7.2.4.2 诱导公式五、六、七、八课件-2023-2024学年高一下学期数学人教B版（2019）必修第三册

第2课时　诱导公式五、六、七、八 新知初探·自主学习 课堂探究·素养提升 【课程标准】 借助单位圆的对称性，利用三角函数的定义推导出诱导公式(－α、α＋、α＋、－α的正弦、余弦)． 新知初探·自主学习 教 材 要 点 知识点一　诱导公式五 α与－α的三角函数间的关系： sin (－α)＝________，cos (－α)＝________． cos α sin α 状元随笔　(1)角 －α与角α的终边有什么样的位置关系？ [提示]　角 －α与角α的终边关于y＝x对称． (2)点P1(a，b)关于y＝x对称的对称点坐标是什么？ [提示]　点P1(a，b)关于y＝x对称的对称点坐标是P2(b，a)． 知识点二　诱导公式六 α与α＋的三角函数间的关系： sin (α＋)＝________，cos (α＋)＝________． 知识点三　诱导公式七 α与α＋的三角函数间的关系： sin (α＋)＝________，cos (α＋)＝________． 知识点四　诱导公式八 α与－α的三角函数间的关系： sin (－α)＝________，cos (－α)＝________． cos α －sin α －cos α sin α －cos α －sin α 状元随笔　各组诱导公式虽然形式不同，但存在着一定的规律，有人把它概括为“奇变偶不变，符号看象限”，你理解这句话的含义吗？ [提示]　诱导公式可以归纳为k·＋α(k∈Z)的三角函数值．当k为偶数时，得α的同名三角函数值；当k为奇数时，得α的异名三角函数值．然后，在前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，概括为“奇变偶不变，符号看象限”．值得注意的是，这里的奇和偶分别指的是的奇数倍或偶数倍；符号看象限指的是等式右边的正负号恰为把α看成锐角时，原函数值的符号． 基 础 自 测 1．sin 585°的值为(　　) A．－　　　　 B． C．－ D． 答案：A 解析：sin 585°＝sin (360°＋180°＋45°) ＝－sin 45°＝－.故选A. 2．已知sin 40°＝a，则cos 130°＝(　　) A．a B．－a C． D．－ 答案：B 解析：cos 130°＝cos (90°＋40°)＝－sin 40°＝－a. 3．若cos (＋θ)>0，且sin (－θ)<0，则θ是(　　) A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 答案：C 解析：由于cos (＋θ)＝－sin θ>0，所以sin θ<0， 又因为sin (－θ)＝cos θ<0，所以角θ的终边落在第三象限，故选C. 4．下列各式不正确的是(　　) A．sin (α＋180°)＝－sin α B．cos (－α＋β)＝－cos (α－β) C．sin (－α－360°)＝－sin α D．cos (－α－β)＝cos (α＋β) 答案：B 解析：cos (－α＋β)＝cos [－(α－β)]＝cos (α－β)，故B项错误． 课堂探究·素养提升 题型1　给角求值问题 例1　(1)求下列各三角函数值． ①sin (－)；②cos ； (2)求sin (2nπ＋)·cos (nπ＋)(n∈Z)的值． (1)直接利用诱导公式求解，注意公式的灵活选择． (2)分n为奇数、偶数两种情况讨论． 【解析】　(1)①sin (－) ＝－sin ＝－sin (2π＋)＝－sin ＝－sin (π＋)＝sin ＝. ②cos ＝cos (4π＋)＝cos ＝cos (π－)＝－cos ＝－. (2)①当n为奇数时， 原式＝sin (－cos )＝sin (π－)． [－cos (π＋)]＝sin ·cos ＝＝； ②当n为偶数时，原式＝sin ·cos ＝sin (π－)·cos (π＋) ＝sin ·(－cos ) ＝×(－)＝－. 方法归纳 (1)已知角求值的问题主要是利用诱导公式把任意角的三角函数值转化为锐角的三角函数值求解．一般是先利用公式二将负角化为正角，再利用公式一将任意角转化为0°～360°之间的角，然后利用公式三、公式四转化为0°～90°之间的角求解． (2)凡涉及参数n的三角函数求值问题．由于n为奇数、偶数时，三角函数值有所不同，故考虑对n进行分类讨论．其次，熟记诱导公式，熟悉各诱导公式的作用也是解题的关键． 跟踪训练1　求下列各三角函数值． (1)tan (－855°)； (2)sin π； (3)sin (π－α)＋cos (π－α)(k∈Z)． 解析：(1)tan (－855°)＝－tan 855°＝－tan (2×360°＋135°)＝－tan 135°＝－tan (180°－45°)＝tan 45°＝1. (2)sin ＝sin (2π＋)＝sin ＝sin () ＝cos ＝. (3)原式＝sin [kπ－(＋α)]＋cos [kπ＋(－α)]. 当k为奇数时，设k＝2n＋1(n∈Z)，则原式＝sin [(2n＋1)π－(＋α)]＋cos [(2n＋1)π＋(－α)] ＝sin [π－(＋α)]＋cos [π＋(－α)] ＝sin (＋α)＋[－cos (－α)] ＝sin (＋α)－cos [－(＋α)] ＝sin (＋α)－sin (＋α)＝0； 当k为偶数时，设k＝2n(n∈Z)，则 原式＝sin [2nπ－(＋α)]＋cos [2nπ＋(－α)] ＝－sin (＋α)＋cos (－α) ＝－sin (＋α)＋cos [－(＋α)] ＝－sin (＋α)＋sin (＋α)＝0. 综上所述，原式＝0. 题型2　给值(式)求值问题 例2　(1)已知cos (π＋α)＝－，求cos (＋α)的值； 【解析】　∵cos (π＋α)＝－cos α＝－，∴cos α＝，∴α为第一或第四象限角． ①若α为第一象限角， 则cos (＋α)＝－sin α＝－＝－＝－. ②若α为第四象限角， 则cos(＋α)＝－sin α＝＝＝. 状元随笔　 先根据诱导公式将待求式子化简，然后根据平方和为1去计算相应结果． (2)已知sin (－α)＝，则cos (＋α)的值为________； 【解析】　cos (＋α)＝cos [－(－α)] ＝sin (－α)＝. (3)(多选)已知角A，B，C是锐角三角形ABC的三个内角，下列结论一定成立的是(　　) A．sin (B＋C)＝sin A B．sin ()＝cos C．sin B<cos A D．cos (A＋B)<cos C 【答案】　ABD 【解析】　对于A，sin (B＋C)＝sin (π－A)＝sin A，正确； 对于B，sin ()＝sin ()＝cos ，正确； 对于C，若A＝60°，B＝45°，C＝75°，显然sin B＝>＝cos A，故错误； 对于D，cos (A＋B)＝cos (π－C)＝－cos C，由C为锐角，可得：cos C>0， 可得： cos (A＋B)＝－cos C<cos C，正确． 状元随笔　因为角A，B，C是锐角三角形的三个内角，所以角A，B，C内角和为180 °且均小于90 °. 方法归纳 (1)已知一个角的某种三角函数值，求这个角的其他三角函数值，若给定具体数值，但未指定角α的取值范围，就要进行讨论． (2)常见的互余关系有：－α与＋α；＋α与－α；＋α与－α等． (3)常见的互补关系有：＋θ与－θ；＋θ与－θ等． 跟踪训练2　(1)已知sin α＝，α∈(0，)，那么cos (π－α)等于(　　) A．－　　　 B．－ C． D． 先根据诱导公式将待求式子化简，然后根据平方和为1去计算相应结果． 答案：B 解析：因为cos (π－α)＝－cos α； 又因为sin2α＋cos2α＝1且α∈(0，)，所以cosα＝＝，所以cos(π－α)＝－，故选B. (2)若α∈(0，)，sin (＋α)＝，则cos (＋α)＝(　　) A．－ B． C．－ D． 答案：D 解析：因为sin (＋α)＝cos α＝，α∈(0，)， 所以sin α＝＝， 所以cos(＋α)＝sin α＝. (3)在△ABC中，sin (－A)＝3sin (π－A)，cos A＝－cos (π－B)，则△ABC为(　　) A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 答案：B 解析：由sin (－A)＝3sin (π－A)可得cos A＝3sin A，即tan A＝，又0<A<π，所以A＝，再由cos A＝－cos (π－B)可得cos A＝cos B，所以cos B＝，又0<B<π，所以B＝，所以C＝，所以△ABC为直角三角形． 题型3　利用诱导公式化简三角函数式 【思考探究】　1.利用诱导公式能否直接写出sin (kπ＋α)的值？ [提示]　不能．因为k是奇数还是偶数不确定． 当k是奇数时，即k ＝2n ＋1(n∈Z)，sin (kπ ＋α)＝sin (π ＋α) ＝－sin α； 当k是偶数时，即k ＝2n(n∈Z)，sin (kπ＋α) ＝sin α. 2．如何化简tan (π＋α)呢？ [提示]　当k为奇数时，即k＝2n＋1(n∈Z)， tan (＋α)＝tan (＋α)＝＝＝； 当k为偶数时，即k＝2n(n∈Z)，tan (＋α)＝tan α. 综上，tan (＋α)＝ 例3　已知α是第三象限角，f(α)＝. (1)化简f(α)； (2)已知f(α)＝－，求cos α－sin α的值． 【解析】　(1)f(α)＝ ＝ ＝－tan α. (2)由(1)f(α)＝－tan α＝－，知tan α＝， 因为α是第三象限角，所以α＝(2k＋1)π＋，k∈Z， 则sin α＝sin [(2k＋1)π＋]＝－sin ＝－， cos α＝cos [(2k＋1)π＋]＝－cos ＝－， 所以cos α－sin α＝. 状元随笔　(1)用诱导公式化简f(α)； (2)由正切值求出角α，然后计算sin α，cos α即得． 方法归纳 诱导公式综合应用要“三看” 一看角：①化大为小；②看角与角间的联系，可通过相加、相减分析两角的关系． 二看函数名称：一般是弦切互化． 三看式子结构：通过分析式子，选择合适的方法，如分式可对分子分母同乘一个式子变形． 跟踪训练3　化简(n∈Z)的结果为___________． 解析：①当n＝2k(k∈Z)时， 原式＝＝ ＝－sin α. ②当n＝2k＋1(k∈Z)时， 原式＝ ＝＝sin α. 所以化简所得的结果为(－1)n＋1sin α. (－1)n＋1sin α 教材反思 (1)诱导公式分类归纳： ①诱导公式一～四反映的是角π±α，2kπ±α，－α与α的三角函数值之间的关系，可借用口诀“函数名不变，符号看象限”来记忆． ②诱导公式五～八反映的是角±α与α的三角函数值之间的关系．可借用口诀“函数名改变，符号看象限”来记忆． (2)诱导公式共同特征 ①诱导公式一～四揭示了终边具有某种对称关系的两个角的三角函数之间的关系． ②这八组诱导公式可归纳为“k·±α(k∈Z)”的三角函数值与α的三角函数值之间的关系．当k为偶数时得角α的同名三角函数值，当k为奇数时得角α的异名三角函数值．然后在前面加上一个把角α看成锐角时原三角函数值的符号．可简记为“奇变偶不变，符号看象限”． ③诱导公式是三角变换的基本公式，其中角可以是一个单角，也可以是一个复角，应用时要注意整体把握，灵活变通． $$