4.2.1指数爆炸和指数衰减课件-2024-2025学年高一上学期数学湘教版（2019）必修第一册

　4.2.1　指数爆炸和指数衰减 新知初探 课前预习 题型探究 课堂解透 新知初探 课前预习 最新课程标准 1.通过具体实例，了解指数函数的实际意义． 2．理解指数函数的概念． 3．能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点． 学科核心素养 1.理解指数函数的概念．(数学抽象) 2．会求指数函数的解析式．(数学运算) 3．掌握不同底数指数函数、图象间的关系．(逻辑推理、直观想象) 4．能利用指数函数的图象和性质，解决简单的图象问题、比较大小、单调性、奇偶性、值域等相关问题．(逻辑推理、数学运算) 教材要点 要点一　指数函数的定义 在幂的表达式au中，如果让底数为常数而取指数为自变量x，则得到一类新的函数________(a＞0且a≠1)叫做指数函数． y＝ax 状元随笔　 (1)规定y ＝ax中a＞0，且a≠1的理由： ①当a≤0时，ax可能无意义；②当a＞0时，x可以取任何实数；③当a ＝1时，ax ＝1 (x∈R)，无研究价值．因此规定y ＝ax中a ＞0，且a≠1. (2)要注意指数函数的解析式：①底数是大于0且不等于1的常数．②指数函数的自变量必须位于指数的位置上．③ax的系数必须为1.④指数函数等号右边不能是多项式，如y＝2x＋1不是指数函数． 要点二　指数爆炸 (1)当底数a＞1时，指数函数值随自变量的增长而增大，________较大时指数函数值增长速度惊人，被称为指数爆炸． (2)把自变量x看成时间，在长为T的时间周期[u，u＋T]中，指数函数y＝ax(a＞1)的值从au增长到au＋T，增长率为(au＋T－au)÷au＝aT－1，它是一个常量．因此，在经济学或其他学科中，当某个量在一个既定的时间周期中，其增长百分比是一个常量时，这个量就被描述为指数式增长，也称指数增长． 　底数a 要点三　指数衰减 如果底数0<a<1时，指数函数值随自变量的增长而缩小以致无限接近于0，叫作指数衰减．指数衰减的特点是：在一个既定的时间周期中，其缩小百分比是一个常量． 基础自测 1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)y＝x2是指数函数．(　　) (2)y＝xx(x＞0)是指数函数．(　　) (3)y＝ax＋2(a＞0且a≠1)是指数函数．(　　) (4)指数函数y＝ax中，a可以为负数．(　　) × × × × 2．下列各函数中，是指数函数的是(　　) A．y＝(－3)x B．y＝－3x C．y＝3x－1 D．y＝ 答案：D 解析：根据指数函数的定义y＝ax(a>0且a≠1)可知只有D项正确． 3．指数函数y＝f(x)的图象过点(2，4)，则f(3)的值为(　　) A．4 B．8 C．16 D．1 答案：B 解析：设指数函数的解析式为f(x)＝ax(a>0且a≠1)．由题意知，a2＝4，解得a＝2(a>0)，所以f(x)＝2x，所以f(3)＝23＝8. 4．已知函数f(x)是指数函数，且f(-)＝，则f(x)＝________. 5x 解析：设f(x)＝ax(a>0且a≠1) 则＝＝，∴a＝5，∴f(x)＝5x. 题型探究 课堂解透 题型1　指数函数的概念及应用 例1　(1)下列以x为自变量的函数中，是指数函数的是(　　) A．y＝(－4)x B．y＝πx C．y＝－4x D．y＝ax＋2(a＞0且a≠1) (2)若函数f(x)＝(a2－3a＋3)·ax是指数函数，则(　　) A．a＝1或a＝2 B．a＝1 C．a＝2 D．a＞0且a≠1 答案：(1)B　(2)C 解析：(1)由指数函数的定义可知，只有B符合． 方法归纳 (1)判断一个函数是指数函数的方法 ①看形式：只需判定其解析式是否符合y＝ax(a＞0，且a≠1)这一结构特征． ②明特征：指数函数的解析式具有三个特征，只要有一个特征不具备，则不是指数函数． (2)已知某函数是指数函数求参数值的基本步骤 跟踪训练1　(1)(多选)下列函数是指数函数的是(　　) A．y＝(－3)x B．y＝2－x C．y＝2x＋1 D．y＝ex (2)若函数y＝(2a－1)x(x是自变量)是指数函数，则a的取值范围是 __________________． BD ()∪(1，＋∞) 解析：(1)根据指数函数的定义可知B、D是指数函数，A、C不是． (2)根据指数函数的定义可知：2a－1>0且2a－1≠1，解得a>且a≠1，故a的取值范围是()∪(1，＋∞). 