第14讲 一元二次方程全章热门考点专训-2024-2025学年人教版九年级数学上册点拨训练

人教版九年级数学上 点拨*训练 第14讲 全章热门考点专训 老师告诉你 一元二次方程题型非常广泛，常见有一元二次方程的解，一元二次方程的解法，一元二次方程根的情况，一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的应用等，只要掌握了不同类型的题的特点，就可以使问题变的简单明了，本章热点概括为两个概念、一个解法、两个关系、一个应用、三种思想。 一、专题导航 二、考点点拨 考点1 两个概念 概念1一元二次方程的定义 典例剖析1 典例1．若方程是关于x的一元二次方程，则m的值为______________. 针对练习1 1．已知是关于x的一元二次方程，则___________. 2．若方程是关于x的一元二次方程，则m的值为( ) A.2 B.-2 C.2或-2 D.0 3．如果方程是关于x的一元二次方程，那么m的值为( ) A.±3 B.3 C.-3 D.都不对 概念2一元二次方程的根 典例剖析2 典例2．若关于x的一元二次方程有一个根是1,则m的值为( ) A.4 B.3 C.2 D. 针对练习2 1．已知关于x的一元二次方程. （1）若.求证：必是该方程的一个根. （2）当a，b，c之间的关系是_________时，方程必有一根是. 2．已知实数a是一元二次方程的一个根，求代数式的值. 3．若是关于x的方程的解，则的值为__________. 考点2 一个解法----一元二次方程的解法 典例剖析3 典例3．用适当的方法解下列方程. （1）； （2）； （3）. 针对练习3 1．解方程： （1）(公式法)； （2）(配方法)； （3）； （4）. 2．下面是小明解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务. 二次系数化为1，得………………………………第一步 移项，得.……………………………………第二步 配方，得，即……………………第三步 由此，可得……………………………………第四步 所以，，……………………第五步 任务： （1）上面小明同学的解法中运用“配方法”将该一元二次方程“降次”为两个一元一次方程，体现的数学思想是，其中“配方法”所依据的一个数学公式是； （2）“第二步”变形的依据是； （3）上面小明同学解题过程中，从第____步开始出现错误，请直接写出正确的解； （4）请你根据平时学习经验，就解一元二次方程时还需要注意的事项为其他同学提一条意见. 3．阅读下面的材料，回答问题： 要解方程，我们发现这是一个一元四次方程，不容易直接求解，如果注意到，根据该方程的特点，我们可以这样做： 解析：设， 那么， 于是原方程可变为， 解得，. 当时，， ； 当时，， ； 原方程有四个根，，，. 我们把以上这种解决问题的方法叫做换元法. 任务： （1）上述解方程的过程体现的数学思想主要是( ) A.分类讨论思想 B.转化思想 C.数形结合思想 D.公理化思想 （2）仿照上面的方法，解方程； （3）若实数m、n满足，则的值是__________. 考点3 两个关系 关系1一元二次方程的根与判别式的关系 典例剖析4 典例4．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根,则k的取值范围是( ) A. B.,且 C.,且 D. 针对练习4 1．已知关于x的一元二次方程，其中m，n在数轴上对应的点如图所示，则这个方程的根的情况是( ) A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.没有实数根 D.无法确定 2．已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值等于( ) A.0 B.1 C.2 D.无法确定 3．关于x的一元二次方程有实根，则m的最大整数解是( ) A.2 B.3 C.4 D.5 4．已知关于x的一元二次方程，其中a、b、c分别为三边的长. （1）如果是方程的根，试判断的形状，并说明理由； （2）如果方程有两个相等的实数根，试判断的形状，并说明理由； （3）如果是等边三角形，试求这个一元二次方程的根. 