10.1.1复数的概念课件-2024-2025学年高一下学期数学人教B版（2019）必修第四册

10．1.1　复数的概念 新知初探·自主学习 课堂探究·素养提升 课程标准 1.通过方程的解，认识复数． 2．理解复数的代数表示，理解两个复数相等的含义． 新知初探·自主学习 教 材 要 点 知识点一　复数的有关概念 1．复数 (1)定义：设a，b都是实数，形如a＋bi的数叫做复数，其中i叫做________，满足i2＝________，a叫做复数的________，b叫做复数的________． (2)表示方法：复数通常用__________表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，这一表示形式叫做复数的代数形式． 2．复数集 (1)定义：________所构成的集合叫做复数集． (2)表示：通常用大写字母C表示． 虚数单位 －1 实部 虚部 小写字母z 所有复数 3．复数相等的充要条件 设a，b，c，d都是实数，则a＋bi＝c＋di⇔___________，a＋bi＝0⇔____________． 知识点二　复数的分类 1．复数z＝a＋bi(a，b∈R) 2．复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系： a＝c且b＝d a＝0且b＝0 实数 虚数 a＝0，b≠0 a≠0或b＝0 基 础 自 测 1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若a，b为实数，则z＝a＋bi为虚数．(　　) (2)若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数．(　　) (3)两个虚数不能比较大小．(　　) 解析：错误．若b＝0，则z＝a＋bi为实数． × 解析：错误．当a＝－1时，(a＋1)i不是纯虚数． 解析：正确． × √ 2．若复数2－bi(b∈R)的实部与虚部互为相反数，则b的值为(　　) A．－2 B． C．－ D．2 答案：D 解析：2－bi的实部为2，虚部为－b，由题意知2＝－(－b)，所以b＝2. 3．复数(2－)i的虚部为(　　) A．2 B．－ C．2－ D．0 答案：C 解析：由复数定义知C正确． 4．已知(2m－5n)＋3i＝3n－(m＋5)i，m，n∈R，则m＋n＝________． －10 解析：由复数相等的条件，得解得 ∴m＋n＝－10. 课堂探究·素养提升 题型1　复数的有关概念 例1　(1)下列命题中，真命题的个数是(　　) ①若x，y∈C，则x＋yi＝1＋i的充要条件是x＝y＝1； ②若a，b∈R且a>b，则a＋i>b＋i； ③若x2＋y2＝0，则x＝y＝0. A．0　　　B．1 C．2　　　D．3 【答案】　A 【解析】　①由于x，y∈C，所以x＋yi不一定是复数的代数形式，不符合复数相等的充要条件，所以①是假命题． ②由于两个虚数不能比较大小，所以②是假命题． ③当x＝1，y＝i时，x2＋y2＝0成立，所以③是假命题． (2)给出下列三个命题： ①若z∈C，则z2≥0； ②2i－1虚部是2i； ③2i的实部是0. 其中真命题的个数为(　　) A．0　　　B．1 C．2　　　D．3 【答案】　B 【解析】　对于①，当z∈R时，z2≥0成立，否则不成立，如z＝i，z2＝－1<0，所以①为假命题； 对于②，2i－1＝－1＋2i，其虚部为2，不是2i，所以②为假命题； 对于③，2i＝0＋2i, 其实部是0，所以③为真命题． (3)请说出下列复数的实部和虚部，并判断它们是实数，虚数，还是纯虚数． ①2＋3i；②－3＋i；③＋i；④π；⑤－i；⑥0. 首先将所给的复数化简为复数的代数形式，然后根据实部与虚部的概念确定实部、虚部． 【解析】　①的实部为2，虚部为3，是虚数．②的实部为－3，虚部为，是虚数．③的实部为，虚部为1，是虚数．④的实部为π，虚部为0，是实数．⑤的实部为0，虚部为－，是纯虚数．⑥的实部为0，虚部为0，是实数． 方法归纳 1．正确理解复数的有关概念是解答复数概念题的关键，另外在判断命题的正确性时，需通过逻辑推理加以证明，但否定一个命题的正确性时，只需举一个反例即可，所以在解答这类题型时，可按照“先特殊，后一般”“先否定，后肯定”的方法进行解答． 2．