重难点易错培优：倍数与因数(讲义)-2024-2025学年五年级上册数学北师大版

倍数与因数 【知识精讲+典型例题+高频真题+答案解析】目录导航 资料说明 第一部分：知识精讲：把握知识要点，掌握方法技巧，理解数学本质，提升数学思维。 第二部分：典型例题：选题典型、高频易错、考试母题，具有理解一题，掌握一类的优势。 第三部分：高频真题：精选近两年统考真题，助您学习有方向，做好题，达到事半功倍的效果。 第四部分：答案解析：重点、难点题精细化解析，犹如名师讲解，可以轻松理解。 第一部分 知识精讲 知识清单 方法技巧 1．奇数与偶数的初步认识 【知识点解释】 偶数：是2的倍数的数叫做偶数，又叫做双数，如：2、4、6、8等 奇数：不是2的倍数的数叫做奇数，又叫做单数，如：1、3、5、7等． 【知识点归纳】 奇数和偶数的性质： 奇数+奇数＝偶数，奇数﹣奇数＝偶数 奇数+偶数＝奇数，奇数﹣偶数＝奇数 奇数×奇数＝奇数，奇数×偶数＝偶数，偶数×偶数＝偶数 2．找一个数的因数的方法 【知识点归纳】 1．分解质因数．例如：24的质因数有：2、2、2、3，那么，24的因数就有：1、2、3、4、6、8、12、24． 2．找配对．例如：24＝1×24、2×12、3×8、4×6，那么，24的因数就有：1、24、2、12、3、8、4、6． 3．末尾是偶数的数就是2的倍数． 4．各个数位加起来能被3整除的数就是3的倍数．9的道理和3一样． 5．最后两位数能被4整除的数是4的倍数． 6．最后一位是5或0的数是5的倍数． 7．最后3位数能被8整除的数是8的倍数． 8．奇数位上数字之和与偶数位上数字之和的差能被11整除的数是11的倍数．注意：“0”可以被任何数整除． 3．找一个数的倍数的方法 【知识点归纳】 找一个数的倍数，直接把这个数分别乘以1、2、3、4、5、6…，一个数的倍数的个数是无限的． 1．末尾是偶数的数就是2的倍数． 2．各个数位加起来能被3整除的数就是3的倍数．9的道理和3一样． 3．最后两位数能被4整除的数是4的倍数． 4．最后一位是5或0的数是5的倍数． 5．最后3位数能被8整除的数是8的倍数． 6．奇数位上数字之和与偶数位上数字之和的差能被11整除的数是11的倍数．注意：“0”可以被任何数整除． 4．合数与质数的初步认识 【知识点解释】 合数：指自然数中除了能被1和本身整除外，还能被其他的数整除的数．“0”“1”既不是质数也不是合数． 质数：一个数只有1和它本身两个因数，这个数叫作质数（素数） 5．2的倍数特征 【知识点归纳】 （1）2 的倍数的特征：个位上是 0、2、4、6、8 的数，都是 2 的倍数。 （2）偶数与奇数： ①自然数中，是 2 的倍数的数叫做偶数（俗称双数），习惯用2n表示。；最小的偶数是 0。 ②不是 2 的倍数的数叫做奇数（俗称单数），习惯用2n﹣1表示；最小的奇数是 1。 【方法总结】 奇数+奇数＝偶数 偶数+偶数＝偶数 奇数+偶数＝奇数 6．5的倍数特征 【知识点归纳】 （1）5 的倍数的特征：个位上是 0 或 5 的数，都是 5 的倍数。 （2）如果一个数同时是 2 和 5 的倍数，那它的个位上的数字一定是 0。 【方法总结】 如果一个数是5的倍数，它的个位一定是0或5； 如果一个奇数是5的倍数，它的个位一定是5； 如果一个偶数是5的倍数，它的个位一定是0。 7．3的倍数特征 【知识点归纳】 3 的倍数的特征：一个数各位上的数的和是 3 的倍数，这个数就是 3 的倍数。 举例子：判断127是不是3的倍数，可以将它的各个数字相加，1+2+7＝10，10不是3的倍数，所以127不是3的倍数。 【方法总结】 1、3的倍数既有奇数，也有偶数； 每相邻的3个自然数中，就会有一个是3的倍数。 第二部分 典型例题 例题1：便民超市新运进365瓶无菌消毒洗手液，如果每2瓶装一提，能正好装完吗？如果每5瓶装一箱，能正好装完吗？为什么？ 【答案】见详解 【分析】根据2、5的倍数的特征，个位上是0、2、4、6、8的数都是2的倍数，个位上是0或5的数都是5的倍数。据此解答。 