2.3.1.1一元二次不等式及其解法(1)课件-2024-2025学年高一上学期数学湘教版（2019）必修第一册

第1课时　一元二次不等式及其解法(1) 新知初探 课前预习 题型探究 课堂解透 新知初探 课前预习 最新课程标准 1.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义． 2．能够借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集． 3．借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系． 学科核心素养 1.会求一元二次不等式的解集．(逻辑推理、直观想象) 2．会求分式不等式的解集．(逻辑推理、数学运算) 3．能解决一元二次不等式的实际问题．(逻辑推理、数学建模) 4．理解一元二次方程、一元二次函数与一元二次不等式之间的关系，并能解决相应的问题．(逻辑推理) 教材要点 要点一　一元二次不等式的概念 一元二次不等式的概念及形式 (1)概念：我们把只含有________未知数，并且未知数的最高次数是______的不等式，称为一元二次不等式． (2)形式： ①ax2＋bx＋c＞0(a≠0)； ②ax2＋bx＋c≥0(a≠0)； ③ax2＋bx＋c＜0(a≠0)； ④ax2＋bx＋c≤0(a≠0)． 一个 2 状元随笔　一元二次不等式的二次项系数 a有a＞0或a＜0两种，注意a≠0.当a＜0时，我们通常将不等式两边同乘以－1，化为二次项系数大于0的一元二次不等式，但要注意不等号要改变方向，这样我们只需要研究二次项系数大于0的一元二次不等式． 基础自测 1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)mx2＋5x＜0是一元二次不等式．(　　) (2)若不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为{x|x1＜x＜x2}，则必有a＞0.(　　) (3)若不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是{x|x＜x1或x＞x2}，则方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1和x2.(　　) (4)若方程ax2＋bx＋c＝0没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为R.(　　) × √ √ × 2．不等式2x2－x－1＞0的解集是(　　) A． B．{x|x＜1或x＞2} C．{x|x＞1} D． 答案：A 解析：原不等式化为(2x＋1)(x－1)>0，所以x<－或x>1.故选A. 3．若不等式ax2＋8ax＋21＜0的解集是{x|－7＜x＜－1}，那么a的值是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案：C 解析：由题意可知a>0，且－7和－1为方程ax2＋8ax＋21＝0的两个根，∴由根与系数的关系得(－7)×(－1)＝，解得a＝3.故选C. 4．不等式x2＋6x＋10＞0的解集为________． R 解析：∵Δ＝62－4×10＝－4<0，∴方程x2＋6x＋10＝0无解．即函数y＝x2＋6x＋10的图象在x轴上方，所以不等式x2＋6x＋10>0的解集为R. 题型探究 课堂解透 题型1　不含参数的一元二次不等式的解法 例1　解不等式：(1)－3x2＋6x－2＞0；(2)4x2－4x＋1≤0. 解析：(1)不等式可化为3x2－6x＋2＜0.对应方程3x2－6x＋2＝0.因为Δ＝36－4×3×2＝12＞0，所以它有两个实数根．解得x1＝1－，x2＝1＋.画出二次函数y＝3x2－6x＋2的图象(如图①)，结合图象得不等式3x2－6x＋2＜0的解集是.所以不等式＋6x－2＞0的解集是. (2)方程4x2－4x＋1＝0的解是x1＝x2＝， 画出二次函数y＝4x2－4x＋1的图象(如图②)， 结合图象得不等式4x2－4x＋1≤0的解集是 . 方法归纳 解不含参数的一元二次不等式的步骤 1．通过对不等式的变形，使不等式右侧为0，使二次项系数为正． 2．对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式． 3．求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根． 4．