4.4.1方程的根与函数的零点课件-2024-2025学年高一上学期数学湘教版（2019）必修第一册

4.4.1　方程的根与函数的零点 新知初探 课前预习 题型探究 课堂解透 新知初探 课前预习 最新课程标准 1.结合学过的函数图象，了解函数零点及方程解的关系． 2．结合具体连续函数及其图象特点，了解函数零点存在定理，探索用二分法求方程近似解的思路，能借助计算工具用二分法求方程近似解，了解用二分法求方程近似解具有一般性． 3．收集、阅读一些现实生活、生产实际或者经济领域中的数学模型，体会人们是如何借助函数刻画实际问题的，感悟数学模型中参数的实际意义． 学科核心素养 1.了解函数零点存在定理．（数学抽象） 2．能利用函数零点存在定理判断零点所在区间．（逻辑推理） 3．能利用二分法求方程的近似解．（数学抽象） 4．会建立函数模型解决实际问题，并能对不同的函数模型进行选择、比较，用最恰当的函数模型解决实际问题．（数学建模、数学运算） 教材要点 要点一　方程的根与函数零点的关系 交点的横坐标 零点 状元随笔　函数的零点不是一个点，而是一个实数，当自变量取该值时，其函数值等于零． 要点二　函数零点的判定 函数零点存在定理 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上，当x从a到b逐渐增加时，如果f(x)连续变化且有f(a)·f(b)＜0，则存在点x0∈(a，b)，使得f(x0)＝0.如果知道y＝f(x)在区间[a，b]上单调递增或单调递减，就进一步断定，方程f(x)＝0在(a，b)内恰有一个根． 状元随笔　定理要求具备两条： ①函数在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线；②f(a)·f(b)＜0. 基础自测 1.思考辨析（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）所有的函数都有零点．（　　） （2）若方程f（x）＝0有两个不等实根x1，x2，则函数y＝f（x）的零点为（x1，0），（x2，0）.（　　） （3）若函数y＝f（x）在区间（a，b）上有零点，则一定有f（a）·f（b）＜0.（　　） （4）函数y＝2x－1的零点是.（　　） × × × √ 2．函数f（x）＝ln（x＋1）－的零点所在的一个区间是（　　） A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4） 答案：B 解析：f(1)＝ln 2－2＜0，f(2)＝ln 3－1＞0， ∴f(1)·f(2)＜0， ∴函数f(x)的一个零点区间为(1，2). 3．函数f（x）＝x3－x的零点个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 答案：D 解析：f(x)＝x(x－1)(x＋1)，令x(x－1)(x＋1)＝0，解得x＝0，x＝1，x＝－1，即函数的零点为－1，0，1，共3个． 4．若函数f（x）＝x2－ax－b的两个零点是2和3，则函数g（x）＝ bx2－ax－1的零点是　　　　． －，－ 解析：由得 ∴g(x)＝－6x2－5x－1的零点是－，－. 题型探究 课堂解透 题型1　求函数的零点 例1　（1）函数f（x）＝的零点是（　　） A． B．1 C． 和1 D．0和1 （2）如果函数f（x）＝ax＋b有一个零点是2，那么函数g（x）＝bx2－ax的零点是（　　） A．0，2 B．0， C．0，－ D．2，－ 答案：(1)B　(2)C 解析：(1)当x≤1时，由2x －2＝0得x＝1； 当x＞1时，由2＋log2x＝0得x＝ (舍去)所以函数f(x)的零点是1. 故选B. (2)由题意知f(2)＝2a＋b＝0，即b＝－2a，则g(x)＝bx2－ax＝－2ax2－ax＝－ax(2x＋1).由g(x)＝0得x＝0或x＝－，故函数g(x)的零点是0，－. 故选C. 