4.3.3.2对数函数的图象与性质(2)课件-2024-2025学年高一上学期数学湘教版（2019）必修第一册

第2课时　对数函数的图象与性质(2) 新知初探 课前预习 题型探究 课堂解透 新知初探 课前预习 教材要点 要点一　y＝logaf(x)型函数性质的研究 (1)定义域：由f(x)＞0解得x的取值范围，即函数的定义域． (2)值域：在函数y＝logaf(x)的定义域中确定t＝f(x)的值域，再由y＝logat的单调性确定函数的值域． (3)单调性：在定义域内考虑t＝f(x)与y＝logat的单调性，根据________法则判定．(或运用单调性定义判定) (4)奇偶性：根据奇偶函数的定义判定． (5)最值：在f(x)＞0的条件下，确定t＝f(x)的值域，再根据a确定函数y＝logat的单调性，最后确定最值． 同增异减 要点二　logaf(x)＜logag(x)型不等式的解法 (1)讨论a与1的关系，确定单调性； (2)转化为f(x)与g(x)的不等关系求解，且注意真数大于零． 基础自测 1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)y＝log2x2在[0，＋∞)上为增函数．(　　) (2)y＝在(0，＋∞)上为增函数．(　　) (3)ln x＜1的解集为(－∞，e).(　　) (4)y＝log2[(x－1)(x－2)]的增区间是(－∞，1)∪(2，＋∞).(　　) × × × × 2．不等式log2(2x＋3)＞log2(5x－6)的解集为(　　) A．(－∞，3) B．(－，3) C． (—, ) D．（，3） 答案：D 解析：∵函数y＝log2x是增函数， ∴ 解得<x<3. 3．若a＝lg 11，b＝lg 9，c＝lg，则a，b，c的大小关系是(　　) A．b＞c＞a B．b＞a＞c C．a＞b＞c D．a＞c＞b 答案：C 解析：∵函数y＝lg x是增函数，且11>9>， ∴lg 11>lg 9>lg，即a>b>c. 4．函数f(x)＝ln (2－x)的单调递减区间是________． (－∞，2) 解析：由2－x>0得，x<2， 所以函数f(x)＝ln (2－x)的单调递减区间是(－∞，2). 题型探究 课堂解透 题型1　对数函数单调性的应用 角度1　比较大小 例1　(多选)下列各组的大小关系正确的是(　　) A．＜　　　　B．log1.51.6＞log1.51.4 C．log0.57＜log0.67 D．log3π＞log20.8 答案：BD. 解析：A中，因为函数y＝是减函数，且0.5<0.6，所以>，A错；B中，因为函数y＝log1.5x是增函数，且1.6>1.4，所以log1.51.6>log1.51.4，B正确；C中，因为0>log70.6>log70.5，所以<，即log0.67<log0.57，C不正确；D中，因为log3π>log31＝0，log20.8<log21＝0，所以log3π>log20.8，D正确． 方法归纳 比较对数值大小时常用的三种方法 角度2　解简单的对数不等式 例2　（1）已知log0.72x＜log0.7（x－1），则x的取值范围为　　　　； （2）已知loga（x－1）≥loga（3－x）（a＞0，且a≠1），求x的取值范围． 答案：(1)(1，＋∞)　(2)见解析 方法归纳 两类对数不等式的解法 （1）形如logaf（x）＜logag（x）的不等式． ①当0＜a＜1时，可转化为f（x）＞g（x）＞0； ②当a＞1时，可转化为0＜f（x）＜g（x）. （2）形如logaf（x）＜b的不等式可变形为logaf（x）＜b＝logaab. ①当0＜a＜1时，可转化为f（x）＞ab； ②当a＞1时，可转化为0＜f（x）＜ab. 跟踪训练1　（1）已知a＝，b＝，c＝，则（　　） A．a＞b＞c　　B．a＞c＞b　　C．c＞a＞b　　D．