关系2一元二次方程根与系数的关系 典例剖析5 典例5．如果x、y是两个实数()且,,则的值等于( ) A. B. C. D.2023 针对练习5 1．若与是方程的两个实数根,则_________. 2．已知关于x的一元二次方程. （1）求证：无论m取何值，该方程都有两个不相等的实数根. （2）设方程的两个根分别为，，且，若，求m的值. 3．阅读材料：材料1 若一元二次方程的两根为、，则， 材料2：已知实数、满足、，且，求的值. 解：由题知、是方程的两个不相等的实数根，根据材料1得， 根据上述材料解决下面问题： （1）一元二次方程的两根为、，则=_____,=_____. （2）已知实数、满足、，且，求的值. （3）已知实数、满足、，且，求的值. 4．已知，是一元二次方程的两个实数根. （1）求k的取值范围； （2）是否存在实数k，使得等式成立？如果存在，请求出k的值，如果不存在，请说明理由. 考点4 一个应用---一元二次方程的应用 典例剖析6 典例6．如图,老李想用长为的栅栏,再借助房屋的外墙(外墙足够长)围成一个矩形羊圈,并在边上留一个宽的门(建在处,另用其他材料). (1)当羊圈的长和宽分别为多少米时,能围成一个面积为的羊圈？ (2)羊圈的面积能达到吗？如果能,请你给出设计方案；如果不能,请说明理由. 针对练习6 1．某商场销售一批衬衫,平均每天可售出20件,每件盈利40元.为了扩大销售,增加盈利,商场采取了降价措施.假设在一定范围内,衬衫的单价每降1元,商场平均每天可多售出2件.如果降价后商场销售这批衬衫每天盈利1250元,那么衬衫的单价降了多少元？ 2．有一人患了流感，经过两轮传染后共有144人患了流感. （1）求每轮传染中平均一个人传染了几个人. （2）如果不及时控制，三轮传染后，患流感的有多少人？ . 3．某市计划举办青少年足球比赛，赛制采取双循环形式（即每两队之间都要打两场比赛），一共组织30场比赛.计分规则为胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分. （1）该市举办方应该邀请多少支球队参赛？ （2）此次比赛结束后，如果其中一支参赛球队共平了4场，负了2场，则该球队此次比赛的总积分是多少？ 4．甲、乙两个机器人分别从相距70米的A，B两个位置同时出发，相向运动.甲第1分钟走了2米，且以后每分钟比前1分钟多走1米，乙每分钟走5米. （1）甲、乙开始运动多少分钟后第一次相遇？ （2）如果甲、乙到达B或A后立即折返，甲继续每分钟比前1分钟多走1米，乙继续按照每分钟5米的速度行走，那么它们开始运动多少分钟后第二次相遇？ 考点5 三种思想 思想1 整体思想 典例剖析7 典例7．若α，β是方程x2+2x-2005=0的两个实数根，则α2+3α+β的值为（　　） A. 2005 B. 2003 C. -2005 D. 4010 针对练习7 1．已知是方程的两个根，则的值为（ ） A. 9 B. 10 C. 12 D. 15 2．已知m,n是一元二次方程x2+3x-6=0的两个根，则m2+mn+3m的值为（　　） A. 0 B. 3 C. 6 D. 13 3．阅读材料，解答问题： 已知实数m,n满足m2-m-1=0，n2-n-1=0，且m≠n,则m,n是方程x2-x-1=0的两个不相等的实数根，由韦达定理可知m+n=1，mn=-1． 根据上述材料，解决以下问题： （1）直接应用： 已知实数a,b满足：a2-7a+1=0，b2-7b+1=0且a≠b,则a+b=_____，ab=_____； （2）间接应用： 在（1）的条件下，求的值； （3）拓展应用： 已知实数m,n满足：，n2-n=7且mn≠-1，求的值． 4．阅读材料，解答问题： 材料1 为了解方程（x2）2-13x2+36=0，如果我们把x2看作一个整体，然后设y=x2，则原方程可化为y2-13y+36=0，经过运算，原方程的解为x1，2=±2，x3，4=±3．我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法． 材料2 已知实数m,n满足m2-m-1=0，n2-n-1=0，且m≠n,显然m,n是方程x2-x-1=0的两个不相等的实数根，由韦达定理可知m+n=1，mn=-1． 