根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数图象的草图． 5．根据图象写出不等式的解集． 记忆口诀： 设相应的二次函数的图象开口向上，并与x轴相交，则有口诀：大于取两边；小于取中间． 跟踪训练1　(1)不等式＜0的解集为(　　) A．{x|x＜－1或x＞2}　 B． C．{x|x＜－2或x＞1} D． (2)不等式－x2－3x＋4＜0的解集为(　　) A．{x|x＞1或x＜－4} B．{x|x＞－1或x＜－4} C．{x|－4＜x＜1} D．{x|x＜－1或x＞4} 　解析： (1)因为<0， 所以对应的方程为(x＋1)(x－2)＝0，解得x1＝－1，x2＝2， 所以不等式<0的解集为， 故选B. (2)原不等式变为x2＋3x－4>0，因式分解得：(x－1)(x＋4)>0，解得x>1或x<－4.故原不等式的解集为{x|x>1或x<－4}．故选A. B A 题型2　三个“二次”之间的关系 例2　已知关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|2＜x＜3}，求关于x的不等式cx2＋bx＋a＜0的解集． 解析：方法一　由不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2<x<3}可知，a<0，且2和3是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，由根与系数的关系可知＝－5，＝6.由a<0知c<0，＝，故不等式cx2＋bx＋a<0，即x2＋x＋>0，即x2－x＋>0，解得x<或x>，所以不等式cx2＋bx＋a<0的解集为. 方法二　由不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2<x<3}可知，a<0，且2和3是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，所以ax2＋bx＋c＝a(x－2)(x－3)＝ax2－5ax＋6a⇒b＝－5a，c＝6a，故不等式cx2＋bx＋a<0，即6ax2－5ax＋a<0⇒6a<0，故原不等式的解集为. 方法归纳 一元二次不等式与其对应的函数与方程之间存在着密切的联系，在解决具体的数学问题时，要注意三者之间的相互联系，并在一定条件下相互转换． (1)若一元二次不等式的解集为区间的形式，则区间的端点值恰是对应一元二次方程的根，要注意解集的形式与二次项系数的联系． (2)若一元二次不等式的解集为R或∅，则问题可转化为恒成立问题，此时可以根据二次函数图象与x轴的交点情况确定判别式的符号，进而求出参数的范围． 跟踪训练2　已知一元二次不等式x2＋px＋q＜0的解集为，求不等式qx2＋px＋1＞0的解集． 解析：因为x2＋px＋q<0的解集为， 所以x1＝－与x2＝是方程x2＋px＋q＝0的两个实数根，   所以不等式qx2＋px＋1>0即为－x2＋x＋1>0， 整理得x2－x－6<0，解得－2<x<3. 即不等式qx2＋px＋1>0的解集为{x|－2<x<3}． 题型3　解含参数的一元二次不等式 角度1　对判别式“Δ”进行讨论 例3　解关于x的不等式2x2＋ax＋2＞0.   解析：Δ＝a2－16，下面分情况讨论： (1)当Δ＜0，即－4＜a＜4时，方程2x2＋ax＋2＝0无实根，所以原不等式的解集为R. (2)当Δ＝0，即a＝±4时，若a＝－4，则原不等式等价于(x－1)2＞0，故x≠1；若a＝4，则原不等式等价于(x＋1)2＞0，故x≠－1； (3)当Δ＞0，即a＞4或a＜－4时，方程2x2＋ax＋2＝0的两个根为x1＝(－a－)，x2＝(－a＋)． 此时原不等式等价于(x－x1)(x－x2)＞0， ∴x＜x1或x＞x2. 综上，当－4＜a＜4时，原不等式的解集为R；当a＝－4时原不等式的解集为{x|x∈R，且x≠1}； 当a＞4或a＜－4时，原不等式的解集为；当a＝4时，原不等式的解集为{x|x∈R，且x≠－1}． 角度2　对根的大小进行讨论 例4　解关于x的不等式x2＋2x＋1－a2≤0(a∈R)． 解析：原不等式等价于(x＋1＋a)(x＋1－a)≤0. (1)当－1－a＜－1＋a， 即a＞0时，－1－a≤x≤－1＋a； (2)当－1－a＝－1＋a， 即a＝0时，不等式即(x＋1)2≤0， ∴x＝－1； (3)当－1－a＞－1＋a，即a＜0时，－1＋a≤x≤－1－a. 综上，当a＞0时，原不等式的解集为{x|－1－a≤x≤－1＋a}； 当a＝0时，原不等式的解集为{x|x＝－1}； 当a＜0时，原不等式的解集为{x|－1＋a≤x≤－1－a}． 