c＞b＞a （2）若＜1（a＞0且a≠1），则实数a的取值范围是 　　　　　　　　. C (0,)∪(1，＋∞) 解析：(1)∵a＝∈(0，1)，b＝<0，c＝>1，∴b<a<c. (2)当a>1时，<0<1，成立，当0<a<1时，y＝logax为减函数．由<1＝logaa，得0<a<.综上所述，0<a<.或a>1. 题型2　对数型函数的单调性 例3　函数y＝的单调递增区间为　　　　　；单调递减区间为　　　　． (－∞，－6) (2，＋∞) 解析：由题意知x2＋4x－12>0， 依据二次函数t＝x2＋4x－12的图象可得x>2或x<－6. 且t＝x2＋4x－12在(－∞，－6)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增． 又y＝是(0，＋∞)上的减函数， 所以函数的单调递增区间是(－∞，－6)，单调递减区间是(2，＋∞). 变式探究　将本例改为“函数y＝在区间（－∞，]上是增函数”，求实数a的取值范围． 方法归纳 形如y ＝loga f（x）的函数的单调性判断，首先要确保f（x）＞0. 当a＞1时，y ＝loga f（x）的单调性在f（x）＞0的前提下与y ＝f（x）的单调性一致． 当0＜a＜1时，y ＝loga f（x）的单调性在f（x）＞0的前提下与y ＝ f（x）的单调性相反． 跟踪训练2　（1）函数y＝的单调增区间为　　　　. （2）已知函数y＝log2（ax－1）在（－2，－1）上单调递减，则a的取值范围是　　　　　　． (0，1)　 (－∞，－1] 解析：(1)由1－x2>0，得－1<x<1， 令t＝1－x2，x∈(－1，1)， 当x∈(0，1)时，y＝的单调递增， 故y＝的单调增区间为(0，1). (2)若函数y＝log2(ax－1)在(－2，－1)上单调递减，则a<0且ax－1>0在(－2，－1)上恒成立， 即a<在(－2，－1)上恒成立， 所以a≤－1，故a的取值范围是(－∞，－1]. 题型3　对数函数性质的综合应用 例4　已知奇函数f（x）＝. （1）求实数a的值； 解析：(1)∵f(x)是奇函数， ∴f(－x)＝－f(x)， 即＝. ∴＝，即(a2－1)x2＝0，得a＝±1， 经检验a＝－1时不符合题意，∴a＝1. （2）判断函数f（x）在（1，＋∞）上的单调性，并利用函数单调性的定义证明； （3）当x∈[2，5]时，ln（1＋x）＞m＋ln（x－1）恒成立，求实数m 的取值范围． 解析：(3)由已知得m<ln (1＋x)－ln (x－1)，即m<. 由(2)知f(x)＝在[2，5]上为减函数． ∴f(x)在[2，5]上的最小值为f(5)＝. 于是m<， 即实数m的取值范围为(,). 方法归纳   以对数函数为载体，考查函数的定义域、值域、单调区间、奇偶性等，这类问题综合性较强，明确各知识点与所求目标之间的联系，做好等价转化是解决问题的关键．解题中需注意运用常见方法和规避常见错误． （1）定义域：研究此类综合性问题，首先要弄清函数的定义域，即遵循“定义域”优先原则，在对数函数综合性问题的求解中尤其重要． （2）单调性：复合函数单调性的核心是同增异减． （3）奇偶性：难点在于对数式的化简与变形． （4）值域：常采用换元法求解，注意新元的取值范围． 跟踪训练3　已知函数f（x）＝（a＞0且a≠1）. （1）求f（x）的定义域； （2）判断函数f（x）的奇偶性，并求函数的单调区间． 　忽略对数函数大于0致误 例5　若函数f（x）＝ln （x2－ax＋1）在区间（2，＋∞）上单调递增，则实数a的取值范围是　　　　． 解析：设g（x）＝x2－ax＋1，要使f（x）＝ln （x2－ax＋1）在区间（2，＋∞）上单调递增， 故实数a的取值范围是（－∞，] 易错警示 易错原因 纠错心得 忽略对数的真数大于0这一隐含条件，从而漏掉g（2）≥0致误． 求解含参数的对数函数有关的复合函数问题时，参数不但要结合复合函数的单调性列出取值范围，还要满足对数的真数在所给的单调区间上大于0这一条件． 课堂十分钟 1．