精品解析：江苏省无锡市洛社初级中学2022-2023学年九年级上学期学科竞赛数学试卷

无锡市洛社初级中学2022—2023学年第一学期 学科竞赛 初三数学试卷 一、选择题（共10小题，每题3分，共30分） 1. 下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知是方程的一个根，则的值是（ ） A. B. 4044 C. D. 3. 已知，⊙O的半径是一元二次方程x2﹣5x﹣6＝0的一个根，圆心O到直线l的距离d＝4，则直线l与⊙O的位置关系是（　　） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 平行 4. 在Rt△ABC中，斜边AB的长为m，∠B=40° ，则直角边AC的长是（ ） A. m sin40° B. mcos40° C. mtan 40° D. 5. 抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是（　　） A. B. C. D. 6. 《九章算术》是我国古代著名数学著作，书中记载：“今有圆材，埋在壁中，不知大小以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用数学语言可表述为：“如图，为的直径，弦于，寸，寸，求直径的长.”则 A. 寸 B. 寸 C. 寸 D. 寸 7. 如图，A、B、C是⊙O上的点，且∠ACB＝140°．在这个图中，画出下列度数的圆周角：40°，50°，90°，140°，仅用无刻度的直尺能画出的有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 8. 2022年9月29日国产大飞机C919从上海浦东机场第四跑道起飞，并于9时54分安全着陆，这标志着我国具备了按照国际通行适航标准研制大型客机的能力，如果某型号飞机降落后滑行的距离s（单位：米）关于滑行的时间t（单位：秒）的函数解析式是，则该飞机着陆后滑行最长时间为（　　） A. 243秒 B. 486秒 C. 18秒 D. 36秒 9. 如图，在中，，，，点 是 边上一点，将 沿着过点 的一条直线翻折，使得点 落在边 上的点 处，连接 ， 如果 ， 那么 的长为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，若抛物线与x轴正半轴相交于点A，点P是y轴上一动点，过点P作直线轴，与抛物线相交于B，C两点（B在C的左侧），过点C作轴于D，连接，若将四边形的面积分成的两部分，则的解析式为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共8小题，每题3分，共24分） 11. 关于x的一元二次方程有一个根是0，则k的值是________ 12. 若是锐角，，则_________． 13. 某圆锥的母线长是2，底面半径是1，则该圆锥的侧面积是______． 14. 如图，AD为△ABC的外接圆⊙O的直径，若∠BAD＝58°，则∠ACB＝____． 15. 大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，P为的黄金分割点，如果的长度为，那么的长度为______ ． 16. 如图，在边长1正网格中，A、B、C都在格点上，AB与CD相交于点D，则sin ∠ADC=_____． 17. 如图，在边长为2的正方形ABCD中，以点D为圆心．AD的长为半径画弧，再以BC为直径画半圆．若阴影部分①的面积为S1，阴影部分②的面积为S2，则S2-S1的值为______． 18. “曲柄摇杆机构”是一种运动零件．图1是某个“曲柄摇杆”的示意图，它由四条固定长度的线段组成，其中是静止不动的机架，是绕做圆周运动的曲柄，是绕上下摆动的摇杆，是连结和两个运动的连杆，A，B，C，D始终在同一平面内．已知．当D运动到图2位置时，记，的交点为，现测得，，，则_________．图2之后，D绕A继续运动，当C再次回到图2位置时（如图3），则此时“曲柄摇杆”所围成的四边形的面积为_________． 三、解答题（共9小题，共计96分） 19. 计算： （1） （2） 20. 解方程： （1） （2） 21. 已知：关于x的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程有两个相等的实数根，求m的值及方程的根． 22. 如图，在中，、分别在、上，于点，于点，． （1）求证：． （2）若，，求的值． 23. 如图，AB是的直径，AN、AC是的弦，P为AB延长线上一点，AN、PC的延长线相交于点M，且，． （1）试判断直线PC与的位置关系，并说明理由； （2）若，，求MN的长． 24. 如图，某小区A栋楼在B栋楼的南侧，两楼高度均为，楼间距为，春分日正午，太阳光线与水平面所成的角为，A栋楼在B栋楼墙面上的影高为；冬至日正午，太阳光线与水平面所成的角为，A栋楼在B栋楼墙面上的影高为，已知，（参考数据，） （1）求楼间距；（结果保留根号） （2）王老师家住B栋3楼，点M处为地面1楼，楼房层高米，问王老师家能否照到春分日正午的太阳?并说明理由． 25. 