7.2.2 单位圆与三角函数线课件-2023-2024学年高一下学期数学人教B版（2019）必修第三册

7．2.2　单位圆与三角函数线 新知初探·自主学习 课堂探究·素养提升 【课程标准】 1.借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义． 2．了解三角函数线的意义． 新知初探·自主学习 教 材 要 点 知识点一　单位圆 (1)一般地，在平面直角坐标系中，坐标满足x2＋y2＝1的点组成的集合称为________． (2)角α的________和________分别等于角α终边与单位圆交点的横坐标和纵坐标． 知识点二　三角函数线 单位圆 余弦 正弦 状元随笔　　三角函数线的方向是怎样确定的？ [提示]　三角函数线的方向，即规定的有向线段的方向：凡三角函数线与x轴或y轴同向的相应三角函数值为正值，反向的为负值． 基 础 自 测 1.如图，在单位圆中角α的正弦线、正切线完全正确的是(　　) A．正弦线，正切线 B．正弦线，正切线 C．正弦线，正切线 D．正弦线，正切线 答案：C 解析：由三角函数线的定义知C正确． 2．角和角有相同的(　　) A．正弦线 B．余弦线 C．正切线 D．不能确定 答案：C 解析：与的终边互为反向延长线，故它们有相同的正切线． 3．角的终边与单位圆的交点的坐标是_________． (－) 解析：由于角的终边与单位圆的交点横坐标是cos ＝－，纵坐标是sin ＝， ∴角的终边与单位圆的交点的坐标是(－)． 课堂探究·素养提升 题型1　三角函数线的概念 例1　作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线： (1)；(2)－；(3)－；(4). 【解析】　(1)作出单位圆，交角的终边于P，过P作PM⊥x轴于点M，过点A(1，0)作AT⊥x轴，交角的终边于T，如左图所示， 则角的正弦线为，余弦线为，正切线为； (2)作出单位圆，交角－的终边于P，过P作PM⊥x轴于点M，过点A(1，0)作AT⊥x轴，交角－的终边于T，如右图所示， 则角－的正弦线为，余弦线为，正切线为 (3)作出单位圆，交角－的终边于P，过P作PM⊥x轴于点M，过点A(1，0)作AT⊥x轴，交角－的终边的反向延长线于T，如左图所示， 则角－的正弦线为，余弦线为，正切线为； (4)因为＝4π＋，所以角与角的终边相同，作出单位圆，交角的终边于P，过P作PM⊥x轴于点M，过点A(1，0)作AT⊥x轴，交角的终边的反向延长线于T，如右图所示，则角的正弦线为，余弦线为，正切线为. 方法归纳 (1)作正弦线、余弦线时，首先找到角的终边与单位圆的交点，然后过此交点作x轴的垂线，得到垂足，从而得到正弦线和余弦线． (2)作正切线时，应从A(1，0)点引单位圆的切线交角的终边于一点T，即可得到正切线，要特别注意，当角的终边在第二或第三象限时，应将角的终边反向延长，再按上述作法来作正切线． 跟踪训练1　(1)下列四个命题中： ①α一定时，单位圆中的正弦线一定； ②单位圆中，有相同正弦线的角相等； ③α和α＋π有相同的正切线； ④具有相同正切线的两个角终边在同一条直线上． 不正确命题的个数是(　　) A．0　　　B．1　　　C．2　　　D．3 解析：由三角函数线的定义①④正确，②③不正确．②中有相同正弦线的角可能不等，如与；③中当α＝时，α与α＋π都没有正切线． 答案：C (2)作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线： ①； ②； ③； ④－. 解析：①作出单位圆，交角的终边于P，过P作PM⊥x轴于点M， 过点A(1，0)作AT⊥x轴，交角的终边于T，如右图所示， 则角的正弦线为，余弦线为，正切线为； ②作出单位圆，交角的终边于P，过P作PM⊥x轴于点M， 过点A(1，0)作AT⊥x轴，交角的终边反向延长线于T，如右图所示， 则角的正弦线为，余弦线为，正切线为； ③作出单位圆，交角的终边于P，过P作PM⊥x轴于点M， 过点A(1，0)作AT⊥x轴，交角的终边于T，如下图所示， 则角的正弦线为，余弦线为，正切线为； ④因为－＝－2π＋，所以角－与角的终边相同， 作出单位圆，交角－的终边于P，过P作PM⊥x轴于点M， 过点A(1，0)作AT⊥x轴，交角－的终边的反向延长线于T，如右图所示，则角－的正弦线为，余弦线为，正切线为. 题型2　利用单位圆探讨三角函数的单调性 【思考探究】　1.为什么在三角函数线上，点P的坐标为(cos α，sin α)，点T的坐标为(1，tan α) 呢？ [提示]　由三角函数的定义可知sin α＝，cos α＝，而在单位圆中，r＝1，所以单位圆上的点都是(cos α，sin α)；另外角的终边与直线x＝1的交点的横坐标都是1，所以根据tan α＝，知纵坐标y ＝tan α，所以点T的坐标为(1，tan α). 2．如何利用三角函数线比较大小？ [提示]　利用三角函数线比较三角函数值的大小时，一般分三步：(1)角的位置要“对号入座”；(2)比较三角函数线的长度；(3)确定有向线段的正负． 