角度3　对二次项系数进行讨论 例5　设a∈R，解关于x的不等式ax2＋(1－2a)x－2＞0. 解析：(1)当a＝0时，不等式可化为x－2＞0，解得x＞2，即原不等式的解集为{x|x＞2}． (2)当a≠0时，方程ax2＋(1－2a)x－2＝0的两根分别为2和－. ①当a＜－时，解不等式得－＜x＜2， 即原不等式的解集为； ②当a＝－时，不等式无解，即原不等式的解集为∅； ③当－＜a＜0时，解不等式得2＜x＜－， 即原不等式的解集为； ④当a＞0时，解不等式得x＜－或x＞2 即原不等式的解集为. 方法归纳 解含参数的一元二次不等式的步骤 跟踪训练3　解关于x的不等式(a－x)(x－a2)＜0，a∈R.     解析：原不等式可化为(x－a)(x－a2)>0，a∈R， 当a>1或a<0时，a2>a，原不等式的解集为{x|x<a，或x>a2}； 当0<a<1时，a2<a，原不等式的解集为{x|x<a2，或x>a} 当a＝1时，原不等式的解集为{x|x≠1}； 当a＝0时，原不等式的解集为{x|x≠0}． 易错辨析　忽视二次项系数致误 例6　若不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|－1＜x＜2}，那么不等式a(x2＋1)＋b(x－1)＋c＞2ax的解集为(　　) A．{x|－2＜x＜1} B．{x|x＜－2或x＞1} C．{x|x＜0或x＞3} D．{x|0＜x＜3} 解析：因为不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|－1＜x＜2}， 所以－1和2是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，且a＜0， 所以－＝－1＋2＝1，＝－2，即b＝－a，c＝－2a， 代入不等式a(x2＋1)＋b(x－1)＋c＞2ax整理得a(x2－3x)＞0， 因为a＜0，所以x2－3x＜0，所以0＜x＜3.故选D. 答案：D 易错警示 易错原因 纠错心得 忽视a的范围致误，易错选C. 根据题中所给的二次不等式的解集，结合三个二次的关系得到a＜0，由根与系数的关系求出a，b，c的关系，再代入不等式a(x2＋1)＋b(x－1)＋c＞2ax，求解即可． 课堂十分钟 1．已知集合M＝{x|－4＜x＜2}，N＝{x|x2－x－6＜0}，则＝(　　) A．{x|－4＜x＜3} B．{x|－4＜x＜－2} C．{x|－2＜x＜2} D．{x|2＜x＜3} 答案：C 解析：由题意得N＝{x|x2－x－6<0}＝{x|－2<x<3}，所以M＝{x|－2<x<2}．故选C. 2．关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|－3＜x＜1}，则关于x的不等式cx2＋bx＋a＞0的解集为(　　) A． B． C． D． 答案：C 解析：因为不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为(－3，1)，所以即不等式cx2＋bx＋a＞0等价于3x2－2x－1＞0， 解得x<－或x＞1.故选C. 3．已知2a＋1＜0，则关于x的不等式x2－4ax－5a2＞0的解集是(　　) A．{x|x＜5a或x＞－a} B．{x|x＞5a或x＜－a} C．{x|－a＜x＜5a} D．{x|5a＜x＜－a} 答案：A 解析：∵2a＋1<0，∴a<－，∴－a>5a.由x2－4ax－5a2＝(x－5a)(x＋a)>0得x<5a或x>－a，∴原不等式的解集为{x|x<5a或x>－a}．故选A. 4．已知x＝1在不等式k2x2－6kx＋8≥0的解集内，则k的取值范围是___________． k≤2或k≥4 解析：由题意知：k2－6k＋8≥0 解得k≥4或k≤2 ∴k的取值范围是k≥4或k≤2. 5. 已知函数y＝x2－(a＋b)x＋2a. (1)若关于x的不等式y＜0的解集为{x|1＜x＜2}，求a，b的值； (2)当b＝2时，解关于x的不等式y＞0. 解析：(1)∵y<0的解集为{x|1<x<2}，∴方程x2－(a＋b)x＋2a＝0的两根为1和2， 由韦达定理知：，解得：. (2)当b＝2时，y＝x2－(a＋2)x＋2a＝(x－a)(x－2)>0， 当a<2时，y>0的解集为{x|x<a或x>2}； 当a＝2时，y>0的解集为{x|x<2或x>2}； 当a>2时，y>0的解集为{x|x<2或x>a}． $$