如图，在等边中，点、分别在、边上． （1）在边上求作点，使；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，请找出所有满足条件的点．） （2）若，，设，若要使得（1）中只能作出唯一的点，则的值应该满足什么条件？请通过计算说明． 26. 新冠疫情蔓延全球，口罩成了人们的生活必需品，某药店销售普通口罩和N95口罩，今年8月份的进价如下表： 普通口罩 N95口罩 进价（元/包） 8 20 （1）计划N95口罩每包售价比普通口罩贵16元，7包普通口罩和3包N95口罩总售价相同，求普通口罩和N95口罩每包售价； （2）按（1）中售价销售一段时间后发现普通口罩的日均销售量为120包，当每包售价降价1元时，日均销售量增加20包，该药店秉承让利于民的原则，对普通口罩进行降价销售，但要保证当天的利润为320元，求此时普通口罩每包售价； （3）疫情期间，该药店进货2万包N95口罩，进价不变，店长向当地医院捐赠了a包，该款口罩，剩余的N95口罩向市民销售，若这2万包口罩的利润等于，则N95口罩每包售价是________元．（直接写出答案，售价为整数元） 27. 如图，正方形的边长为8，是的中点，是边上的动点，连结，以点为圆心，长为半径作． （1）当__________时，； （2）当与正方形的边相切时，求的长； （3）设的半径为x，请直接写出正方形中恰好有两个顶点在圆内的x的取值范围． 28. 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线交x轴于点A，交y轴于点C，抛物线经过A、C两点，交x轴于另一点B． （1）如图1，求的值； （2）如图2，P为第二象限抛物线上的点，轴于点D，交于点E，点G在上，且，设P点的横坐标为t，线段的长为d，求d与t之间的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）； （3）如图3，在的条件下，连接，在线段上取点H，连接，若，过H作交于点M，且，求点P的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 无锡市洛社初级中学2022—2023学年第一学期 学科竞赛 初三数学试卷 一、选择题（共10小题，每题3分，共30分） 1. 下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是． 本题根据一元二次方程的定义求解． 【详解】解：A、该方程属于分式方程，不符合题意； B、该方程中，当a＝0时，它不是关于x的一元二次方程，不符合题意； C、化简得：符合一元二次方程的定义，符合题意； D、该方程中含有2个未知数，它不是关于x的一元二次方程，不符合题意； 故选：C． 2. 已知是方程的一个根，则的值是（ ） A. B. 4044 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据方程根的定义，把代入方程中得到，即，整体代入即可得到答案． 【详解】解：根据题意，把代入方程中， ，即， ， 故选：B． 【点睛】本题考查代数式求值，涉及方程根的定义，将代入方程中得到是解决问题的关键． 3. 已知，⊙O的半径是一元二次方程x2﹣5x﹣6＝0的一个根，圆心O到直线l的距离d＝4，则直线l与⊙O的位置关系是（　　） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 平行 【答案】A 【解析】 【分析】先求方程的根，可得r的值，由直线与圆的位置关系的判断方法可求解． 【详解】∵x2﹣5x﹣6＝0 ∴x1＝﹣1，x2＝6 ∵⊙O的半径为一元二次方程x2﹣5x﹣6＝0的根， ∴r＝6 ∵d＜r ∴直线l与⊙O的位置关系是相交 故选A． 【点睛】本题考查的是直线与圆的位置关系，解决此类问题可通过比较圆心到直线距离d与圆半径大小关系完成判定． 4. 在Rt△ABC中，斜边AB的长为m，∠B=40° ，则直角边AC的长是（ ） A. m sin40° B. mcos40° C. mtan 40° D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用正弦函数值的定义，即可求出． 【详解】解：在Rt△ABC中， ． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了利用锐角三角函数值求解直角三角形，熟练掌握三角锐角函数的定义，是求解该题的关键． 5. 抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数平移的性质，即可求解． 【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线的顶点坐标为， ∴平移后得到的抛物线是． 故选：D 【点睛】本题主要考查了二次函数的平移，熟练掌握二次函数平移的性质是解题的关键． 6. 《九章算术》是我国古代著名数学著作，书中记载：“今有圆材，埋在壁中，不知大小以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用数学语言可表述为：“如图，为的直径，弦于，寸，寸，求直径的长.”