【详解】答：因为365不是2的倍数，所以每2瓶装一提，不能正好装完。因为365是5的倍数，所以每5瓶装一箱，能正好装完。 【点睛】此题考查的目的是理解掌握2、5的倍数的特征及应用。 付了5的倍数元，找回的钱数也应是5的倍数，即个位数应是0或5，所以找回13元不对。 【点睛】此题考查了5的倍数特征的实际运用。 例题2：妈妈在花店买了一些马蹄莲和郁金香。给了售货员100元，找回13元，你能帮妈妈判断一下找回的钱对不对吗？ 马蹄莲：10元/枝 郁金香：5元/枝 【答案】不对，应找回几十或几十五。 【分析】根据5的倍数的特征，一个数的个位是0或5，这个数就是5的倍数。据此分析解答。 【详解】根据5的倍数的特征可知找回13元不对。 因为马蹄莲和郁金香的单价分别是10元、5元，都是5的倍数，所以不论买几盆，总钱数也应是5的倍数，例题3：笑笑用一根24厘米长的铁丝围成一个长方形，这个长方形的长和宽刚好是整厘米数，且是两个质数，这个长方形的面积是多少平方厘米？ 【答案】35平方厘米 【分析】根据长方形周长公式：周长＝（长＋宽）×2，长＋宽＝周长÷2；24÷2＝12厘米；把12分成两个整厘米数，且是质数，12＝7＋5，即长是7厘米，宽是5厘米，根据长方形面积公式：面积＝长×宽，代入数据，即可解答。 【详解】24÷2＝12（厘米） 12＝7＋5；长是7厘米，宽是5厘米。 7×5＝35（平方厘米） 答：这个长方形的面积是35平方厘米。 【点睛】熟练掌握和灵活运用长方形周长公式、面积公式以及质数的意义是解答本题的关键。 例题4：有48名同学进行体操表演，表演时要排成长方形队列。可以怎样排？（要求：每行和每列均不得少于3人） 【答案】可以排3行，每行16人，或排16行，每行3人，或排4行，每行12人，或排12行，每行4人，或排6行，每行8人，或排8行，每行6人 【分析】本题其实是求48的几组因数：1与48，2与24，3与16，4与12，6与8，其中要求每行和每列均不得少于3人，则去掉1与48、2与24两组。 【详解】48＝3×16＝4×12＝6×8 答：可以排3行，每行16人，或排16行，每行3人，或排4行，每行12人，或排12行，每行4人，或排6行，每行8人，或排8行，每行6人。 【点睛】本题考查一个数的因数的应用，理解题意后按要求解答。 第三部分 高频真题 1．一块长方形菜地的长和宽均为质数，而且这块菜地的周长是36米，你知道这块长方形菜地的面积是多少平方米吗？ 2．2路公共汽车每5分发车一次，3路公共汽车每8分发车一次．7：10两车同时发车，至少再过多少分两车再次同时发车？ 3．用0，1，2，3，…，9这10个数字组成5个两位数，每个数字只用一次，要求它们的和是奇数并且尽可能大，这5个两位数的和是多少？ 4．一个数在100以内，并且比24的倍数多15，这个数最大是多少？ 5．星梅小学开展劳动实践活动，五（1）班的同学有一部分人负责种月季花，每人种的棵数相同。一年级有几位小朋友数了数五（1）班所种的月季花的棵数，如下表。 姜小丫 马子希 陶丹丹 涂欣欣 棵数 79 83 87 89 （1）其中只有一位小朋友数对了，哪位小朋友数对了？请说明理由。 （2）从上面信息请推算出五（1）班种月季花的有多少人？平均每人种几棵？ 6．体育课上，老师让60名学生分组做游戏，要求每组人数相同，且每组不多于15名学生，不少于8名学生，有几种分法？ 7．从小到大写出5个质数，使后面数都比前面的数大12。这样的数有几组？ 8．工人师傅3小时加工零件114个，照这样计算，7.5小时加工零件多少个？ 9．有56瓶饮料，选哪种包装盒能正好把这些饮料全部装完？ 10．水墨画近处写实，远处抽象，色彩微妙，意境丰富，是中国绘画的代表。王爷爷绘制了一幅水墨画，这幅水墨画是长方形，长和宽均为质数，而且这幅水墨面的周长是36分米。这幅水墨画的面积最多是多少平方分米？      11．一个五位数，它的最高位既不是质数，也不是合数，千位上的数是最小的合数，百位上的数是最小的质数，十位上的数是6的最小倍数，个位上的数是最小的偶数，这个五位数是多少？ 