根据上述材料，解决以下问题： （1）直接应用： 方程x4-5x2+6=0的解为 _____； （2）间接应用： 已知实数a,b满足：2a4-7a2+1=0，2b4-7b2+1=0且a≠b,求a4+b4的值； （3）拓展应用： 已知实数m,n满足：+=7，n2-n=7且n＞0，求+n2的值． 思想2 转化思想 典例剖析8 典例8．已知关于y的一元二次方程（m+1）y2-3my-9=0的根都是整数，且m满足等式，则满足条件的所有整数m的和是（　　） A. -5 B. -4 C. 0 D. -6 针对练习8 1．一张桌子的桌面长为6m,宽为4m,台布面积是桌面面积的2倍，如果将台布铺在桌子上，各边垂下的长度相同．求这块台布的长和宽． 2．如图，在宽为20m,长为32m的矩形地上，修筑同样宽的三条道路，把耕地分成大小不等的六块，要使耕地面积为570m2，求道路的宽为多少米？ 3．在北京2008年第29届奥运会前夕，某超市在销售中发现：奥运会吉祥物“福娃”平均每天可售出20套，每件盈利40元．为了迎接奥运会，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存，经市场调查发现：如果每套降价1元，那么平均每天就可多售出2套．要想平均每天在销售吉祥物上盈利1200元，那么每套应降价多少？ 思想3 分类讨论思想 典例剖析9 典例9．定义：已知,是关于x的一元二次方程的两个实数根,若,且,则称这个方程为“限根方程”.如：一元二次方程的两根为,,因,,所以一元二次方程为“限根方程”. 请阅读以上材料,回答下列问题： (1)判断一元二次方程是否为“限根方程”,并说明理由； (2)若关于x的一元二次方程是“限根方程”,且两根、满足,求k的值； (3)若关于x的一元二次方程是“限根方程”,求m的取值范围. 针对练习9 1．已知关于x的一元二次方程. （1）求证：不论k取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程两根的和比两根的积大1，求k的值； （3）若的两边a，b的长是这个方程的两个实数根，第三边c的长为2，当是等腰三角形时，求k的值. 2．已知关于x的方程. (1)若是方程的一个根，求m的值和方程的另一根； (2)当m为何实数时，方程有实数根； (3)若，是方程的两个根，且，试求实数m的值. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 人教版九年级数学上 点拨*训练 第14讲 全章热门考点专训（解析版） 老师告诉你 一元二次方程题型非常广泛，常见有一元二次方程的解，一元二次方程的解法，一元二次方程根的情况，一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的应用等，只要掌握了不同类型的题的特点，就可以使问题变的简单明了，本章热点概括为两个概念、一个解法、两个关系、一个应用、三种思想。 1、 专题导航 二、考点点拨 考点1 两个概念 概念1一元二次方程的定义 典例剖析1 典例1．若方程是关于x的一元二次方程，则m的值为______________. 答案： 解析：方程是关于x的一元二次方程， ， 解得， 故答案为：. 针对练习1 1．已知是关于x的一元二次方程，则___________. 答案：-1 解析：方程是关于x的一元二次方程， ，， 解得：. 故答案为：−1. 2．若方程是关于x的一元二次方程，则m的值为( ) A.2 B.-2 C.2或-2 D.0 答案：B 解析：由题意得：，解得. 故选：B. 3．如果方程是关于x的一元二次方程，那么m的值为( ) A.±3 B.3 C.-3 D.都不对 答案：C 解析：由题意得：，且， 解得：. 故选：C. 概念2一元二次方程的根 典例剖析2 典例2．若关于x的一元二次方程有一个根是1,则m的值为( ) A.4 B.3 C.2 D. 答案：B 解析：把代入方程得：,解得：. 故选B. 针对练习2 1．已知关于x的一元二次方程. （1）若.求证：必是该方程的一个根. （2）当a，b，c之间的关系是_________时，方程必有一根是. 答案：（1）证明见解析 （2） 解析：（1）证明：，， 当时，， 必是该方程的一个根. （2）当时，， 当时，方程必有一根是. 故答案为. 2．已知实数a是一元二次方程的一个根，求代数式的值. 