11.3.1平行直线与异面直线课件-2023-2024学年高一下学期数学人教B版（2019）必修第四册

11．3.1　平行直线与异面直线 新知初探·自主学习 课堂探究·素养提升 课程标准 1.借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与直线的关系，了解以下基本事实和定理． 基本事实4：平行于同一条直线的两条直线平行. 定理：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，并且方向相同那么这两个角相等． 2．重点提升直观想象、逻辑推理、数学运算和数学抽象素养． 新知初探·自主学习 教 材 要 点 知识点一　基本事实4 文字表述：平行于同一条直线的两条直线________．这一性质叫做空间平行线的________． 符号表述：⇒________． 知识点二　等角定理 如果一个角的两边与另一个角的两边分别________，并且方向________，那么这两个角________． 互相平行 传递性 a∥c 对应平行 相同 相等 状元随笔　思考：空间中如果两个角的两边分别对应平行，这两个角具有什么关系？ [提示]　相等或互补． 知识点三　异面直线 (1)定义：把既不相交又不平行的直线叫做异面直线． (2)画法：(通常用平面衬托) 知识点四　空间两条直线的位置关系 相交直线 平行直线 异面直线 状元随笔　思考：不在同一平面的两条直线是异面直线，对吗？ [提示]　不对，是不同在任何一个平面内． 知识点五　空间四边形 1．空间四边形的定义：顺次连接____________所构成的图形称为空间四边形．其中4个点都是空间四边形的顶点． 2．空间四边形的对角线：连接__________________称为空间四边形的对角线． 不共面的4点 不相邻顶点间的线段 状元随笔　(1)空间四边形与四面体是一回事吗？ [提示]　不是一回事．空间四边形可以看成由一个四面体的四条棱构成的图形，空间四边形不是四面体． (2)梯形是空间四边形吗？ [提示]　不是．因为梯形是一个平面图形，它的四个顶点在一个平面上，所以它不是空间四边形． 基 础 自 测 1．已知AB∥PQ，BC∥QR，若∠ABC＝30°，则∠PQR等于(　　) A．30° B．30°或150° C．150° D．以上结论都不对 答案：B 解析：因为AB∥PQ，BC∥QR， 所以∠PQR与∠ABC相等或互补． 因为∠ABC＝30°，所以∠PQR＝30°或150°. 2．一条直线与两条异面直线中的一条平行，则它和另一条的位置关系是(　　) A．平行或异面　 B．相交或异面 C．异面 D．相交 答案：B 解析：如图，在长方体ABCD - A1B1C1D1中，AA1与BC是异面直线，又AA1∥BB1，AA1∥DD1，显然BB1＝B，DD1与BC是异面直线，故选B. 3．正方体ABCD - A1B1C1D1中，E，F分别是线段C1D，BC的中点，则直线A1B与直线EF的位置关系是________． 相交 解析：直线A1B与直线外一点E确定的平面为A1BCD1，EF⊂平面A1BCD1，且两直线不平行，故两直线相交． 4．在正方体ABCD - A1B1C1D1中，P，Q分别为AA1，CC1的中点，则四边形D1PBQ是(　　) A．正方形 B．菱形 C．矩形 D．空间四边形 答案：B 解析：设正方体的棱长为2，直接计算可知四边形D1PBQ各边均为，又四边形D1PBQ是平行四边形，所以四边形D1PBQ是菱形． 课堂探究·素养提升 题型1　空间两条直线的位置关系概念的理解 例1　下列说法中，正确的是(　　) A．空间中没有交点的两条直线是平行直线 B．一条直线和两条平行直线中的一条相交，则它和另一条直线也相交 C．空间四条直线a，b，c，d，若a∥b，c∥d且a∥d，则b∥c D．分别在两个平面内的直线是平行直线 【答案】　C 方法归纳 理解空间两条直线的位置关系的定义 跟踪训练1　分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是(　　) A．一定平行 B．一定相交 C．一定异面 D．相交或异面 答案：D 题型2　基本事实4、等角定理的应用 例2　如图，在正方体ABCD - A1B1C1D1中，M，M1分别是棱AD和A1D1的中点． (1)求证：四边形BB1M1M为平行四边形； (2)求证：∠BMC＝∠B1M1C1. 【证明】　(1)∵ABCD - A1B1C1D1为正方体． ∴AD＝A1D1，且AD∥A1D1， 又M、M1分别为棱AD、A1D1的中点， ∴AM＝A1M1且AM∥A1M1， ∴四边形AMM1A1为平行四边形， ∴MM1＝AA1且MM1∥AA1. 