准确理解复数的实部与虚部的概念 复数a＋bi(a，b∈R)中，实数a和b分别叫做复数的实部和虚部．特别注意，b为复数的虚数单位的系数，b连同它的符号叫做复数的虚部． 跟踪训练1　(1)复数a＋bi(a，b∈R)为纯虚数是a＝0的_________条件． 充分不必要 解析：若a＋bi为纯虚数，则必有a＝0，故为充分条件；但若a＝0且b＝0时，a＋bi＝0为实数，故不是必要条件． (2)已知复数z＝a2－(2－b)i的实部和虚部分别是2和3，则实数a，b的值分别是(　　) A．，1 B．，5 C．±，5 D．±，1 答案：C 解析：令得a＝±，b＝5. 题型2　复数的分类 例2　已知复数z＝＋(a2－5a－6)i(a∈R)，试求实数a分别取什么值时，z分别为：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数． 根据复数z为实数、虚数及纯虚数的充要条件列方程(不等式)组求解． 【解析】　(1)当z为实数时，则 ∴ ∴当a＝6时，z为实数． (2)当z为虚数时， 则 ∴ ∴当a≠±1且a≠6时，z为虚数． (3)当z为纯虚数时， 则 ∴ ∴不存在实数a使z为纯虚数． 方法归纳 利用复数的代数形式对复数分类时，关键是根据分类标准列出实部、虚部应满足的关系式(等式或不等式(组))，求解参数时，注意考虑问题要全面． 跟踪训练2　已知m∈R，复数z＝＋(m2＋2m－3)i，当m为何值时： (1)z∈R；(2)z是虚数；(3)z是纯虚数；(4)z＝－4i. 解析：(1)∵z∈R， ∴即 ∴当m＝－3时，z∈R. (2)∵z是虚数， ∴即 ∴当m≠1且m≠－3时，z是虚数． (3)∵z是纯虚数， ∴即 ∴当m＝0或m＝－2时，z是纯虚数． (4)∵z＝－4i， ∴即 ∴m＝－1时，z＝－4i. 题型3　复数相等的条件 例3　(1)已知2x－1＋(y＋1)i＝x－y＋(－x－y)i，求实数x，y的值． 根据复数相等的充要条件求解．   (2)已知关于x的方程(x2＋x＋3m)－(2x＋1)i＝0有实数根，求实数m的值． 【解析】　(1)∵x，y为实数，∴2x－1，y＋1，x－y，－x－y均为实数． 由复数相等的定义知∴ (2)设a是原方程的实根，则(a2＋a＋3m)－(2a＋1)i＝0＋0i， 所以a2＋a＋3m＝0且2a＋1＝0， 所以a＝－且(－)2－＋3m＝0，所以m＝. 方法归纳 应用复数相等的充要条件时，要注意： (1)必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等，虚部与虚部相等列方程组． (2)利用这一结论，可以把“复数相等”这一条件转化为两个实数等式，为应用方程思想提供了条件，同时这也是复数问题实数化思想的体现，这一思想在解决复数问题中非常重要． 跟踪训练3　(1)若(2x2－3x－2)＋(x2－5x＋6)i＝0，求实数x的值；     解析：∵(2x2－3x－2)＋(x2－5x＋6)i＝0， ∴解得x＝2. (2)关于x的方程3x2－x－1＝(10－x－2x2)i有实根，则实数a的值为________． 11或－ 解析：由题意得解得a＝11或a＝－. 题型4　复数的不相等关系 【思考探究】　1.4＋2i>3＋i正确吗？ [提示]　不正确，如果两个复数不全是实数，那么它们就不能比较大小． 2．若(a－2)＋bi>0，则实数a，b满足什么条件？ [提示]　b＝0，a>2. 例4　已知复数x2－1＋(y＋1)i大于复数2x＋3＋(y2－1)i，试求实数x，y的取值范围． 【解析】　因为x2－1＋(y＋1)i>2x＋3＋(y2－1)i， 所以 即 解不等式x2－2x－4>0，得x>1＋或x<1－. 所以实数x，y的取值范围分别是{x|x<1－或x>1＋}，{y|y＝－1}． 状元随笔　两复数若能比较大小，则两复数的虚部都为零．只需满足一复数的实部大于另一复数的实部． 方法归纳 实数属于复数，但复数不一定是实数，因此实数的有些性质不适用于复数，如实数能比较大小，而复数中只有等与不等的关系，不能比较大小．只有当两个复数都是实数时才能比较大小．换言之，若两个复数能比较大小，则它们必为实数，即若a＋bi>c＋di(a，b，c，d∈R)，则 跟踪训练4　若复数z＝(m＋1)＋(m2－9)i<0，则实数m的值等于________． －3 解析：因为z<0，所以所以m＝－3. $$