答案：实数a是一元二次方程的一个根， ， ， . 3．若是关于x的方程的解，则的值为__________. 答案：2019 解析：把代入方程，得，即，则原式. 考点2 一个解法----一元二次方程的解法 典例剖析3 典例3．用适当的方法解下列方程. （1）； （2）； （3）. 答案：（1）， （2）， （3）， 解析：（1） ， 或， ，； （2） 或， ，； （3） 或 ，. 针对练习3 1．解方程： （1）(公式法)； （2）(配方法)； （3）； （4）. 答案：（1） （2）， （3）， （4）， 解析：（1）， ， 解得，， ，； （2）， ， ， 解得， ，； （3）， ， ， 或， 解得，，； （4）， ， ， ， 或， 解得，，. 2．下面是小明解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务. 二次系数化为1，得………………………………第一步 移项，得.……………………………………第二步 配方，得，即……………………第三步 由此，可得……………………………………第四步 所以，，……………………第五步 任务： （1）上面小明同学的解法中运用“配方法”将该一元二次方程“降次”为两个一元一次方程，体现的数学思想是，其中“配方法”所依据的一个数学公式是； （2）“第二步”变形的依据是； （3）上面小明同学解题过程中，从第____步开始出现错误，请直接写出正确的解； （4）请你根据平时学习经验，就解一元二次方程时还需要注意的事项为其他同学提一条意见. 答案：（1）转化；完全平方公式 （2）等式的基本性质 （3）三；，； （4）移项要变号 解析：（1）小明同学的解法中运用“配方法”将该一元二次方程“降次”为两个一元一次方程，体现的数学思想是转化思想，其中“配方法”所依据的一个数学公式是完全平方公式； 故答案为：转化；完全平方公式（或填）； （2）“第二步”变形的依据是等式的性质1； 故答案为：等式的性质1； （3）上面小明同学解题过程中，从第三步开始出现错误； 正确的解是： 配方，得， 即， ，， 故答案为：三；，； （4）解一元二次方程时需要注意的事项：先把方程化为一般形式、移项要变号、正确运用完全平方公式、解要化为最简（答案不唯一）. 3．阅读下面的材料，回答问题： 要解方程，我们发现这是一个一元四次方程，不容易直接求解，如果注意到，根据该方程的特点，我们可以这样做： 解析：设， 那么， 于是原方程可变为， 解得，. 当时，， ； 当时，， ； 原方程有四个根，，，. 我们把以上这种解决问题的方法叫做换元法. 任务： （1）上述解方程的过程体现的数学思想主要是( ) A.分类讨论思想 B.转化思想 C.数形结合思想 D.公理化思想 （2）仿照上面的方法，解方程； （3）若实数m、n满足，则的值是__________. 答案：（1）B （2），，， （3）4 解析：（1）B. （2）原方程可以变形为， 设，则原方程可化为， 解得，. 当时，，； 当时，，； 原方程有四个根，，，. 或：设，则原方程可化为，即， 解得，. 当时，，； 当时，，. 原方程有四个根，，，. （3）4. 考点3 两个关系 关系1一元二次方程的根与判别式的关系 典例剖析4 典例4．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根,则k的取值范围是( ) A. B.,且 C.,且 D. 答案：B 解析：∵关于x的一元二次方程方程有两个不相等的实数根, ∴,即, 解得：且. 故选：B. 针对练习4 1．已知关于x的一元二次方程，其中m，n在数轴上对应的点如图所示，则这个方程的根的情况是( ) A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.没有实数根 D.无法确定 答案：A 解析：由题中数轴得，，，，， 方程有两个不相等的实数根.故选A. 2．已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值等于( ) A.0 B.1 C.2 D.无法确定 答案：C 解析：关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，，，，.