方法归纳 函数零点的求法 求函数y＝f（x）的零点通常有两种方法：其一是令f（x）＝0，根据解方程f（x）＝0的根求得函数的零点；其二是画出函数y＝f（x）的图象，图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点． 跟踪训练1　（1）函数f（x）＝x－的零点是　　　　． （2）函数f（x）＝2x＋x－1的零点为　　　　． ±1 0 解析： (1)令f(x)＝x－＝0，得x＝±1.∴函数f(x)＝x－的零点是±1. (2)在同一平面直角坐标系中作出函数y＝2x，y＝－x＋1的图象，如图所示，由图可知函数f(x)的零点为0. 题型2　函数零点个数问题 角度1　判断函数零点个数 例2　函数f（x）＝ln x－的零点个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 答案：C 解析：由f(x)＝ln x－＝0得ln x＝，在同一坐标系中画出y＝ln x与y＝的图象，如图所示，函数y＝ln x与y＝的图象有两个交点，所以函数f(x)＝ln x－的零点个数为2. 方法归纳 判断函数零点的个数的方法主要有： （1）对于一般函数的零点个数的判断问题，可以利用零点存在性定理来确定零点的存在性，然后借助于函数的单调性判断零点的个数． （2）由f（x）＝g（x）－h（x）＝0，得g（x）＝h（x），在同一坐标系中作出y1＝g（x）和y2＝h（x）的图象，利用图象判定方程根的个数． 角度2　由函数零点求参数的取值范围 例3　已知函数f（x）＝，若方程f（x）－m＝0有4个不相同的解，则实数m取值范围为（　　） A．（0，1] B．[0，1） C．（0，1） D．[0，1] 答案：A 解析：画出函数f(x)的图象，如图所示：   若方程f(x)－m＝0有4个不相同的零点， 则y＝m和f(x)的图象有4个不同的交点， 结合图象，0＜m≤1， 方法归纳 已知函数零点个数求参数范围的常用方法 跟踪训练2　（1）函数f（x）＝(－x3－2在区间（－1，0）内的零点个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 答案：(1)B 解析：(1)因为函数f(x)＝－x3－2为减函数，又f(－1)＝－(－1)3－2＝1>0，f(0)＝－(0)3－2＝－1<0.故函数f(x)在区间(－1，0)内的零点个数是1. （2）若函数f（x）＝24ax2＋4x－1在区间（－1，1）内恰有一个零点，则实数a的取值范围是（　　） A． (-,) B．[-,]∪{-} C．(-,0)∪(0,) D．{-} B 题型3　函数零点所在的区间问题 角度1　确定零点所在区间 例4　函数f（x）＝ln x＋2x－3的零点所在的一个区间是（　　） A．（0，） B．（，1） C．（1，） D．（，2） 答案：C 解析：函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，其图象在定义域上为一条不间断的曲线， 且f(1)＝－1＜0，f ()＝＞0， 由零点存在性定理可知，函数f(x)在(1,)上存在零点． 方法归纳 判断函数零点所在区间的三个步骤 （1）代入：将区间端点值代入函数求出函数的值． （2）判断：把所得的函数值相乘，并进行符号判断． （3）结论：若符号为正且函数在该区间内是单调函数，则在该区间内无零点，若符号为负且函数连续，则在该区间内至少有一个零点． 角度2　由函数零点所在区间求参数范围 例5　若函数f（x）＝3x2－5x＋a的一个零点在区间（－2，0）内，另一个零点在区间（1，3）内，则实数a的取值范围是　　　　　　. (－12, 0) 方法归纳 根据零点存在定理及函数性质列出不等式组，解不等式组即可求出参数的取值范围． 跟踪训练3　（1）在下列区间中，函数f（x）＝－log2x的零点所在区间为（　　） A．（，1） B．（1，2） C．（3，4） D．（4，5） （2）已知函数f（x）＝ln x－m的零点位于区间（1，e）内，则实数m的取值范围是　　　　． C (0，1) (1)解析：因为函数f(x)＝－log2x是减函数．