设a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是（　　） A．c＞b＞a B．c＞a＞b C．a＞c＞b D．a＞b＞c 答案：B 解析：∵a＝＝log23－1，b＝＝log34－1且2＝log24>log23>log34>log33＝1，则1>a>b>0，c＝log34>1.∴a，b，c的大小关系是c>a>b. 2．函数f（x）＝的单调递增区间是（　　） A．（－∞，2） B．（－∞，0） C．（2，＋∞） D．（0，＋∞） 答案：A 解析：由2－x>0，得到x<2，令t＝2－x，则t＝2－x在(－∞，2)上递减，而y＝在(0，＋∞)上递减，由复合函数单调性同增异减法则，得到f(x)＝在(－∞，2)上递增． 3．不等式＜的解集为（　　） A．（－∞，3） B． (,3) C．(-,) D．(,3) 答案：D 解析：因为函数y＝在(0，＋∞)上是减函数，所以, 解得<x<3. 4．已知f（x）＝是奇函数，则m＝　　　　． －1 解析：∵f(－x)＝ln ＝ln，－f(x)＝－＝，∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，即ln＝，∴m＝－1. 5．已知函数f（x）＝loga（1－ax）（a＞0且a≠1）. （1）若a＞1，解不等式f（x）＜0. （2）若函数f（x）在区间（0，2]上单调递增，求实数a的取值范围． 解析：(1)因为a>1，loga(1－ax)<0，所以loga(1－ax)<loga1， 所以0<1－ax<1，所以－1<－ax<0，解得0<x<. 所以a>1时，不等式的解集为. (2)因为关于x的函数f(x)在区间(0，2]上单调递增， 而t＝1－ax在区间(0，2]上单调递减， 所以0<a<1，且t>0. 再由，解得0<a<， 则实数a的取值范围为(0,). 解析：(1)∵函数y＝log0.7x在(0，＋∞)上为减函数， ∴由log0.72x＜log0.7(x－1)，得解得x＞1，即x的取值范围是(1，＋∞). (2)loga(x－1)≥loga(3－x)， 当a＞1时，有解得2≤x＜3. 当0＜a＜1时，有解得1＜x≤2. 综上可得， 当a＞1时，不等式loga(x－1)≥loga(3－x)中x的取值范围为[2，3)； 当0＜a＜1时，不等式loga(x－1)≥loga(3－x)中x的取值范围是(1，2]. 解析：令g(x)＝x2－2a＋a，由于y＝f(x)＝logg(x)在区间(－∞，]上是增函数，故g(x)应在区间(－∞，]上是减函数，且g(x)>0故有即解得2≤a<2＋2，故实数a的取值范围是[2，2＋2). 证明：由(1)得f(x)＝ln ，x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)，任取x1，x2∈(1，＋∞)，且x1<x2， f(x1)－f(x2)＝ln －ln ＝ln ＝ln . ∵1<x1<x2，∴x2－x1>0，>1， ∴f(x1)－f(x2)>0，f(x1)>f(x2)， ∴f(x)在(1，＋∞)上单调递减． 解析：(1)要使此函数有意义，则有或 解得x>1或x<－1，故此函数的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞). (2)由(1)可得f(x)的定义域关于原点对称．∵f(－x)＝loga＝loga＝－loga＝－f(x)，∴f(x)为奇函数． f(x)＝loga＝loga， 函数u＝1＋在区间(－∞，－1)和区间(1，＋∞)上单调递减， 所以当a>1时，f(x)＝loga在(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递减；当0<a<1时，f(x)＝loga在(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递增． 则即得a≤ $$