故选C. 3．关于x的一元二次方程有实根，则m的最大整数解是( ) A.2 B.3 C.4 D.5 答案：C 解析：关于x的一元二次方程有实根， 且， 解得：且， m的最大整数解为4， 故选C. 4．已知关于x的一元二次方程，其中a、b、c分别为三边的长. （1）如果是方程的根，试判断的形状，并说明理由； （2）如果方程有两个相等的实数根，试判断的形状，并说明理由； （3）如果是等边三角形，试求这个一元二次方程的根. （1）答案：是等腰三角形，理由见解析 解析：是等腰三角形； 理由：是方程的根， ， ， ， ， 是等腰三角形； （2）答案：是直角三角形，理由见解析 解析：方程有两个相等的实数根， ， ， ， 是直角三角形； （3）答案：， 解析：当是等边三角形， ，可整理为：， ， 解得：，. 关系2一元二次方程根与系数的关系 典例剖析5 典例5．如果x、y是两个实数()且,,则的值等于( ) A. B. C. D.2023 答案：C 解析：∵, ∴, ∴,而,, ∴x,是方程的两个根, ∴,, ∴； 故选C. 针对练习5 1．若与是方程的两个实数根,则_________. 答案：4 解析：∵与是方程的两个实数根, ∴,, ∴. 故答案为：4. 2．已知关于x的一元二次方程. （1）求证：无论m取何值，该方程都有两个不相等的实数根. （2）设方程的两个根分别为，，且，若，求m的值. 答案：（1）证明见解析 （2）或 解析：（1）证明：由题意得. 无论m取何值，该方程都有两个不相等的实数根. （2）的两个根分别为，，且， ，， ，， 即，， 解得或. 3．阅读材料：材料1 若一元二次方程的两根为、，则， 材料2：已知实数、满足、，且，求的值. 解：由题知、是方程的两个不相等的实数根，根据材料1得， 根据上述材料解决下面问题： （1）一元二次方程的两根为、，则=_____,=_____. （2）已知实数、满足、，且，求的值. （3）已知实数、满足、，且，求的值. 答案：（1）-2， （2）- （3）45 解析：（1）-2， （2）由题意知：m、n是方程3x2-3x-1=0的两个不相等的实数根， ∴m+n=1，mn=-， ∴m2n+mn2=mn（m+n）=-×1=-. （3）， ，即. 又，即， ∴p、2q是方程的两个不相等的实数根， ，， . 4．已知，是一元二次方程的两个实数根. （1）求k的取值范围； （2）是否存在实数k，使得等式成立？如果存在，请求出k的值，如果不存在，请说明理由. （1）答案： 解析：一元二次方程有两个实数根， 解得； （2）答案： 解析：由一元二次方程根与系数关系，，， ， ， 即，解得. 又由（1）知：， . 考点4 一个应用---一元二次方程的应用 典例剖析6 典例6．如图,老李想用长为的栅栏,再借助房屋的外墙(外墙足够长)围成一个矩形羊圈,并在边上留一个宽的门(建在处,另用其他材料). (1)当羊圈的长和宽分别为多少米时,能围成一个面积为的羊圈？ (2)羊圈的面积能达到吗？如果能,请你给出设计方案；如果不能,请说明理由. 答案：(1)当羊圈的长为,宽为或长为,宽为时,能围成一个面积为的羊圈 (2)不能,理由见解析 解析：(1)设矩形的边,则边. 根据题意,得. 化简,得. 解得,. 当时,； 当时,. 答：当羊圈的长为,宽为或长为,宽为时,能围成一个面积为的羊圈. (2)不能,理由如下： 由题意,得. 化简,得. ∵, ∴一元二次方程没有实数根. ∴羊圈的面积不能达到. 针对练习6 1．某商场销售一批衬衫,平均每天可售出20件,每件盈利40元.为了扩大销售,增加盈利,商场采取了降价措施.假设在一定范围内,衬衫的单价每降1元,商场平均每天可多售出2件.如果降价后商场销售这批衬衫每天盈利1250元,那么衬衫的单价降了多少元？ 答案：衬衫的单价降了15元 解析：设衬衫的单价降了x元.根据题意,得 , 解得：, 答：衬衫的单价降了15元. 2．有一人患了流感，经过两轮传染后共有144人患了流感. （1）求每轮传染中平均一个人传染了几个人. （2）如果不及时控制，三轮传染后，患流感的有多少人？ 答案：（1）11个人 （2）1728人 解析：（1）设每轮传染中平均一个人传染了x个人， 根据题意，得 解得，（不合题意，舍去）. 答：每轮传染中平均一个人传染了11个人. （2）（人）. 