则 A. 寸 B. 寸 C. 寸 D. 寸 【答案】C 【解析】 【分析】连接AO，根据垂径定理及勾股定理即可求出半径，即可求出CD的长. 【详解】如图，连接AO，设AO=OD=r， 故OE=r-1， ∵AB=10，∴AE=5， 由AO2=AE2+OE2，即r2=52+( r-1)2， 解得r=13，故CD=2r=26 故选C 【点睛】此题主要考查垂径定理，解题的关键是根据勾股定理进行求解. 7. 如图，A、B、C是⊙O上的点，且∠ACB＝140°．在这个图中，画出下列度数的圆周角：40°，50°，90°，140°，仅用无刻度的直尺能画出的有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】作直径AD，连接BD，在上取一点E，连接AE、BE，如图，利用圆周角定理得到∠AEB＝140°，∠ABD＝90°，利用圆内接四边形的性质得到∠D＝40°，根据互余可计算出∠BAD＝50°． 【详解】解：作直径AD，连接BD、AB，如图， ∵∠ACB+∠D＝180°， ∴∠D＝180°﹣140°＝40°， ∵AD为直径， ∴∠ABD＝90°， ∴∠BAD＝90°﹣∠D＝50°； 在上取一点E，连接AE、BE， ∴∠AEB＝∠ACB＝140°． 故选：D． 【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． 8. 2022年9月29日国产大飞机C919从上海浦东机场第四跑道起飞，并于9时54分安全着陆，这标志着我国具备了按照国际通行适航标准研制大型客机的能力，如果某型号飞机降落后滑行的距离s（单位：米）关于滑行的时间t（单位：秒）的函数解析式是，则该飞机着陆后滑行最长时间为（　　） A. 243秒 B. 486秒 C. 18秒 D. 36秒 【答案】C 【解析】 【分析】把二次函数解析式化为顶点式，即可求解． 【详解】解∶ ， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴当时，s有最大值，， ∵飞机滑行到最大距离停下来，此时滑行的时间最长， ∴该飞机着陆后滑行最长时间为18秒． 故选：C 【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，明确题意并正确地将二次函数的一般式写成顶点式是解题的关键． 9. 如图，在中，，，，点 是 边上一点，将 沿着过点 的一条直线翻折，使得点 落在边 上的点 处，连接 ， 如果 ， 那么 的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称，相似三角形的判定与性质，正切值等知识点．解题的关键与难点在于相似比找出线段之间的数量关系． 由题意知，，和关于过点的直线对称，如图所示，，，有，，故有，；得，求出，，的值，进而得出的值． 【详解】解：由题意知，和关于过点的直线对称，如图所示 在中， ， ， ∴ ∵， ∴， 在和中 ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴，， ∴ 故选：A． 10. 如图，若抛物线与x轴正半轴相交于点A，点P是y轴上一动点，过点P作直线轴，与抛物线相交于B，C两点（B在C的左侧），过点C作轴于D，连接，若将四边形的面积分成的两部分，则的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点、全等三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会利用此时解决问题． 设交于点M，交于点N，根据题意得出四边形为矩形，再由全等三角形的判定和性质确定，设，利用对称性及平行四边形的判定和性质得出，结合题意得出，再相似三角形的判定与性质得出，即可求解． 【详解】解：设交于点M，交于点N，如图所示： 根据题意得：， ， 四边形为矩形， , ， ， 设， 根据抛物线对称性得：， ， 四边形是平行四边形， 将四边形的面积分成的两部分，， 设， ， ， 解得：， 设直线的解析式为， 代入得：， 解得：， 直线的解析式为， 故选：D． 二、填空题（共8小题，每题3分，共24分） 11. 关于x的一元二次方程有一个根是0，则k的值是________ 【答案】-2 【解析】 【分析】把代入方程计算，检验即可求出k的值． 【详解】把代入方程得：， ， 可得或， 解得：或， 当时，，此时方程不是一元二次方程，舍去； 则k的值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，解一元二次方程以及一元二次方程的定义，熟练掌握解一元二次方程的方法是解本题的关键． 12. 若是锐角，，则_________． 【答案】##60度 【解析】 【分析】本题主要考查特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． 根据为锐角及解答即可． 【详解】解：∵是锐角，， ． 故答案为：． 13. 某圆锥的母线长是2，底面半径是1，则该圆锥的侧面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】圆锥的侧面积就等于圆锥母线长乘底面周长的一半．