又f(3)＝2－log23>0，f(4)＝－2<0，根据零点存在定理得到函数f(x)在区间(3，4)上存在零点． (2)令f(x)＝ln x－m＝0，得m＝ln x，因为x∈(1，e)，所以ln x∈(0，1)，故m∈(0，1). 易错辨析 忽视零点存在定理的条件致误 例6　（多选）若函数f（x）的图象在R上连续不断，且满足f（0）＜0，f（1）＞0，f（2）＞0，则下列说法错误的有（　　） A．f（x）在区间（0，1）上一定有零点，在区间（1，2）上一定没有零点 B．f（x）在区间（0，1）上一定没有零点，在区间（1，2）上一定有零点 C．f（x）在区间（0，1）上一定有零点，在区间（1，2）上可能有零点 D．f（x）在区间（0，1）上可能有零点，在区间（1，2）上一定有零点 解析：由题知f（0）·f（1）＜0，所以根据函数零点存在定理可得f（x）在区间（0，1）上一定有零点，又f（1）·f（2）＞0，因此无法判断f（x）在区间（1，2）上是否有零点．故选ABD 答案：ABD 易错警示 易错原因 纠错心得 易忽略零点存在定理的条件：函数在闭区间上是连续不断的一条曲线． 端点函数值异号，只是一个条件，还要注意零点存在定理成立的另一个条件，即函数在闭区间上是连续不断的一条曲线． 课堂十分钟 1．函数f（x）＝2x2－3x＋1的零点是（　　） A．－，－1 B．，1 C．，－1 D．－，1 答案：B 解析：方程2x2－3x＋1＝0的两根分别为x1＝1，x2＝，所以函数f(x)＝2x2－3x＋1的零点是，1.故选B. 2．函数f（x）＝x3＋3x－2的零点所在区间为（　　） A．(0,) B．() C．() D．() 答案：C 解析：函数f(x)＝x3＋3x－2是连续函数且单调递增， ∵f()＝＋－2＝－＜0， f ()＝＋－2＝＞0 ∴f() f ()＜0， 由零点判定定理可知函数的零点在区间)上． 故选C. 3．（多选）已知函数f（x）＝，若函数g（x）＝f（x）－m恰有3个零点，则m的取值可能为（　　） A． B．1 C．2 D． 答案：BC 解析：g(x)恰好有3个零点， 等价于f(x)＝m有三个不等实根，如图， 作出y＝f(x)的图象，可得当＜m≤2时， f(x)的图象与y＝m有三个交点． 故选BC. 4．函数f（x）＝零点的个数为　　　　． 2 解析：x≤0时，令x2＋2x－3＝0， 解得x＝－3. x＞0时，f(x)＝ln x－2在(0，＋∞)上递增， f(1)＝－2＜0，f(e3)＝1＞0， ∵f(1)f(e3)＜0， ∴f(x)在(0，＋∞)上有且只有一个零点． 综上，f(x)在R上有2个零点． 5．已知函数f（x）＝x2＋3（m＋1）x＋n的零点是1和2，求函数y＝logn（mx＋1）的零点． 解析：由题可知，f(x)＝x2＋3(m＋1)x＋n的两个零点为1和2. 则1和2是方程x2＋3(m＋1)x＋n＝0的两根． 可得解得 所以函数y＝logn(mx＋1)的解析式为 y＝log2(－2x＋1)，要求其零点，令 log2(－2x＋1)＝0，解得x＝0. 所以函数y＝log2(－2x＋1)的零点为0. 解析：(1)因为函数f(x)＝－x3－2为减函数，又f(－1)＝－(－1)3－2＝1>0，f(0)＝－(0)3－2＝－1<0.故函数f(x)在区间(－1，0)内的零点个数是1. (2)∵f(x)＝24ax2＋4x－1， ∴f(0)＝－1≠0，x＝0不是函数的零点． ∴当x≠0时，由f(x)＝24ax2＋4x－1＝0. 得a＝＝－·＝－. 令t＝，则t∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)， 令g(t)＝(t－2)2－，则g(－1)＝，g(1)＝－，g(2)＝－. 函数f(x)＝24ax2＋4x－1在区间(－1，1)内恰有一个零点⇔函数y＝a的图象与函数y＝g(t)，t∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)的图象有且只有一个交点， 由图可知，a∈∪. 解析：根据二次函数及其零点所在区间可画出大致图象，如图． 由图可知 即 解得－12<a<0. $$