12．来我的房间找我吧，房间号是一个三位数，百位是（0.1+π×18）的小数点后第1位，十位数字是最小的奇质数，个位数字是能被13整除的三位数中最小数的个位．唉，说了这么麻烦，房间号到底是多少呢？ 13．一列高速列车1.5时行驶390千米，一架飞机的速度是这列高速列车速度的3.2倍。这架飞机每小时飞行多少千米？ 14．合数可以写成几个质数相乘的形式，如：60＝2×3×2×5，把21、35、24、56、72也写成质数相乘的形式． 15．一篮鸡蛋40个，要求每次拿出的个数相同，最后没有剩余。不能一个一个地拿，也不能一次全拿走，可以怎样拿？请写出三种方法。 16．育英小学五年级36名同学排队表演校园集体舞，要使每行人数相等（每行不能是1人或36人），一共有多少种不同的排法？ 17．用0至9这10个数字组成一些质数（每个数字恰好用一次），这些质数的和最小是多少？ 18．李老师准备了36面小红旗，她想把这些小红旗平均奖给13个讲卫生的同学，并且每人得到的小红旗面数为奇数。她能做到吗？为什么？ 19．王老师到文具店买了一些笔记本，付了100元，售货员找回23元，找回的钱对吗？为什么？ 20．在方格纸上画长方形，使它的面积是16cm2，边长是整厘米数．（每个小方格的边长表示1cm．）16的全部因数：　 　． 21．鲜多多水果店购进72kg梨，现在有三种不同规格的包装箱，你认为哪种包装箱正好装完没有剩余？为什么？ 1号包装箱 2号包装箱 3号包装箱 12kg 15kg 21kg 22．有100朵玫瑰花要扎成花束，每束花的朵数相同，有多少种不同的扎法？(每束至少2朵，至少扎2束) 23．五一班45名同学去秋游，分组游玩时，要求每组人数相等，并且每组至少有2人，可以分成几组，每组多少人？有几种分法？请列出算式说明。 24．龙一鸣和壮壮玩抽数字卡片游戏，有意思的是，一次两人抽出卡片上的数都是质数，且两个数的和是奇数，还是小于50的7的倍数。这两个质数的积可能是多少？ 25．一个六位数能被11整除，它的各位数字非零且互不相同的．将这个六位数的6个数字重新排列，最少还能排出多少个能被11整除的六位数? 26．李老师给小班小朋友分糖果，她拿了48颗糖果平均分给小朋友，正好分完，幼儿园小班可能有多少人？（人数大于10人） 27．五（3）班有36名学生排队，要求每行的人数相同，有几种排法？（不允许一人一行或一人一列） 28．王文到文具店买练习本，每本3元，结账时售货员阿姨说应付47元，王文认为不对。你能解释这是为什么吗？ 29．一个四位数，个位上的数既不是质数，也不是合数，并且不是0；十位上的数即是质数，又是偶数；百位上的数是最小的合数；千位上的数即是奇数又是合数．这个四位数是多少？ 30．黔(qián)金丝猴是我国重点保护野生动物，有“世界独生子”之称，目前仅分布在贵州省梵净山国家级自然保护区内．现在黔金丝猴的数量约为多少只？ 提示一：这个数是2和5的倍数，并且是一个三位数． 提示二：十位上的数比百位上的数小3． 提示三：十位上的数与百位上的数的和是13． 31．妈妈准备把自己手工制作的36块月饼装在盒子里，每个盒子都装得同样多，有几种不同的装法？每种装法各需要几个盒子？每个盒子里装多少块月饼？ 32．小明是一名五年级学生，他参加了学校的数学竞赛．同学问他：“这次数学竞赛你得了多少分?在60人中获得了第几名？”他说：“我的分数，名次和年龄得是质数．它的乘积是2134．”你知道他的分数，名次和年龄各是多少吗？ 33．甲、乙两个冰柜里存放了一些雪糕，其中，一个冰柜里有奇数根雪糕，另一个冰柜里有偶数根雪糕。如果将甲冰柜的雪糕数乘3，乙冰柜的雪糕数乘2，那么甲、乙冰柜雪糕总量就变成59。小李认为：有偶数根雪糕的是甲冰柜，奇数根雪糕的是乙冰柜，你同意吗？请从“和与积的奇偶性”的角度阐述自己的想法和理由。 （1）你同意小李的观点吗？ （2）你的理由是： 34．一位马大哈采购员买了72只桶，在小账本上记下这笔账，可是由于他吸烟不小心，把火星落在账本上，把这笔账的总数烧去两个数字：72只桶，共A67.9B元，（A,B为被烧掉的数字），请你帮助他算出每只桶的价格． 