答：三轮传染后，患流感的有1728人. 3．某市计划举办青少年足球比赛，赛制采取双循环形式（即每两队之间都要打两场比赛），一共组织30场比赛.计分规则为胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分. （1）该市举办方应该邀请多少支球队参赛？ （2）此次比赛结束后，如果其中一支参赛球队共平了4场，负了2场，则该球队此次比赛的总积分是多少？ 答案：（1）该市举办方应邀请6支球队参赛 （2）该球队此次比赛的总积分是16分 解析：（1）设该市举办方应邀请x支球队参赛. 由题意，得， 解得，（不合题意，舍去）. 答：该市举办方应邀请6支球队参赛. （2）由（1），得30场比赛共6支球队参赛，因此每支球队共比赛10场. （分）. 答：该球队此次比赛的总积分是16分. 4．甲、乙两个机器人分别从相距70米的A，B两个位置同时出发，相向运动.甲第1分钟走了2米，且以后每分钟比前1分钟多走1米，乙每分钟走5米. （1）甲、乙开始运动多少分钟后第一次相遇？ （2）如果甲、乙到达B或A后立即折返，甲继续每分钟比前1分钟多走1米，乙继续按照每分钟5米的速度行走，那么它们开始运动多少分钟后第二次相遇？ 答案：（1）甲、乙开始运动7分钟后第一次相遇 （2）它们开始运动15分钟后第二次相遇 解析：（1）设甲、乙开始运动m分钟后第一次相遇. 依题意，得， 整理，得， 解得，（不合题意，舍去）. 答：甲、乙开始运动7分钟后第一次相遇. （2）设它们开始运动n分钟后第二次相遇. 依题意，得， 整理，得， 解得，（不合题意，舍去）. 答：它们开始运动15分钟后第二次相遇. 考点5 三种思想 思想1 整体思想 典例剖析7 典例7．若α，β是方程x2+2x-2005=0的两个实数根，则α2+3α+β的值为（　　） A. 2005 B. 2003 C. -2005 D. 4010 【答案】B 【解析】根据一元二次方程根的定义和根与系数的关系求解则可．设x1，x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a,b,c为常数）的两个实数根，则x1+x2=，x1x2=．而α2+3α+β=α2+2α+（α+β），即可求解． 解：α，β是方程x2+2x-2005=0的两个实数根，则有α+β=-2． α是方程x2+2x-2005=0的根，得α2+2α-2005=0，即：α2+2α=2005． 所以α2+3α+β=α2+2α+（α+β）=α2+2α-2=2005-2=2003． 故选：B． 针对练习7 1．已知是方程的两个根，则的值为（ ） A. 9 B. 10 C. 12 D. 15 【答案】A 【解析】由α、β是方程x2+2017x+1=0的两个根，可得α2+2017α+1=0，β2+2017β+1=0，α+β=-2017，αβ=1，在将（1+2020α+α2）（1+2020β+β2）进行适当的变形，即可求出结果． ∵α，β是方程x2+2017x+1=0的两个根， ∴α2+2017α+1=0，β2+2017β+1=0，α+β=-2017，αβ=1， ∴（1+2020α+α2）（1+2020β+β2） =（1+2017α+α2+3α）（1+2017β+β2+3β） =9αβ =9， 故选：A． 【点睛】考查一元二次方程的根的意义、根与系数的关系，将要求的代数式进行适当的变形，利用整体代入是常用的方法，也是最有效的方法． 2．已知m,n是一元二次方程x2+3x-6=0的两个根，则m2+mn+3m的值为（　　） A. 0 B. 3 C. 6 D. 13 【答案】A 【解析】先根据一元二次方程根的定义得到m2+3m=6，根与系数的关系得到mn=-6，然后利用整体代入的方法计算即可． 解：∵m、n是一元二次方程x2+3x-6=0的根， ∴m2+3m-6=0，mn=-6， 即m2+3m=6， ∴m2+mn+3m=m2+3m+mn=6-6=0， 故选：A． 3．阅读材料，解答问题： 已知实数m,n满足m2-m-1=0，n2-n-1=0，且m≠n,则m,n是方程x2-x-1=0的两个不相等的实数根，由韦达定理可知m+n=1，mn=-1． 