果P，Q分别同时出发，当的面积最大时，运动时间t为______s． 20. 如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上运动，过点作轴于点，以为对角线作矩形，连结，则对角线的最小值为_______． 三、解答题（共60分，21，22每题7分，23，24每题8分，25，26，27，每题10分） 21. 解下列方程： （1） （2） 22 解下列方程： （1） （2） 23. 如图，在平面直角坐标系xOy中，A（﹣1，5），B（﹣1，0），C（﹣4，3）． （1）请画出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′； （2）直接写出A′，B′，C′三点的坐标：A′（　 　），B′（　 　），C′（　 　） （3）计算△ABC的面积． 24. 某学校九年级的一场篮球比赛中，如图队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高m，与篮圈中心的水平距离为7m，当球出手后水平距离为4m时到达最大高度4m，设篮球运行轨迹为抛物线，篮圈距地面3m． （1）建立如图所示的平面直角坐标系，问此球能否准确投中？ （2）此时，若对方队员乙在甲前1m处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为m，那么他能否获得成功？请说明理由． 25. 杭州亚运会的三个吉祥物“琮琮”“宸宸”“莲莲”组合名为“江南忆”，出自唐朝诗人白居易的名句“江南忆，最忆是杭州”，它融合了杭州的历史人文、自然生态和创新基因．吉祥物一开售，就深受大家的喜爱．某商店以每件32元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件60的价格出售．经统计，四月份的销售量为256件，六月份的销售量为400件． （1）求该款吉祥物四月份到六月份销售量的月平均增长率； （2）经市场预测，七月份的销售量将与六月份持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式，调查发现，该吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件，当该吉祥物售价为多少元时，月销售利润达10800元？ 26. 如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A在y轴上，点B在x轴上，，． （1）直接写出点A、B的坐标；A 、B ； （2）若点C从O点出发，沿射线运动，速度为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，连接．求的面积S与时间t的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围． （3）加图3，在（2）的条件下，点C在线段上且时，点E在的延长线上，点D在的延长线上，，连接，．点F在上，点G在x轴负半轴上，点C是的中点．过点F作轴，点P在第一象限，连接，当，时，第一象限内存在一点Q，使四边形成为平行四边形，求出点Q的坐标． 27. 如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知，． （1）求抛物线的表达式； （2）点E是线段上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，的面积最大？求出的最大面积及此时E点的坐标； （3）在坐标平面内是否存在点P，使得以A，C，D，P为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年度九年级上期中模拟测试题A（人教版） 数学试卷 考生须知： 1、本试卷满分为120分，考试时间为120分钟． 2、答题前，考生先将自己的“姓名”、“考号”、“考场”、“座位号”在答题卡上填写清楚，将“条形码”准确粘贴在条形码区域内． 3、请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题纸上答题无效． 4、选择题必须使用2B 铅笔填涂：非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 5、保持卡面整洁，不要折叠、不要弄脏、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀． 第I卷 一、单选题（共30分，每题3分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，通过化简后，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程，叫做一元二次方程，根据一元二次方程的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、不是一元二次方程，故不符合题意； B、是一元二次方程，故符合题意； C、不是一元二次方程，故不符合题意； D、不是一元二次方程，故不符合题意； 故选：B． 2. 二次函数的顶点坐标是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，直接根据二次函数的顶点式进行解答即可． 【详解】解：二次函数的顶点坐标是． 故选：D 3. 平面直角坐标系内一点关于原点对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标的特征，熟记特征是解题的关键． 根据关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数解答． 【详解】点关于原点对称的点的坐标是． 故选：B． 4. 通过平移的图象，可得到的图象，下列平移方法正确的是（ ） A. 向左移动1个单位，向上移动3个单位 B. 向右移动1个单位，向上移动3个单位 C. 向左移动1个单位，向下移动3个单位 D. 向右移动1个单位，向下移动3个单位 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象的平移，根据平移的规律可求解，熟记：“自变量加减左右移，函数值加减上下移”是解题的关键． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为：， 抛物线的顶点坐标为：， 的图象先向右平移1个单位，再向上平移3个单位得， 故选B． 5. 如果关于的方程有实数根，则实数的取值范围（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式，牢记“当时，方程有两个实数根”是解题的关键． 根据方程的系数结合根的判别式，可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围． 【详解】解：关于的方程有实数根， ， 解得：． 故选：C． 6. 某商品原价200元，连续两次降价后售价为148元，下列所列方程正确的是（    ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据原价及经两次降价后的价格，即可得出关于a的一元二次方程，此题得解．本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】由题意得： 故选：B． 7. 流行性感冒传染迅速，若有一人感染，经过两轮传染后共有100人患病，设每轮传染中平均一人传染了x人，可列出的方程是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用（传播问题），先设每轮传染中平均一人传染了x人，再根据“经过两轮传染后共有100人患病”，进行列式，即可作答． 【详解】解：∵设每轮传染中平均一人传染了x人，经过两轮传染后共有100人患病， ∴， 故选：A． 8. 某工厂一月份生产机器100台，计划三月份生产机器225台，设二、三月份的平均增长率为x，则根据题意列出方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设二、三月份的平均增长率为x，则二月份生产机器台，三月份生产机器台，据此列出方程即可． 【详解】解：设二、三月份的平均增长率为x， 由题意得，， 故选：A． 9. 已知抛物线和直线在同一坐标系内的图象如图，其中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数、二次函数图像与系数的关系，解题的关键是能够根据函数图象判断解析式中系数的正负． 先由二次函数图像得到字母系数的正负，再与一次函数的图像相比较看是否一致，逐一判断即可． 【详解】解：A．∵二次函数图象的开口向下， ∴， ∵对称轴在y轴的右侧， ∴m、n异号， ∴， 此时直线应经过一、二、四象限，与图中一次函数图象不一致，故不符合题意； B．∵二次函数图象的开口向上， ∴， ∵对称轴在y轴的右侧， ∴m、n异号， ∴， 此时直线应经过一、三、四象限，与图中一次函数图象不一致，故不符合题意； C．∵二次函数图象的开口向下， ∴， ∵对称轴在y轴的右侧， ∴m、n异号， ∴， 此时直线应经过一、二、四象限，与图中一次函数图象不一致，故不符合题意； D．∵二次函数图象的开口向上， ∴， ∵对称轴在y轴的右侧， ∴m、n异号， ∴， 此时直线应经过一、三、四象限，与图中一次函数图象一致，符合题意． 故选D． 10. 二次函数的图像如图所示，下列结论①；②；③；④，其中正确结论的是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象与系数之间的关系，会利用对称轴的范围求与b的关系，根的判别式的熟练运用．由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所给结论进行判断． 【详解】解：由图知：抛物线与x轴有两个不同的交点， ∴，即，故①正确； ∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线的对称轴为， ∴， ∵抛物线交y轴于正半轴， ∴； ∴；故②错误； ∴，故③错误； ∵抛物线的对称轴为，当时，， ∴当时，，故④正确； 综上所述，正确的说法是：①④． 故选：B． 第II卷 二、填空题（共30分，每题3分） 11. 若关于x的方程是一元二次方程，则_________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义，根据一元二次方程中二次项系数不能为0、未知数的最高次数为2，即可求解． 【详解】解：由题意知， 解得， 故答案为：3． 12. 已知一元二次方程有一个根为2，则m值为______． 【答案】4 【解析】 【分析】把代入原方程，解方程即可． 【详解】解：一元二次方程有一个根为2， 所以，， 解得，， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，解题关键是明确方程解的意义，代入未知数的值求解． 13. 抛物线的对称轴是______． 【答案】直线 【解析】 【分析】根据抛物线的对称轴是直线即可确定． 【详解】解：∵抛物线的解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线， 故答案为：直线． 【点睛】本题考查二次函数的性质，解题的关键是掌握由抛物线的顶点坐标式写出抛物线的对称轴方程，比较容易． 14. 已知点、在二次函数的图像上，则______（＞或＜或＝）． 【答案】 【解析】 【分析】分别计算出自变量和对应的函数值即可得到与的大小关系． 【详解】解：∵点、在二次函数的图像上， ∴当时，， 当时，， ∵， ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征：二次函数图像上的点的坐标满足其解析式． 15. 如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，则关于的方程的解是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程之间的关系，熟知一次函数与二次函数的两个交点横坐标即为对应的一元二次方程的解是解题的关键． 【详解】解：​抛物线​与直线​的两个交点坐标分别为​， ​方程组​的解为​， 即关于​的方程​的解为​． 故答案为：​． 16. 一元二次方程有两个相等的实数根，则_________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，当一元二次方程有两个相等的实数根时，，由此可解． 【详解】解：， ， 该方程有两个相等的实数根， ， 解得， 故答案为：3． 17. 如图，利用一面墙（墙长度不超过45m），另三边用80m长的篱笆围一个面积为的矩形场地，则矩形的长是______，宽是______． 【答案】 ①. 30m##30米 ②. 25m##25米 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用．根据题意可以设平行于墙的一边长为xm，从而可以列出相应的方程解答本题． 