35．教室里有一盏电灯亮着，突然停电了，刘老师拉了一下电灯的开关，又有10名同学，每人都拉了一下开关，最后电灯是开着还是关着？请说明理由。 36．小刚拿出一些糖果分给小伙伴，他发现这些糖果平均分给4个或5个或8个小伙伴，都正好分完，这些糖果至少有多少个？ 参考答案： 1．65平方米或77平方米 【分析】长方形的周长是36米，根据周长公式，可知，长＋宽＝周长÷2＝18米，即长和宽的和为18。已知长和宽都是以米为单位的质数，可以通过列举法，求出长和宽，再根据面积公式求解。 【详解】36÷2＝18（米） 18以内的质数有：2、3、5、7、11、13、17。 满足和是18的有：5和13，7和11。 18＝5＋13＝7＋11 13×5＝65（平方米） 11×7＝77（平方米） 答：这块长方形菜地的面积是65平方米或77平方米。 【点睛】本题主要考查长方形的面积，关键要根据周长计算出长和宽，注意多种答案。 2．5×8＝40(分) 3．351 【分析】10个数字正好组成5个两位数，我们先不考虑“和是奇数”这个条件，只考虑5个两位数的和尽可能大如何解决。要使得0到9这10个数字组成的5个两位数的和尽可能大，那么5个两位数的十位上的数字要取较大的9，8，7，6，5，个位上的数字取较小的0，1，2，3，4，这时，我们再考虑5个两位数和的奇偶性。看几个数的和是奇数还是偶数，只需要看个位上的数字之和，如果个位上的数字之和是奇数（或偶数），那么这几个数的和就是奇数（或偶数）。根据这个原则，我们很容易看出个位是0，1，2，3，4，这5个数字中有2个是奇数，因为偶数个奇数的和是偶数，所以这5个两位数的和是偶数，不满足题目的要求。从已得到的5个两位数出发，尽可能少地调整十位与个位上的数字，调整的两个数字要尽可能地接近。因此，只有4和5这两个数字位置互换，这样5个两位数的十位上的数字分别是4，6，7，8，9，个位上的数字分别是0，1，2，3，5，这样个位上的数字之和就是奇数。 【详解】 ＝34×10＋11 ＝340＋11 ＝351 答：这5个两位数的和是351。 【点睛】一个整数是奇数还是偶数就是数的奇偶性，奇数的个数的和是奇数，偶数个奇数的和是偶数，任意多个偶数的和一定是偶数。 4．87 【详解】24×4＋15＝111  111＞100  24×3＋15＝87 答：这个数最大是87． 通过两个条件来找这个数，这个数“比24的倍数多15”，“在100以内”，用尝试的方法，从多倍数往下减小．这个数不会是24的4倍，因为24×4＋15＝111，超过100了，那么用3倍再试，24×3＋15＝87，求这个数最大时多少，所以87符合要求． 5．（1）陶丹丹数对了；理由见详解 （2））29人；3棵 【分析】（1）除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数；除了1和它本身以外还有其他因数，这样的数叫合数。因为总棵数＝每人种的棵数×人数，总棵数的因数除了1和本身，还有每人种的棵数和人数，根据实际情况，总棵数应该是合数，据此分析。 （2）列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。据此求出总棵数的所有因数，根据总棵数＝每人种的棵数×人数，结合实际情况确定人数和每人种的棵数。 【详解】（1）陶丹丹数对了；因为79、83、89都是质数，只有1和本身两个因数。要么每人只种一棵，那么人数就不符合实际人数。如果只有一个同学种，那么和有些同学负责种月季花不符合。所以只有87棵是对的。 （2）87＝1×87＝3×29 根据实际情况3和29是人数和每人种的棵数。 答：五（1）班种月季花的有29人，平均每人种3棵或有3人，平均每人种29棵。 6．3种 7．只有一组，5，17，29，41，53 【分析】考虑到质数中除了2以外其余都是奇数，因此这5个质数中不可能有2；又质数中除了2和5，其余质数的个位数字只能是1、3、7、9。