根据上述材料，解决以下问题： （1）直接应用： 已知实数a,b满足：a2-7a+1=0，b2-7b+1=0且a≠b,则a+b=_____，ab=_____； （2）间接应用： 在（1）的条件下，求的值； （3）拓展应用： 已知实数m,n满足：，n2-n=7且mn≠-1，求的值． 【答案】(1)7;(2)1; 【解析】（1）由韦达定理即可求解； （2）结合（1）的过程，将平方后变形为+，再代入数据即可得出结论； （3）令，-n=b,则a2+a-7=0，b2+b-7=0，可得a,b是方程x2+x-7=0的两个不相等的实数根，可得∴，将其代入即可求解． 解：（1）∵实数a,b满足：a2-7a+1=0，b2-7b+1=0且a≠b, ∴a,b是方程x2-7x+1=0的两个不相等的实数根， ∴a+b=7，ab=1． 故答案为：7，1； （2）由（1）得，（）2=++=+=7+2=9， ∴（取正）； （3）令，-n=b,则a2+a-7=0，b2+b-7=0， ∵mn≠-1， ∴，即a≠b, ∴a,b是方程x2+x-7=0的两个不相等的实数根， ∴， 故． 4．阅读材料，解答问题： 材料1 为了解方程（x2）2-13x2+36=0，如果我们把x2看作一个整体，然后设y=x2，则原方程可化为y2-13y+36=0，经过运算，原方程的解为x1，2=±2，x3，4=±3．我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法． 材料2 已知实数m,n满足m2-m-1=0，n2-n-1=0，且m≠n,显然m,n是方程x2-x-1=0的两个不相等的实数根，由韦达定理可知m+n=1，mn=-1． 根据上述材料，解决以下问题： （1）直接应用： 方程x4-5x2+6=0的解为 _____； （2）间接应用： 已知实数a,b满足：2a4-7a2+1=0，2b4-7b2+1=0且a≠b,求a4+b4的值； （3）拓展应用： 已知实数m,n满足：+=7，n2-n=7且n＞0，求+n2的值． 【答案】x1=，x2=-，x3=，x4=- 【解析】（1）利用换元法降次解决问题； （2）模仿例题解决问题即可； （3）令=a,-n=b,则a2+a-7=0，b2+b-0，再模仿例题解决问题． 解：（1）令y=x2，则有y2-5y+6=0， ∴（y-2）（y-3）=0， ∴y1=2，y2=3， ∴x2=2或3， ∴x1=，x2=-，x3=，x4=-； 故答案为：x1=，x2=-，x3=，x4=-； （2）∵a≠b, ∴a2≠b2或a2=b2， ①当a2≠b2时，令a2=m,b2=n. ∴m≠n,则2m2-7m+1=0，2n2-7n+1=0， ∴m,n是方程2x2-7x+1=0的两个不相等的实数根， ∴， 此时a4+b4=m2+n2=（m+n）2-2mn=． ②当a2=b2（a=-b）时，a2=b2=，此时a4+b4=2a4=2（a2）2=， 综上所述，a4+b4=或． （3）令=a,-n=b,则a2+a-7=0，b2+b-7=0， ∵n＞0， ∴≠-n,即a≠b, ∴a,b是方程x2+x-7=0的两个不相等的实数根， ∴， 故+n2=a2+b2=（a+b）2-2ab=15． 思想2 转化思想 典例剖析8 典例8．已知关于y的一元二次方程（m+1）y2-3my-9=0的根都是整数，且m满足等式，则满足条件的所有整数m的和是（　　） A. -5 B. -4 C. 0 D. -6 【答案】D 【解析】根据二次根式有意义的条件，根据因式分解法得到方程的解，进一步得到满足条件的所有整数m的和． 解：∵m满足等式， ∴1-m≥0， 解得m≤1， （m+1）y2-3my-9=0， （y-3）[（m+1）y+3]=0， 解得y1=3，y2=-， ∵关于y的一元二次方程（m+1）y2-3my-9=0的根都是整数， ∴m=0，-2，-4， ∴满足条件的所有整数m的和是0-2-4=-6． 故选：D． 针对练习8 1．一张桌子的桌面长为6m,宽为4m,台布面积是桌面面积的2倍，如果将台布铺在桌子上，各边垂下的长度相同．求这块台布的长和宽． 【解析】设台布各边垂下的长度是xm,根据“台布面积是桌面面积的2倍”作为相等关系列方程（6+2x）（4+2x）=2×4×6，解方程即可求解． 解：设台布各边垂下的长度是xm,依题意得（6+2x）（4+2x）=2×4×6， 解得x1=-6（不合题意，舍去），x2=1， 所以6+2x=8， 4+2x=6． 