依据此公式计算即可． 【详解】解：∵底面半径为1， ∴圆锥的底面周长为， ∴侧面积， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了圆锥的侧面积的计算公式，牢记公式是解题的关键． 14. 如图，AD为△ABC的外接圆⊙O的直径，若∠BAD＝58°，则∠ACB＝____． 【答案】32° 【解析】 【分析】连接OB，根据圆周角定理，利用，求出，再利用，求出，再利用圆周角定理可求出． 【详解】解：连接OB， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查圆周角定理，解题的关键是理解圆周角定理，求出． 15. 大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，P为的黄金分割点，如果的长度为，那么的长度为______ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割，根据P为的黄金分割点，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵P为的黄金分割点，且的长度为， ∴， 即， 故答案为：． 16. 如图，在边长1正网格中，A、B、C都在格点上，AB与CD相交于点D，则sin ∠ADC=_____． 【答案】## 【解析】 【分析】将转化成其他相等的角，在直角三角形中，利用正弦函数值的定义求解即可． 【详解】解：延长CD交正方形的另一个顶点为，连接BE，如下图所示： 由题意可知：，， 根据正方形小格的边长及勾股定理可得：，， 在中，， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要是考查了勾股定理和求解正弦值，熟练地找到所求角在的直角三角形，利用正弦函数值的定义进行求解，这是解决该题的关键． 17. 如图，在边长为2的正方形ABCD中，以点D为圆心．AD的长为半径画弧，再以BC为直径画半圆．若阴影部分①的面积为S1，阴影部分②的面积为S2，则S2-S1的值为______． 【答案】-4 【解析】 【分析】根据图形得到S2-S1=扇形ADC的面积+半圆BC的面积-正方形ABCD的面积，根据扇形面积公式计算即可． 【详解】由图形可知，扇形ADC的面积+半圆BC的面积+阴影部分①的面积-正方形ABCD的面积=阴影部分②的面积， ∴S2-S1=扇形ADC的面积+半圆BC的面积-正方形ABCD的面积 =+π×12-22 =-4， 故答案为：-4． 【点睛】本题考查的是扇形面积计算，掌握扇形面积公式：S=是解题的关键． 18. “曲柄摇杆机构”是一种运动零件．图1是某个“曲柄摇杆”的示意图，它由四条固定长度的线段组成，其中是静止不动的机架，是绕做圆周运动的曲柄，是绕上下摆动的摇杆，是连结和两个运动的连杆，A，B，C，D始终在同一平面内．已知．当D运动到图2位置时，记，的交点为，现测得，，，则_________．图2之后，D绕A继续运动，当C再次回到图2位置时（如图3），则此时“曲柄摇杆”所围成的四边形的面积为_________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是作辅助线，构造相似三角形及转化图形的面积． 延长交的延长线于，作交于，先解，求得和，推出是等腰三角形，设，在中列出方程，求得，再根据列出比例式，求得；在上截取，连接（即还原图2的的位置），根据勾股定理求得的长，进而求得及的面积，进而求得四边形的面积． 【详解】解：如图1， 延长交的延长线于，作交于， ，， ，， ， ， ， ， ，， ，， 设，则， 在中，由勾股定理得， ， ， ， ， 如图2， 是在图2的位置， 在和中， ， ， ，，， ， ， ， ， ， ， 故答案是：；． 三、解答题（共9小题，共计96分） 19. 计算： （1） （2） 【答案】（1）1 （2） 【解析】 【分析】此题考查了实数的混合运算，熟记运算法则和特殊角的三角函数值是解题的关键． （1）代入特殊角的三角函数值、计算算术平方根、计算零指数幂，再进行实数的混合运算即可． （2）代入特殊角的三角函数值、求负整数指数幂，然后计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 ． 20. 解方程： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法． （1）用公式法解一元二次方程即可； （2）用因式分解法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解： ， ， 则， ； 【小问2详解】 则或， 解得． 21. 已知：关于x的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程有两个相等的实数根，求m的值及方程的根． 