又AA1＝BB1且AA1∥BB1， ∴MM1＝BB1且MM1∥BB1， ∴四边形BB1M1M为平行四边形． (2)证法一：由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形， ∴B1M1∥BM. 同理可得四边形CC1M1M为平行四边形， ∴C1M1∥CM. ∵∠BMC和∠B1M1C1方向相同， ∴∠BMC＝∠B1M1C1. 证法二：由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形， ∴B1M1＝BM. 同理可得四边形CC1M1M为平行四边形， ∴C1M1＝CM. 又∵B1C1＝BC，∴△BCM≌△B1C1M1， ∴∠BMC＝∠B1M1C1. 状元随笔　(1)欲证四边形BB1M1M是平行四边形，可证其一组对边平行且相等； (2)可结合(1)利用等角定理证明或利用三角形全等证明． 方法归纳 1．空间两条直线平行的证明 一是定义法：即证明两条直线在同一个平面内且两直线没有公共点； 二是利用平面图形的有关平行的性质，如三角形中位线，梯形，平行四边形等关于平行的性质； 三是利用基本事实4：找到一条直线，使所证的直线都与这条直线平行． 2．求证角相等 一是用等角定理；二是用三角形全等或相似． 跟踪训练2　如图所示，四边形ABEF和ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BC綊AD，BE綊FA，G，H分别为FA，FD的中点． (1)证明：四边形BCHG是平行四边形； (2)判断C，D，F，E四点是否共面？为什么？ 解析：(1)证明：由已知FG＝GA，FH＝HD， 可得GH綊AD.又BC綊AD，所以GH綊BC， 所以四边形BCHG为平行四边形． (2)共面．理由：由BE綊AF，G为FA的中点知，BE綊FG， 所以四边形BEFG为平行四边形，所以EF∥BG. 由(1)知BG∥CH，所以EF∥CH，所以EF与CH共面． 又D∈FH，所以C，D，F，E四点共面． 状元随笔　(1)证明四边形BCHG的一组对边平行且相等． (2)只需证明C，H，F，E四点共面，即可推出C，D，F，E四点共面． 题型3　空间两直线位置关系的判定 例3　(1)如图，正方体ABCD - A1B1C1D1中，判断下列直线的位置关系： ①直线A1B与直线D1C的位置关系是________； ②直线A1B与直线B1C的位置关系是________； ③直线D1D与直线D1C的位置关系是________； ④直线AB与直线B1C的位置关系是________． 判断两直线的位置关系，主要依据定义判断． 平行 异面 相交 异面 【解析】　根据题目条件知直线A1B与直线D1C在平面A1BCD1中，且没有交点，则两直线“平行”，所以①应该填“平行”；点A1，B，B1在一个平面A1BB1内，而C不在平面A1BB1内，则直线A1B与直线B1C “异面”．同理，直线AB与直线B1C “异面”．所以②④都应该填“异面”；直线D1D与直线D1C相交于D1点，所以③应该填“相交”． (2)已知a，b，c是三条直线，且a与b异面，b与c异面，试判断a与c的位置关系，并画图说明． 【解析】　直线a与c的位置关系有三种，如图所示． 直线a与c可能平行(如图①所示)，也可能相交(如图②所示)，还可能异面(如图③所示)． 状元随笔　选择恰当的平面作为衬托，画出可能出现的情况． 方法归纳 (1)判定两条直线平行与相交可用平面几何的方法去判断． (2)判定两条直线是异面直线有定义法和排除法，由于使用定义判断不方便，故常用排除法，即说明这两条直线不平行、不相交，则它们异面． 跟踪训练3　(1)如果两条异面直线称为“一对”，那么正方体的12条棱中，异面直线共有(　　) A．12对 B．24对 C．36对 D．48对 答案：B 解析：如图所示，正方体中与AB异面的棱有CC1，DD1，B1C1，A1D1. 因为各棱具有相同的位置，且正方体有12条棱，排除两棱的重复计算，所以异面直线共有＝24对． (2)如图所示，已知α＝a，b⊂β，a＝A，且c⊂α，c∥a.求证：b，c为异面直线． 证明：假设b，c不是异面直线，则b，c一定相交或平行． 若b，c相交于一点P，b⊂β，c⊂α， 又α＝a，则P∈b⊂β，且P∈c⊂α，所以交点P一定在α，β的交线上，即P∈a， 所以a＝P，这与已知a∥c矛盾， 故b，c不可能相交． 若b∥c，又已知a∥c，则a∥b，这与已知条件a＝A矛盾，故b，c不可能平行． 综上可知b，c为异面直线． $$