题型2　指数函数的解析式及应用 例2　(1)若点(a，27)在指数函数y＝的图象上，则的值为(　　) A． B．1 C．2 D．0 (2)指数函数y＝f(x)的图象经过点 (-2,)，那么f(4)f(2)＝(　　) A．8 B．16 C．32 D．64 答案：(1)A　(2)D 方法归纳 求指数函数解析式的步骤 (1)设指数函数的解析式为f(x)＝ax(a＞0且a≠1). (2)利用已知条件求底数a. (3)写出指数函数的解析式． 跟踪训练2　已知函数f(x)为指数函数，且f(-)＝，则f(－2)＝ ________． 解析：设f(x)＝ax(a>0且a≠1)， 由f(-)＝得，＝， 所以a＝3， 所以f(x)＝3x， 所以f(－2)＝3－2＝. 题型3　指数增长型和指数衰减型函数的实际应用 例3　某片森林原来面积为a，计划每年砍伐的森林面积是上一年年末森林面积的p%，当砍伐到原来面积的一半时，所用时间是10年，已知到2020年年末，森林剩余面积为原来面积的，为保护生态环境，森林面积至少要保留原来面积的. (1)求每年砍伐面积的百分比p%； (2)到2020年年末，该森林已砍伐了多少年？ 解析：(1)由题意可得，a(1－p%)10＝a， 解得p%＝1－， ∴每年砍伐面积的百分比p%为1－. (2)设经过m年剩余面积为原来的，则a·(1－p%)m＝a， ∴(1－p%)m＝＝， 由(1)可得，1－p%＝，即＝，∴＝，解得m＝5， 故到2020年年末，该森林已砍伐了5年． 方法归纳 指数函数在实际问题中的应用 (1)与实际生活有关的问题，求解时应准确读懂题意，从实际问题中提取出模型转化为数学问题． (2)在实际问题中，经常会遇到指数增长模型：设基数为N，平均增长率为p，则对于经过时间x后的总量y可以用y＝N(1＋p)x来表示，这是非常有用的函数模型． 跟踪训练3　某种细菌经60分钟培养，可繁殖为原来的2倍，且知该细菌的繁殖规律为y＝10ekt，其中k为常数，t表示时间(单位：小时)，y表示细菌个数，10个细菌经过7小时培养，细菌能达到的个数为(　　) A．640 B．1 280 C．2 560 D．5 120 答案：B 解析：设原来的细菌数为a， 由题意可得，在函数y＝10ekt中， 当t＝1时，y＝2a ∴2a＝10ek即ek＝ 当a＝10时，ek＝2 y＝10ekt＝10·2t 若t＝7，则可得此时的细菌数为y＝10×27＝1 280. 课堂十分钟 1．已知函数y＝a·2x和y＝2x＋b都是指数函数，则a＋b＝(　　) A．不确定 B．0 C．1 D．2 答案：C 解析：因为函数y＝a·2x是指数函数，所以a＝1，由y＝2x＋b是指数函数，得b＝0，所以a＋b＝1. 2．已知f(x)＝3x－b(b为常数)的图象经过点(2，1)，则f(4)的值为(　　) A．3 B．6 C．9 D．81 答案：C 解析：由f(x)过点(2，1)可知b＝2，所以f(x)＝3x－2，f(4)＝9.可知C正确． 3．春天来了，某池塘中的荷花枝繁叶茂，已知每一天新长出荷叶覆盖水面面积是前一天的2倍，若荷叶20天可以完全长满池塘水面，则当荷叶刚好覆盖水面面积一半时，荷叶已生长了(　　) A．10天 B．15天 C．19天 D．2天 答案：C 解析：设荷叶覆盖水面的初始面积为a，则x天后荷叶覆盖水面的面积y＝a·2x(x∈N＋)，根据题意，令2(a·2x)＝a·220，解得x＝19. 4．若函数y＝－ax(其中a＞0且a≠1)的图象经过点(2，－16)，则a＝________． 4 解析：因为当x＝2时，y＝－16，所以－16＝－a2，解得a＝±4，因为a>0，所以a＝4. 5．已知f(x)＝ax(a＞0且a≠1)的图象经过点P(2,4). (1)求a的值； (2)已知f(2x)－3f(x)－4＝0，求x. 解析：(1)由f(x)＝ax的图象经过点P(2,4)得a2＝4，又a>0，所以a＝2. (2)由(1)得f(x)＝2x，由f(2x)－3f(x)－4＝0， 得22x－3×2x－4＝0，解得2x＝4(2x＝－1<0舍去) 由2x＝4解得x＝2. (2)由指数函数的定义知解得a＝2. 解析：(1)由题意知()a＝27＝33，即＝33，∴＝3，∴a＝6，∴＝.故选A. (2)设y＝f＝ax(a>0，且a≠1)， 则a－2＝， 所以a＝2， y＝f＝2x， 所以f(4)f(2)＝64. $$