【答案】（1） 证明：由题意得：， ， ， ∴方程总有两个实数根； （2）， 【解析】 【分析】（1）进行判别式的值得到，利用平方非负数的性质得，然后根据判别式的意义可判断方程总有两个实数根； （2）根据方程有两个相等的实数根得，先求出的值，再代入一元二次方程中求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， 此时方程为， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的个数与根的判别式之间的关系是解题的关键． 22. 如图，在中，、分别在、上，于点，于点，． （1）求证：． （2）若，，求的值． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴， ∵， ∴，即， 又∵， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，证明、是解题关键． （1）首先证明，结合即可证明结论； （2）由，推出，可得，再证明，可得，由此即可解决问题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）可知， ∴， ∵，， ∴， 由（1）可知， 又∵， ∴， ∴． 23. 如图，AB是的直径，AN、AC是的弦，P为AB延长线上一点，AN、PC的延长线相交于点M，且，． （1）试判断直线PC与的位置关系，并说明理由； （2）若，，求MN的长． 【答案】（1） 直线PC与⊙O相切．理由： 如图，连接OC，则 ∴ ∵ ∴ ∴ ∵AB为⊙O的直径 ∴ ∴ 即 ∴直线PC与⊙O相切． （2） 【解析】 【分析】（1）如图，连接OC，，，， ，是半径，进而可说明直线PC与⊙O相切． （2）如图，连接ON，，，为等边三角形；可知的值，，求得的值，求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接ON ∵，，， ∴，， ∵， ∴ ∴ ∴ ∵， ∴为等边三角形 ∴ ∴． 【点睛】本题考查了切线的判定，等边三角形的判定与性质，的直角三角形，三角形相似等知识点．解题的关键在于灵活综合运用知识． 24. 如图，某小区A栋楼在B栋楼的南侧，两楼高度均为，楼间距为，春分日正午，太阳光线与水平面所成的角为，A栋楼在B栋楼墙面上的影高为；冬至日正午，太阳光线与水平面所成的角为，A栋楼在B栋楼墙面上的影高为，已知，（参考数据，） （1）求楼间距；（结果保留根号） （2）王老师家住B栋3楼，点M处为地面1楼，楼房层高米，问王老师家能否照到春分日正午的太阳?并说明理由． 【答案】（1） （2） 不能．理由如下： 由（1）得， ， ∴， 王老师家距地面的距离为： ， ∵， ∴王老师家不能照到春分日正午的太阳． 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是添加辅助线，构造直角三角形． （1）连接，易得，，根据，进行求解即可； （2）求出的长，再求出王老师家离地面的高度，进行比较即可． 【小问1详解】 解：如图，连接，则，则：四边形为矩形， ∴， 由题意得，，． ∴，， 又∵， ∴， 解得， ∴； 【小问2详解】 略 25. 如图，在等边中，点、分别在、边上． （1）在边上求作点，使；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，请找出所有满足条件的点．） （2）若，，设，若要使得（1）中只能作出唯一的点，则的值应该满足什么条件？请通过计算说明． 【答案】（1）图见解析 （2），理由见解析 【解析】 【分析】（1）以为圆心，为半径作弧，交于点，作的外接圆与相交的点即为所求； （2）由（1）易知，设，建立方程，解方程即可． 【小问1详解】 以为圆心，为半径作弧，交于点，作的外接圆，交于、 如图，点、即为所求； 【小问2详解】 证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， ∴， ∴， ∴， 当该方程有两个不相等的实数根时，对应满足条件的点有两个， 当该方程有两个相等的实数根时，对应满足条件的点只有一个， 当该方程没有实数根时，对应满足条件的点不存在（这段话不需要写出来） ∵只能作出唯一的点， ∴该方程有两个相等的实数根， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了尺规作图，等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，解题的关键是根据相似比建立方程． 26. 新冠疫情蔓延全球，口罩成了人们的生活必需品，某药店销售普通口罩和N95口罩，今年8月份的进价如下表： 普通口罩 N95口罩 进价（元/包） 8 20 （1）计划N95口罩每包售价比普通口罩贵16元，7包普通口罩和3包N95口罩总售价相同，求普通口罩和N95口罩每包售价； （2）按（1）中售价销售一段时间后发现普通口罩的日均销售量为120包，当每包售价降价1元时，日均销售量增加20包，该药店秉承让利于民的原则，对普通口罩进行降价销售，但要保证当天的利润为320元，求此时普通口罩每包售价； （3）疫情期间，该药店进货2万包N95口罩，进价不变，店长向当地医院捐赠了a包，该款口罩，剩余的N95口罩向市民销售，若这2万包口罩的利润等于，则N95口罩每包售价是________元．