【详解】解：设平行于墙的一边长为xm，则 ， 解得，， ∵墙的长度不超过45m， ∴不符合题意，舍去， ∴， ∴， 即矩形的平行于墙的一边长为30m，垂直于墙的一边长为25m时，矩形场地的面积为750m2． 故答案为：30m，25m． 18. 如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m．水面上升1.5m，水面宽度为_____m． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键，学会把实际问题转化为二次函数，利用二次函数的性质解决问题，属于中考常考题型．根据已知建立平面直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再通过把代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案． 【详解】解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过，纵轴y通过中点O且通过C点， 则：O为原点，，； 设函数解析式为，把A点坐标代入得， ∴抛物线解析式为， 当水面上升1.5米，通过抛物线在图上的观察可转化为： 当时，对应的抛物线上两点之间的距离， 把代入抛物线解析式得出：， 解得：， ∴此时的水面宽度为m 故答案为2． 19. 如图，在中，，点P从点A开始沿向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿向点C以的速度移动．如果P，Q分别同时出发，当的面积最大时，运动时间t为______s． 【答案】2 【解析】 【分析】求二次函数的最大(小)值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法，常用的是后两种方法，当二次系数的绝对值是较小的整数时，用配方法较好． 本题考查二次函数最大(小)值求法．先用含的代数式表示出、再根据三角形的面积公式计算． 【详解】解：根据题意得， 三角形面积为： ∴当时，的面积最大为， 故答案为：2． 20. 如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上运动，过点作轴于点，以为对角线作矩形，连结，则对角线的最小值为_______． 【答案】1 【解析】 【分析】先利用配方法得到抛物线的顶点坐标为（1，1），再根据矩形的性质得BD=AC，由于AC的长等于点A的纵坐标，所以当点A在抛物线的顶点时，点A到x轴的距离最小，最小值为1，从而得到BD的最小值． 【详解】∵y=x2-2x+2=（x-1）2+1， ∴抛物线的顶点坐标为（1，1）， ∵四边形ABCD为矩形， ∴BD=AC，AC⊥x轴， ∴AC的长等于点A的纵坐标， 当点A在抛物线的顶点时，点A到x轴的距离最小，最小值为1， ∴对角线BD的最小值为1． 故答案为：1． 三、解答题（共60分，21，22每题7分，23，24每题8分，25，26，27，每题10分） 21. 解下列方程： （1） （2） 【答案】（1），； （2） 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握用因式分解法解一元二次方程是解题的关键． （1）用因式分解法求解即可； （2）用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解： ， 或， ，； 【小问2详解】 解：， ， ． 22. 解下列方程： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程： （1）利用因式分解法解方程即可； （2）利用配方法解方程即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴或， 解得； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得． 23. 如图，在平面直角坐标系xOy中，A（﹣1，5），B（﹣1，0），C（﹣4，3）． （1）请画出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′； （2）直接写出A′，B′，C′三点的坐标：A′（　 　），B′（　 　），C′（　 　） （3）计算△ABC的面积． 【答案】（1）见解析；（2）A′（1，5），B′（1，0），C′（4，3）；（3）7.5 【解析】 【分析】（1）根据网格结构找出点A、B、C对应点A′、B′、C′的位置，然后顺次连接即可； （2）根据平面直角坐标系写出点的坐标即可； （3）利用三角形的面积公式列式进行计算即可求解． 【详解】解：（1）如图所示 （2）A′（　1，5　），B′（　1，0　），C′（　4，3　） （3）∵A（﹣1，5），B（﹣1，0），C（﹣4，3）， ∴AB＝5，AB边上的高为3，∴S△ABC＝． 【点睛】本题考查了利用轴对称变换作图，熟悉网格结构并找出对应点的位置是解题的关键． 24. 某学校九年级的一场篮球比赛中，如图队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高m，与篮圈中心的水平距离为7m，当球出手后水平距离为4m时到达最大高度4m，设篮球运行轨迹为抛物线，篮圈距地面3m． （1）建立如图所示的平面直角坐标系，问此球能否准确投中？ （2）此时，若对方队员乙在甲前1m处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为m，那么他能否获得成功？请说明理由． 【答案】（1）能够投中，理由见解析； （2）能够盖帽拦截成功，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用、待定系数法求二次函数解析式以及二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）观察函数图象找出点的坐标，利用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）代入求出值． （1）观察函数图象可知：抛物线经过点，顶点坐标是，篮圈中心的坐标是．设抛物线的解析式是，根据抛物线上点的坐标，利用待定系数法可求出抛物线的解析式，再利用二次函数图象上点的坐标特征验证篮圈中心点是否在抛物线上，此题得解； （2）代入求出值，由该值小于可得出盖帽拦截成功． 【小问1详解】 解：由题意可知，抛物线经过点，顶点坐标是，篮圈中心的坐标是． ∴可设抛物线的解析式是． 