答：这块台布的长和宽分别是8m和6m. 2．如图，在宽为20m,长为32m的矩形地上，修筑同样宽的三条道路，把耕地分成大小不等的六块，要使耕地面积为570m2，求道路的宽为多少米？ 【解析】把修筑的三条道路分别平移到矩形的最左边和最上边，则剩余的耕地也是一个矩形，设道路的宽为x米，根据矩形面积公式列方程，然后求出解． 解：设道路的宽为x米， 依题意得（32-2x）（20-x）=570， 解得x1=1   x2=35（不符合题意舍去）． 答：道路的宽为1米． 3．在北京2008年第29届奥运会前夕，某超市在销售中发现：奥运会吉祥物“福娃”平均每天可售出20套，每件盈利40元．为了迎接奥运会，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存，经市场调查发现：如果每套降价1元，那么平均每天就可多售出2套．要想平均每天在销售吉祥物上盈利1200元，那么每套应降价多少？ 【解析】设每套降价x元，那么就多卖出2x套，根据扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存，每天在销售吉祥物上盈利1200元，可列方程求解． 解：设每套降价x元， 由题意得：（40-x）（20+2x）=1200 即2x2-60x+400=0， ∴x2-30x+200=0， ∴（x-10）（x-20）=0， 解之得：x=10或x=20 为了减少库存，所以x=20． 每套应降价20元． 思想3 分类讨论思想 典例剖析9 典例9．定义：已知,是关于x的一元二次方程的两个实数根,若,且,则称这个方程为“限根方程”.如：一元二次方程的两根为,,因,,所以一元二次方程为“限根方程”. 请阅读以上材料,回答下列问题： (1)判断一元二次方程是否为“限根方程”,并说明理由； (2)若关于x的一元二次方程是“限根方程”,且两根、满足,求k的值； (3)若关于x的一元二次方程是“限根方程”,求m的取值范围. 答案：(1)此方程为“限根方程”,理由见解析 (2)k的值为2 (3)m的取值范围为或 解析：(1), , ∴或, ∴,. ∵,, ∴此方程为“限根方程”； (2)∵方程的两个根分比为、, ∴,. ∵, ∴, 解得：,. 分类讨论：①当时,原方程为, ∴,, ∴,, ∴此时方程是“限根方程”, ∴符合题意； ②当时,原方程为, ∴,, ∴,, ∴此时方程不是“限根方程”, ∴不符合题意. 综上可知k的值为2； (3), , ∴或, ∴,或,. ∵此方程为“限根方程”, ∴此方程有两个不相等的实数根, ∴,且, ∴,即, ∴且. 分类讨论：①当时, ∴,, ∵, ∴, 解得：； ②当时, ∴,, ∵, ∴, 解得：. 综上所述,m的取值范围为或. 针对练习9 1．已知关于x的一元二次方程. （1）求证：不论k取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程两根的和比两根的积大1，求k的值； （3）若的两边a，b的长是这个方程的两个实数根，第三边c的长为2，当是等腰三角形时，求k的值. 答案：（1）见解析 （2）k的值为1或2 （3）k的值为2或3 解析：（1）证明：， ， 不论k取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）设，是关于x的一元二次方程的两个实数根， ，， 方程两根的和比两根的积大1， ，即， 解得或， 故k的值为1或2； （3）原方程分解因式得：， ，， 的边，， 是等腰三角形，第三边c的长为2， 或， 或3. ，或，， 当，，时，，能构成三角形； 当，，时，，能构成三角形； 故k的值为2或3. 2．已知关于x的方程. (1)若是方程的一个根，求m的值和方程的另一根； (2)当m为何实数时，方程有实数根； (3)若，是方程的两个根，且，试求实数m的值. 答案：(1)另一根为 (2) (3). 解析：(1)将代入原方程得， 解得：， 设方程的另一根是x，则， 另一根为. （2）分情况讨论： 当时，方程是一元一次方程，，此时的实数解为； 当m不等于1时，原方程为一元二次方程，要使方程有实数根， 则有， . 解得：. 即当时，方程有实数根. (3)，. . 解得：，， ， . 学科网（北京）股份有限公司 $$