（直接写出答案，售价为整数元） 【答案】（1）普通口罩和 N95 口罩每包售价分别为12元和28元；（2）10元；（3）32 【解析】 【分析】（1）设普通口罩和 N95 口罩每包售价分别为 x 元和 y 元，建立二元一次方程组，求解即可得到答案； （2）设普通口罩每包售价降低 a 元；根据当天的利润=每个普通口罩的利润当日普通口罩销售量的关系，列出并求解方程，即可得到答案； （3）设N95口罩每包售价是x元；根据总售价-总成本=总利润的关系，列出方程，再结合a的取值范围，求解不等式，即可完成求解． 【详解】（1）设普通口罩和 N95 口罩每包售价分别为 x 元和 y 元 由题意得， 解得， ∴普通口罩和 N95 口罩每包售价分别为 12 元和 28 元. （2）设普通口罩每包售价降低 a 元 由题意得 解得：a=2，a=-4（舍去） ∴此时普通口罩每包售价为 12-2=10元; （3）设N95口罩每包售价是x元 由题意得 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 即 x=32或33． 当x=33时，a不是整数， ∴N95口罩每包售价是32元． 【点睛】本题考查了二元一次方程组、一元二次方程、分式方程和不等式的知识；求解的关键是熟练掌握二元一次方程组、一元二次方程、分式方程和不等式的性质，从而完成求解． 27. 如图，正方形的边长为8，是的中点，是边上的动点，连结，以点为圆心，长为半径作． （1）当__________时，； （2）当与正方形的边相切时，求的长； （3）设的半径为x，请直接写出正方形中恰好有两个顶点在圆内的x的取值范围． 【答案】（1）； （2）BP的长为3或． （3） 【解析】 【分析】本题是圆的综合问题，主要考查切线的性质、正方形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题． （1）设，则，由可得到对应线段成比例，代入计算可得； （2）分别求出与边CD相切时和与边相切时的长即可得； （3）当PM＝5时，经过点M，点C；当经过点M、点D时，求得，继而求得，据此分析可得答案． 【小问1详解】 解：连接， 设，则， ∵，M是的中点， ∴， ∵， ∴当时，， ∴， 解得，， ∴当长为时，， 故答案为：； 【小问2详解】 解：如图，当与边相切时， 设， 则， 在中， ∵ ∴， 解得：， ∴； 如图，当与边相切时， 设切点为K，连接，则， ∴四边形是矩形， ∴， 设， 在中， ∵， ∴， 解得：， ∴， 综上，的长为3或． 【小问3详解】 解：由（2）得，如图1，当时，经过点M，点C； 如图3，当经过点M，点D时，设， ∵， ∴， ∴解得，，即， ∴ ， ∴． 28. 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线交x轴于点A，交y轴于点C，抛物线经过A、C两点，交x轴于另一点B． （1）如图1，求的值； （2）如图2，P为第二象限抛物线上的点，轴于点D，交于点E，点G在上，且，设P点的横坐标为t，线段的长为d，求d与t之间的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）； （3）如图3，在的条件下，连接，在线段上取点H，连接，若，过H作交于点M，且，求点P的坐标． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据，求出点，再求出直线的解析式，即可求解； （2）过点G作于点F，先求出点，可得，从而得到，进而得到，，根据勾股定理可得，再由，可得，从而得到，再根据P点的横坐标为t，可得，，从而得到，即可求解； （3）过点E作于点K，根据，可得，从而得到，进而得到，再根据勾股定理可得，然后根据，可得，再由，可得是等腰直角三角形，从而得到，进而得到，再由，，即可求解． 【小问1详解】 解：对于， 当时，， ∴点， 把点代入得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴点， 把代入得：， 解得：； 【小问2详解】 解：如图，过点G作于点F， 由（1）得抛物线解析式为， 当时，， 解得：， ∴点， ∵点， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵P为第二象限抛物线上的点，P点的横坐标为t， ∴，点， ∴，， ∴， ∴，即； 【小问3详解】 如图，过点E作于点K， ∵，， ∴，即， ∴， 由（2）得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 由（2）得：， ∵， ∴，解得：， ∴此时点P的坐标为． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合题，涉及了解直角三角形，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识，利用数形结合思想解答是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $