7.2.4.1 诱导公式一、二、三、四课件-2023-2024学年高一下学期数学人教B版（2019）必修第三册

第1课时　诱导公式一、二、三、四 新知初探·自主学习 课堂探究·素养提升 【课程标准】 借助单位圆的对称性，利用三角函数的定义推导出诱导公式(α＋2kπ，π±α，－α的正弦、余弦、正切)． 新知初探·自主学习 教 材 要 点 知识点一　诱导公式一 sin (α＋k·2π)＝____________ cos (α＋k·2π)＝____________ tan (α＋k·2π)＝____________ sinα cos α tan α 知识点二　角的旋转、对称 如图，已知角α的终边为OA，将射线OA逆时针旋转θ到OB，顺时针旋转θ到OC； 则射线OB是____________，射线OC是____________，所以角α＋θ的终边与角α－θ的终边关于角α的终边所在的直线________． 角α＋θ的终边 角α－θ的终边 对称 状元随笔　角的正负与旋转方向之间的关系是什么？ [提示]　将射线逆时针方向旋转得到正角，顺时针方向旋转得到负角． 知识点三　诱导公式二 sin (－α)＝____________ cos (－α)＝____________ tan (－α)＝____________ －sin α cos α －tan α 状元随笔　角－α的终边与角α的终边有什么关系？角－α的终边与单位圆的交点P2(cos (－α)，sin (－α))与点P(cos α，sin α)有怎样的关系？ [提示]　角－α的终边与角α的终边关于x轴对称，P2与P也关于x轴对称． 知识点四　诱导公式三 sin (π－α)＝____________ cos (π－α)＝____________ tan (π－α)＝____________ sin α －cos α －tan α 状元随笔　角π－α的终边与角α的终边有什么关系？角π－α的终边与单位圆的交点P3(cos (π－α)，sin (π－α))与点P(cos α，sin α)有怎样的关系？ [提示]　角π－α的终边与角α的终边关于y轴对称，P3与P也关于y轴对称． 知识点五　诱导公式四 sin (π＋α)＝____________ cos (π＋α)＝____________ tan (π＋α)＝____________ －sin α －cos α tan α 状元随笔　角π＋α的终边与角α的终边有什么关系？角π＋α的终边与单位圆的交点P4(cos (π＋α)，sin(π＋α))与点P(cos α，sin α)有怎样的关系？ [提示]　角π＋α的终边与角α的终边关于原点对称； P4与P也关于原点对称． 基 础 自 测 1．sin (－30°)的值是(　　) A． B．－ C． D．－ 答案：B 解析：sin(－30°)＝－sin 30°＝－. 2．cos (－)的值为(　　) A． B．－ C． D． 答案：A 解析：cos (－)＝cos (－14π＋)＝cos ＝. 3．cos (－π)－sin (－π)＝________． 解析：cos (－π)－sin (－π)＝cos π＋sin π＝cos (4π＋)＋sin (4π＋)＝cos ＋sin ＝＝. 4．tan 225°＝(　　) A．1　　　 B．－1 C． D．－ 答案：A 解析：tan 225°＝tan (180°＋45°)＝tan 45°＝1. 课堂探究·素养提升 题型1　利用诱导公式给角求值问题 例1　计算： (1)sin (－)tan －cos ·tan (－)； (2)sin (－)＋cos ·tan 4π； (3)cos ＋tan (－)； (4) sin ·cos ·tan ； 先化负角为正角，再将大于360°的角化为0°到360°内的角，进而利用诱导公式求得结果． 【解析】　(1)原式＝(－sin )·tan (2π＋)－cos (2π＋)·tan (－5×2π－) ＝－sin (3×2π＋)·tan －cos ·tan (－) ＝－×(－1)＝0. (2)原式＝－sin ＋cos ·tan 0 ＝－sin (2π＋)＋0＝－sin ＝－. (3)原式＝cos (8π＋)－tan ＝cos －tan (4π＋) ＝－tan ＝－1＝－. (4)原式＝sin ·cos (2π＋)·tan (4π＋) ＝sin ·cos ·tan ＝sin (π＋)·cos (π＋)·tan (π＋) ＝(－sin )·(－cos )·tan ＝(－)×(－)×1＝. (5)在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边 关于y轴对称，若sin α＝，sin β＝________. 【解析】　因为角α与角β均以Ox为始边， 它们的终边关于y轴对称， 所以α＋β＝π＋2kπ，k∈Z，所以β＝π＋2kπ－α. sin β＝sin (π＋2kπ－α)＝sin (π－α)＝sin α＝. 方法归纳 利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤 (1)“负化正”：用诱导公式一或二来转化． (2)“大化小”：用诱导公式一将角化为0°到360°间的角． (3)“小化锐”：用诱导公式二或四将大于90°的角转化为锐角． (4)“锐求值”：得到锐角的三角函数后求值． 跟踪训练1　求下列各式的值： (1)sin (－1 395°)cos 1 110°＋cos (－1 020°)sin 750°； (2)sin (－)·cos ·tan . 解析：(1)原式＝sin (－4×360°＋45°)cos (3×360°＋30°)＋cos (－3×360°＋60°)sin (2×360°＋30°) ＝sin 45°cos 30°＋cos 60°sin 30° ＝＝＝. (2)原式＝sin (－4π＋)·cos (4π－)·tan (6π＋)＝sin ·cos (－)·tan ＝sin (π＋)·cos ·tan ＝－sin ·cos ·tan ＝－＝－. 题型2　利用诱导公式给值(式)求值问题(数学运算) 例2　(1)已知cos (－70°)＝k，那么tan 110°＝(　　) A． B．－ C．－ D． 【解析】　因为cos (－70°)＝k， 所以sin (－70°)＝－＝－， 所以tan(－70°)＝＝. 所以tan 110°＝tan (180°－70°)＝tan (－70°)＝. 【答案】　B (2)已知sin (π＋α)＝，且α是第四象限角，则cos (α－2π)的值是(　　) A．－ B． C．± D． 【解析】　由sin (π＋α)＝，得sin α＝－， 而cos (α－2π)＝cos α，且α是第四象限角， 所以cos α＝＝. 【答案】　B 状元随笔　(1)110°＝180°－70°，结合诱导公式求解． (2)由sin (π＋α)＝求得sin α，又cos (α－2π)＝cos α，结合α的范围求得结果． 方法归纳 解决给值求值问题的策略 (1)解决给值求值问题，首先要仔细观察条件式与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系． (2)可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化． (3)经常出现α＋或α－；α＋或－α＋等这样的角，通常是利用“整体思想”，一般把含有参变量的两个角相加或相减，寻找两个角之间的关系，如(α＋)－(α－)＝2π；(α＋)＋(－α＋)＝π，然后将所求用已知和π的形式表示出来并求解． 跟踪训练2　(1)若cos 165°＝a，则tan 195°＝(　　) A． B．－ C． D． 答案：B 解析：cos165°＝cos (180°－15°)＝－cos 15°＝a， 故cos 15°＝－a(a<0)，得sin 15°＝， tan 195°＝tan (180°＋15°)＝tan 15°＝. (2)已知cos (－α)＝，求cos (＋α)－sin2(α－)的值． 解析：因为cos (＋α)＝cos [π－(－α)] ＝－cos (－α)＝－， sin2(α－)＝sin2(－α)＝1－cos2(－α)＝1－()2＝， 所以cos(＋α)－sin2(α－)＝－＝－. 题型3　利用诱导公式化简求值 例3　化简：； 【解析】　原式＝ ＝＝ ＝＝－1. (2)计算：cos ＋cos ＋cos ＋cos ＋cos ＋cos ＝________； 【解析】　原式＝cos ＋cos ＋cos ＋cos (π－)＋cos (π－)＋cos (π－) ＝cos ＋cos ＋cos －cos －cos －cos ＝0. 0 (3)已知tan (π＋α)＝m，求值：. 【解析】　因为tan (π＋α)＝m，所以tan α＝m， 原式＝ ＝＝－ ＝－tan α＝－m. 状元随笔　(1) 应用诱导公式尽可能将角统一，去根号时注意三角函数的正负． (2) 观察与与与的关系，分别用诱导公式化简． (3) 先利用诱导公式求出tan α，再将所要求的式子化简后代入求值． 方法归纳 三角函数式的化简方法 (1)利用诱导公式，将任意角的三角函数转化为锐角的三角函数． (2)常用“弦化切”法，即表达式中的弦函数通常化为切函数． (3)注意“1”的变式应用：如sin2α＋cos2α＝1＝tan. 跟踪训练3　(1). (2)已知cos (π＋α)＝－，且α是第四象限角，计算： ①sin (2π－α)； ②(n∈Z)． 解析：(1)原式＝ ＝＝ ＝ (2)①由cos (π＋α)＝－可得cos α＝， 而sin (2π－α)＝－sin α，因为α是第四象限角， 所以sin α＝－，故sin (2π－α)＝. ②原式＝＝－＝－4. 教材反思 (1)诱导公式的记忆 诱导公式一、二、三、四的记忆口诀是“函数名不变，符号看象限”．其含义是诱导公式两边的函数名称一致，符号则是将α看成锐角时原角所在象限的三角函数值的符号．α看成锐角，只是公式记忆的方便，实际上α可以是任意角． (2)利用诱导公式一和二，还可以得出如下公式 sin (2π－α)＝－sin α， cos (2π－α)＝cos α， tan (2π－α)＝－tan α. $$