若这5个质数中最小的数其个位数字为1，则比它大24的数个位即为5，不可能是质数；若最小的数其个位数字为3，则比它大12的数个位即为5，也不可能为质数；由此可知最小的数其个位数字也不可能是7和9，因此最小的数只能是5，这5个数依次是5，17，29，41，53。这样的数只有一组。 【详解】由分析可知，这样的数只有一组，是5，17，29，41，53。 【点睛】此题考查了有关质数的问题，只有1和它本身两个因数的数是质数。 8．285个 9．选4瓶/盒 【分析】根据整除的意义，谁能整除56，就选哪种包装盒的，据此解答即可。 【详解】56÷4＝14（盒）   56÷5＝11（盒）……1（瓶） 56是4的倍数，不是5的倍数。 答：选4瓶/盒的包装盒能正好把这些饮料全部装完。 10．77平方分米 【分析】长方形周长÷2＝长宽和，除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数，据此将长宽和拆成两个质数相加的形式，确定长和宽，根据长方形面积＝长×宽，求出面积，通过比较，确定最大面积即可。 【详解】（分米） （平方分米） （平方分米） 答：这幅水墨画的面积最多是77平方分米。 【点睛】关键是理解质数、合数的分类标准，掌握并灵活运用长方形周长和面积公式。 11．14260 12．639. 【详解】试题分析：百位是（0.1+π×18）的小书店后第1位，而0.1+π×18=56.62，那么百位上是6，十位数字是最小的奇质数，那么十位上是3，能被13整除的最小的三位数是169，所以个位上是9，据此解决即可． 解：0.1+π×18=56.62，那么百位上是6； 最小的奇质数是3，十位上是3； 能被13整除的最小的三位数是169，所以个位上9 所以房间号是639 答：房间号是639． 点评：本题考查计算及其概念问题，熟练掌握是关键． 13．832千米 【分析】根据题目条件“飞机的速度是这列高速列车速度的3.2倍”，要求飞机的速度首先要知道高速列车的速度。由条件“一列高速列车1.5时行驶390千米”，可以用数量关系式“路程÷时间＝速度”求出高速列车的速度。 【详解】390÷1.5＝260（千米） 260×3.2＝832（千米） 答：这架飞机每小时飞行832千米。 【点睛】行程问题中已知路程和时间求速度，可以用数量关系式“路程÷时间＝速度”解决。 14．21＝3×7，35＝5×7，24＝2×2×2×3，56＝2×2×2×7，72＝2×2×2×3×3 15．40÷2=20（次）  每次拿2个，拿20次 40÷5=8（次）    每次拿5个，拿8次 40÷8=5（次）   每次拿8个，拿5次 【详解】40的因数有1，2，4，5，8，10，20，40.不能一个一个拿，也不能一次全拿走，排除1和40。 答：40÷2＝20（次）  每次拿2个，拿20次； 40÷5＝8（次）  每次拿5个，拿8次； 40÷8＝5（次）  每次拿8个，拿5次。 16．7种 【分析】求出36有多少个因数，进而找出符合条件的排法即可。 【详解】36＝1×36，排成1行或者36行，都不符合题意； 36＝2×18，排成2行或者18行； 36＝3×12，排成3行或者排成12行； 36＝4×9，排成4行或者排成9行； 36＝6×6，排成6行。 答：一共有7种不同的排法。 【点睛】解答此题关键是将36进行分解因数，有几个因数就有几种排法，进而从中选择符合条件的排法。 17．567. 【详解】试题分析：由于要求和最小，则就要使加数尽量小且尽量少，其中偶数不能放在个位，0不能放在个位和首位，据此分析完成． 解：可以这样组： 2+3+5+67+89+401=567 即和最小是567． 点评：明确使加数尽量小且尽量少，然后根据质数的意义及数位知识分析是完成本题的关键． 18．不能，得到的是偶数 【详解】36÷13=2（面）……10（面）   不能做到 19．不对；理由见详解 【分析】笔记本的单价是5元，根据单价×数量＝总价，也就是买笔记本的总价钱等于5的倍数；根据5的倍数特征：个位上的数字是0或5的数是5的倍数，因此买笔记本的总价钱个位上的数字是0或者是5；应找回的钱的个位上的数字也应该是0或者是5；据此解答。 