例2　(1)在单位圆中画出适合下列条件的角α终边的范围，并由此写出角α的集合． sin α≥；cos α≤－. 【解析】　(1)①作直线y＝，交单位圆于A，B两点，连接OA，OB，则OA与OB围成的区域(图(1)中阴影部分)即为角α的终边的范围．故满足条件的角α的集合为{α|2kπ＋≤α≤2kπ＋，k∈Z}． ②作直线x＝－，交单位圆于C，D两点，连接OC与OD，则OC与OD围成的区域(图(2)中的阴影部分)即为角α的终边的范围． 故满足条件的角α的集合为{α|2kπ＋≤α≤2kπ＋，k∈Z}． 状元随笔　作出满足sin α＝，cos α＝－的角的终边，然后根据已知条件和三角函数的单调性确定角α终边的范围． (2)设a＝cos ，b＝sin ，c＝tan ，则(　　) A．a<c<b B．a<b<c C．b<c<a D．b<a<c 【答案】　B 【解析】　作出角的三角函数线如下图所示： 由图象知：cos <sin <tan ，又sin ＝sin ，∴a<b<c.故选B. 方法归纳 (1)通过解答本题，我们可以总结出用三角函数线来探讨三角函数不等式的步骤： ①作出取等号的角的终边； ②利用三角函数线的直观性，在单位圆中确定满足不等式的角的范围； ③将图中的范围用不等式表示出来． (2)求与三角函数有关的定义域时，先转化为三角不等式(组)，然后借助三角函数线解此不等式(组)即可得函数的定义域． 跟踪训练2　(1)若0<α<2π，且sin α<，cos α>，利用三角函数线得到α的取值范围是_______________； 解析：利用单位圆作出正弦线、余弦线，   所以α的范围是0<α<或<α<2π. (0，，2π) (2)已知0≤x≤2π，且sin x<cos x，则x的取值范围是(　　) A． B．(，)∪(，) C．(π，2π) D． 答案：D 解析：画出单位圆以及0≤x≤2π，sin x＝MP，cos x＝OM， ∵0≤x≤2π，且sin x<cos x， 从图中可知x的取值范围是[0，，2π].故选D. 题型3　三角函数线的综合应用 例3　(1)若α是第一象限角，则sin α＋cos α的值与1的大小关系是(　　) A．sin α＋cos α>1 B．sin α＋cos α＝1 C．sin α＋cos α<1 D．不能确定 【答案】　A 【解析】　如图，角α的终边与单位圆交于P点，过P作PM⊥x轴于M点，由三角形两边之和大于第三边可知sin α＋cos α>1. 状元随笔　画出三角函数线，根据三角形两边之和大于第三边，即可得到答案． (2)已知α∈(0，)，试比较sin α，α，tan α的大小． 【解析】　如图所示，设角α的终边与单位圆交于点P，单位圆交x轴正半轴于点A，作PM⊥x轴，作AT⊥x轴，交α的终边于点T，由三角函数线定义，  得sin α＝MP，tan α＝AT， 又α＝的长， ∴S△AOP＝·OA·MP＝sin α， S扇形AOP＝··OA ＝·＝α， S△AOT＝·OA·AT＝tan α. 又∵S△AOP＜S扇形AOP＜S△AOT， ∴sin α＜α＜tan α. 状元随笔　　本题可以利用正弦线，所对的弧长及正切线来表示sin α，α，tan α，并借助它们所在的扇形及三角形的面积大小来解决． 方法归纳 (1)本题的实质是数形结合思想，即要求找到与所研究问题相应的几何解释，再由图形相关性质解决问题． (2)三角函数线是单位圆中的有向线段，比较三角函数值大小时，一般把三角函数值转化为单位圆中的某些线段，进而用几何方法解决问题． 跟踪训练3　(1)已知角α的正弦线和余弦线长度相等，且α的终边在第二象限，则tan α＝(　　) A．0 B．1 C．－1 D． 答案：C 解析：由条件知|sin α|＝|cos α|，且sin α>0，cos α<0， 所以sin α＝－cos α，于是tan α＝－1. (2)已知A是△ABC的一个内角，且tan A－≥0，则sin A的取值范围是(　　) A．[，1) B．[，1) C．[1，] D．[，] 答案：A 解析：因为tan A－≥0，所以tan A≥， 令tan A＝，又0<A<π，所以A＝，作角的正切线，如图所示．由图可得，当≤A<时，tan A≥，此时≤sin A<1，即sin A的取值范围是[，1)． 教材反思 (1)应用三角函数线比较大小的策略 ①三角函数线是一个角的三角函数值的体现，从三角函数线的方向可以看出三角函数值的正负，其长度是三角函数值的绝对值． ②比较两个三角函数值的大小，不仅要看其长度，还要看其方向． (2)利用三角函数线解三角不等式的方法 ①正弦、余弦型不等式的解法 对于sin x≥b，cos x≥a(sin x≤b，cos x≤a)，求解关键是恰当地寻求点，只需作直线y＝b或x＝a与单位圆相交，连接原点与交点即得角的终边所在的位置，此时再根据方向即可确定相应的范围． ②正切型不等式的解法 对于tan x≥c，取点(1，c)，连接该点和原点并反向延长，即得角的终边所在的位置，结合图象可确定相应的范围． $$