抛物线经过点， ， 解得：， 抛物线解析式为． 当时，， 篮圈的中心点在抛物线上， 能够投中． 【小问2详解】 当时，， 能够盖帽拦截成功． 25. 杭州亚运会的三个吉祥物“琮琮”“宸宸”“莲莲”组合名为“江南忆”，出自唐朝诗人白居易的名句“江南忆，最忆是杭州”，它融合了杭州的历史人文、自然生态和创新基因．吉祥物一开售，就深受大家的喜爱．某商店以每件32元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件60的价格出售．经统计，四月份的销售量为256件，六月份的销售量为400件． （1）求该款吉祥物四月份到六月份销售量的月平均增长率； （2）经市场预测，七月份的销售量将与六月份持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式，调查发现，该吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件，当该吉祥物售价为多少元时，月销售利润达10800元？ 【答案】（1）该款吉祥物四月份到六月份销售量的月平均增长率为； （2）该款吉祥物售价为50元时，月销售利润达10800元． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该款吉祥物四月份到6月份销售量的月平均增长率为，根据四月份的销售量为256件，六月份的销售量为400件．列出一元二次方程，解之取其正值即可； （2）设该吉祥物售价为元，则每件的销售利润为元，月销售量为件，根据月销售利润达10800元，列出一元二次方程，解之取满足题意的值即可． 【小问1详解】 解：设该款吉祥物四月份到六月份销售量的月平均增长率为，则六月份的销售量为， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：该款吉祥物四月份到六月份销售量的月平均增长率为； 【小问2详解】 解：设该吉祥物售价为元，则每件的销售利润为元，月销售量为（件， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：该款吉祥物售价为50元时，月销售利润达10800元． 26. 如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A在y轴上，点B在x轴上，，． （1）直接写出点A、B的坐标；A 、B ； （2）若点C从O点出发，沿射线运动，速度为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，连接．求的面积S与时间t的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围． （3）加图3，在（2）的条件下，点C在线段上且时，点E在的延长线上，点D在的延长线上，，连接，．点F在上，点G在x轴负半轴上，点C是的中点．过点F作轴，点P在第一象限，连接，当，时，第一象限内存在一点Q，使四边形成为平行四边形，求出点Q的坐标． 【答案】（1）， （2）； （3）． 【解析】 【分析】（1）利用三角形面积公式列式计算即可求解； （2）由题意得，再分和时，两种情况讨论，利用角形面积公式列式计算列式即可求解； （3）求得，作，使，证明，推出是等腰直角三角形，证明四边形是平行四边形，求得，得到，，设，利用已知求得，在中，利用勾股定理列式计算求得，再平行四边形的性质求解即可． 【小问1详解】 解：∵，，且， ∴， 解得， ∴点A、B的坐标分别为，， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：由题意得， 当时，； 当时，； 综上，； 小问3详解】 解：∵点C在线段上且， ∴，解得， ∴，即， 作，使，如图， 设， ∵，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，即是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴； ∴，， 设， ∴， ∵点C是的中点，则， ∴，， ∵， ∴， 解得， ∵，即， 在中，，即， 整理得， 解得（舍去），， ∴，， ∴，， ∵， ∵四边形成为平行四边形， ∵点是由点向右平移5个单位，向上平移3个单位得到， ∴将点向右平移5个单位，向上平移3个单位得到． 【点睛】本题考查了坐标与的性质，勾股定理，解一元二次方程，平行四边形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质．解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． 27. 如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知，． （1）求抛物线的表达式； （2）点E是线段上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，的面积最大？求出的最大面积及此时E点的坐标； （3）在坐标平面内是否存在点P，使得以A，C，D，P为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）有最大值为4，； （3）存在，P点的坐标为或或． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求得点B坐标，再求得直线的解析式，作轴于点H，设，则，利用坐标与图形得到，再利用二次函数的性质求解即可； （3）分、、为对角线三种情况讨论，利用中点坐标公式，结合坐标与图形求解即可． 【小问1详解】 解：由题意，将，代入， 得， 解得， ∴抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：令，则， ∴， 设直线的解析式为, 将B、C点坐标代入得，解得， ∴直线的解析式为， 设，轴于点H，则， ∴ ， ∴ ∵是关于x的二次函数，， ∴当时，有最大值为4， 此时； 【小问3详解】 解：解：由，可知对称轴为直线， ∴， ∵， 设P点的坐标为， ∵， 当为对角线时， ，， 解得，， ∴P点的坐标为； 当为对角线时， ，， 解得，， ∴P点的坐标为； 当为对角线时， ，， 解得，， ∴P点的坐标为； 综上，P点的坐标为或或． 【点睛】本题考查二次函数综合，涉及待定系数法求函数解析式、二次函数的性质、坐标与图形、三角形面积等知识，熟练掌握二次函数的性质，利用数形结合思想和分类讨论思想求解是解答的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$