【详解】找回的钱＝100－买笔记本的总价钱 买笔记本的总价钱的个位上的数字是0或者5，因此找回的钱的个位上的数字也是0或者5，所以售货员找回23元，是不对的。 答：不对。理由是：因为笔记本的单价是5元，无论买几本找回的钱数个位上的数字要么是0，要么是5，不可能是3。 20．1、2、4、8、16； 【详解】试题分析：先把16写出两个数相乘的形式，即可画出这个面积是16平方厘米的长方形，再根据求一个数的因数的方法，进行依次列举即可． 解：16=1×16=2×8=4×4，所以长方形的长与宽的值可以分别是16厘米、1厘米或8厘米、2厘米或4厘米、4厘米，据此画图如下： 所以16的全部因数是：1、2、4、8、16； 故答案为1、2、4、8、16． 点评：此题注意考查的是找一个数的因数的方法，应注意基础知识的积累． 21．选择1号包装箱正好装完，没有剩余 【分析】根据因数与倍数的关系，求出72能被12、15、21三个数中哪一个整数，没有余数，就选择哪种包装，据此解答。 【详解】72÷12＝6（箱） 72÷15＝4（箱）……12（千克） 72÷21＝3（箱）……9（千克） 选择1号包装箱正好装完，而且没有剩余。 答：选择1号包装箱正好装完，没有剩余。 【点睛】本题考查因数与倍数的关系，根据它们的关系进行解答。 22．7种 【详解】100=2×50=4×25=5×20=10×10所以可以分成2束，每束50朵，或者50束，每束2朵； 还可以分成4束，每束25朵，或者25束，每束4朵； 可以分成5束，每束20朵，或者20束，每束5朵； 还可以分成10束，每束10朵； 一共7种分法． 23．有四种分法：分成3组，每组15人；分成15组，每组3人；分成5组，每组9人；分成9组，每组5人； 计算过程见详解 【分析】先找出45的所有因数，根据45的因数个数和题意，即可得出分法一共有多少种。 【详解】45＝1×45＝3×15＝5×9 所以，45的因数有：1、3、5、9、15、45， ①3×15＝45 可以分成3组，每组15人，或分成15组，每组3人； ②5×9＝45 可以分成5组，每组9人，或分成9组，每组5人。 答：有四种分法：分成3组，每组15人；分成15组，每组3人；分成5组，每组9人；分成9组，每组5人。 【点睛】本题考查了因数，掌握因数的求法是解题的关键。 24．10、38或94 【分析】在自然数中，除了1和它本身以外没有其他因数的数叫质数；两个质数的和是奇数，其中一个质数肯定是2；据此解答。 【详解】将龙一鸣和壮壮抽出的数分别设为A和B， 因为A和B都是质数，A＋B又是奇数， 所以A、B中必有一个是2； 不妨设A＝2，由于A＋B是7的倍数且小于50， 所以B可以是5、19、47， 又因为2×5＝10，2×19＝38，2×47＝94，所以A×B可能是10、38、94； 答：这两个质数的积可能是10、38或94。 【点睛】本题主要考查倍数、质数的意义及奇数和偶数的运算性质，解题的关键是理解两个质数的和是奇数则其中一个质数肯定是2。 25．71 【详解】设这个六位数为，则有、的差为0或11的倍数．且a、b、c、d、e、f均不为0，任何一个数作为首位都是一个六位数． 先考虑a、c、e偶数位内，b、d、f奇数位内的组内交换，有×=36种顺序； 再考虑形如这种奇数位与偶数位的组间调换，也有×=36种顺序． 所以，用均不为0的a、b、c、d、e、f最少可排出36+36=72个能被11整除的数(包含原来的)．所以最少还能排出72-1=71个能被11整除的六位数． 26．可能有48人、24人、16人或12人 【分析】根据题意，找出48内，大于10的因数，即可解答。 【详解】48的因数：1，2、3、4、6、8、12、16、24、48 幼儿园小班人数可能有12人、16人、24人、48人。 答：幼儿园小班可能有12人、16人、24人、48人。 【点睛】本题考查因数求法，根据题意进行解答。 27．7种 【分析】要求有几种排法，就是求36的因数的个数，不允许有一人一行或一人一列，则应去掉因数1和它本身两个因数，据此解答。 【详解】36的因数有：1，2、3，4，6，9，12，18，36。 1、2行，一行18个 2、3行，一行12个 3、4行，一行9个 4、6行，一行6个 5、9行，一行4个 6、12行，一行3个 7、18行，一行2个 有7种排法。 答：有7种排法。 【点睛】本题主要考查求因数的方法及其简单应用。 28．不对；理由见详解 【分析】一个数的各个数位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数。根据总价÷数量＝单价可知，总价一定是3的倍数，据此解答即可。 【详解】47÷3＝15⋯⋯2 因为每本笔记本3元，所以总价应该是3的倍数，而47不是3的倍数，所以47元不对。 答：王文认为的不对，因为47不是3的倍数。 【点睛】本题考查3的倍数，明确3的倍数特征是解题的关键。 29．9421 【详解】略 30．850只 【详解】略 31．8种；具体见详解 【分析】先找出36的所有因数，再根据哪两个因数相乘的积是36，来确定每种装法需要几个盒子，每个盒子里装多少块月饼。 【详解】36的因数有：1、2、3、4、6、9、12、18、36，装法有： 36＝1×36，即装1盒，每盒装36块，但是这种装法不能体现出每个盒子装同样多，所以不可以这样装；只能装36盒，每盒装1块； 36＝2×18，即装2盒，每盒装18块；或装18盒，每盒装2块； 36＝3×12，即装3盒，每盒装12块；或装12盒，每盒装3块； 36＝4×9，即装4盒，每盒装9块；或装9盒，每盒装4块； 36＝6×6，即装6盒，每盒装6块； 答：有8种不同的装法。用36个盒子，每盒装1块；用2个盒子，每盒装18块；用18个盒子，每盒装2块；用3个盒子，每盒装12块；用12个盒子，每盒装3块；用4个盒子，每盒装9块；用9盒子，每盒装4块；用6个盒子，每盒装6块。 32．2134=2×11×97 所以小明11岁,第2名,他的分数是97分． 【详解】略 33．（1）不同意。 （2）见详解 【分析】根据奇数＋偶数＝奇数，奇数×奇数＝奇数，奇数×偶数＝偶数。进行分析判断即可解答。 【详解】（1）不同意。     （2）“将甲冰柜的雪糕数乘3，乙冰柜的雪糕数乘2，那么甲、乙冰柜雪糕总量就变成59。”59是一个奇数，乙冰柜的雪糕数乘2，所以现在乙冰柜里的雪糕数是偶数，那么甲冰柜里现在的雪糕数是奇数。甲冰柜的雪糕数乘3是奇数，所以甲冰柜原来的雪糕数是奇数，则乙冰柜里的雪糕数是偶数。 【点睛】本题考查了算式的奇偶性，熟练理解并使用“奇数＋偶数＝奇数、奇数×奇数＝奇数、奇数×偶数＝偶数”是关键。 34．5.11元 【详解】略 35．关着；理由见详解 【分析】根据题意可知，突然停电，此时的电灯是开着的，刘老师拉一下，电灯是关闭的，第一个同学拉一下开关，是开着，第二个同学拉下开关是关闭，由此可知，偶数是关，奇数是开，根据同学人数是奇数还剩偶数，进行解答。 【详解】刘老师拉一下电灯的开关后，此时电灯是关闭； 此后第一位同学拉一下电灯的开关后，开； 第二位同学拉一下电灯的开关后，关； 第三位：开； 第四位：关； …… 由此发现，奇数同学是开着，偶数同学是关着； 10是偶数，所以最后电灯是关着。 答：最后电灯是关着。 【点睛】本题考查奇偶性，要把要解决的问题与所学的知识结合起来。 36．这些糖果至少有40个．   【分析】8是4的倍数，所以8的倍数也是4的倍数，8的倍数有：8、16、24、32、40、48……，5的倍数有：5、1、15、20、25、30、35、40、45……，将这些糖果平均分给4个或5个或8个小伙伴，都正好分完，说明是求同时是4、5、8的倍数的数，求这些糖果至少有多少个就是求这些倍数中最小的数． 【详解】4、5、8的公倍数是40，所以这些糖果至少有40个． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$