贵州省黔南州罗甸县第一中学2025届高三上学期开学数学练习题

高三数学开学练习题 一、单选题 1．已知集合， ，则（     ） A． B． C． D． 2．若复数满足，则复数的虚部为（     ） A． B． C． D． 3．若直线与圆只有一个公共点，则（     ） A． B．1 C．0 D．2 4．已知函数过定点，则抛物线的准线方程是（     ） A． B． C． D． 5．现某酒店要从3名男厨师和2名女厨师中选出两人，分别做调料师和营养师，则至少有1名女厨师被选中的不同选法有（     ） A．14种 B．18种 C．12种 D．7种 6．下列选项正确的是（     ）． A． B． C．的最小值为 D．的最小值为 7．若，则（     ） A． B． C． D． 8．已知某圆柱的底面直径与某圆锥的底面半径相等，且它们的表面积也相等，圆锥的底面积是圆锥侧面积的一半，则此圆锥与圆柱的体积之比为（     ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知向量，的夹角为 ，且，，则（     ） A． B． C． D．在的方向上的投影向量为 10．下列论述正确的有（     ） A．若两组成对数据的样本相关系数分别为，则组数据比组数据的相关性较强 B．数据的第60百分位数为38 C．若随机变~，且，则 D．若样本数据的方差为1，则数据的方差为4 11．已知函数，则（     ） A．当时，的图象关于对称 B．当时，在上的最大值为 C．当为的一个零点时，的最小值为1 D．当在上单调递减时，的最大值为1 三、填空题 12．二项式的展开式中含项的系数是 ． 13．设椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，，则C的离心率为 ． 14．已知是等差数列的前项和，若，则数列的前2024项和为 . 四、解答题 15．设锐角的内角的对边分别为， (1)求角； (2)若边，面积为，求的周长． 16．如图，在四棱锥中，，，,点在上，且，． (1)若为线段中点，求证：平面． (2)若平面，求平面与平面夹角的余弦值． 17．某工厂生产的产品是经过三道工序加工而成的，这三道工序互不影响，已知生产该产品三道工序的次品率分别为，，. (1)求该产品的次品率； (2)从该工厂生产的大量产品中随机抽取三件，记次品的件数为X，求随机变量X的分布列与方差. 18．已知双曲线的方程为，实轴长和离心率均为2. (1)求双曲线的标准方程及其渐近线方程； (2)过且倾斜角为的直线与双曲线交于两点，求的值（为坐标原点）. 19．已知函数. (1)若是的极值点，求的值； (2)讨论函数的单调性； (3)若恒成立，求的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．C 【解析】根据一元二次不等式解法求得集合，由交集定义得到结果. 【详解】，. 故选：. 【点睛】本题考查集合运算中的交集运算，涉及到一元二次不等式的求解，属于基础题. 2．D 【分析】利用复数的除法求出复数，可得复数的虚部. 【详解】由题意得，故其虚部为. 故选：D 3．C 【分析】 根据给定条件，可得直线与圆相切，再借助点到直线距离公式计算即得. 【详解】依题意，直线与圆相切，而圆的圆心，半径为1， 因此，解得， 所以. 故选：C 4．D 【分析】由对数的运算求得，由抛物线的准线方程，可得所求． 【详解】解：由函数过定点，可得， 解得：， 则抛物线， 即的准线方程是． 故选：D． 5．A 【分析】先求出5人中选出2人分别做调料师和营养师，再求出没有女厨师被选中的选法，两个选法数相减可得至少有1名女厨师被选中的方法数. 【详解】从3名男剅师和2名女厨师中选出两人，分别做调料师和营养师，共有20（种），没有女厨师被选中的选法共有（种）， 故至少有1名女厨师被选中的不同选法有（种）. 故选：A. 6．D 【分析】利用基本不等式“一正、二定、三相等”的条件判断AB；借助对勾函数单调性判断CD. 【详解】对于A，当与为负数时，显然不成立，A不正确； 对于B，当x为负数时，显然不成立，B不正确； 对于C，令，所以的最小值为3， 当且仅当时，取到最小值，C不正确； 对于D，，令，函数在上递增， 因此当，即时，取得最小值，D正确. 7．A 【分析】利用二倍角余弦公式和差角余弦公式可得，求解即可. 【详解】由题 ， 所以. 故选：A 8．A 【解析】首先设出圆锥的底面半径和母线长，根据圆锥的底面积是圆锥侧面积的一半，求得.利用勾股定理求得圆锥的高，由此求得圆锥的体积.根据题意求得圆柱的底面半径，根据圆锥与圆柱的表面积相等，求得圆柱的高，由此求得圆柱的体积.从而求得圆锥与圆柱的体积之比. 【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为，则，即，所以圆锥的高，圆锥的体积.由题意，知圆柱的底面半径为，设圆柱的高为，因为圆锥与圆柱的表面积相等，所以，解得，所以圆柱的体，故. 故选：A 【点睛】本题考查简单几何体的表面积与体积，考查空间想象能力. 9．AB 【分析】根据向量的数量积、向量的模、向量的垂直和投影向量的运算性质，对各个选项逐一判定即可． 【详解】，，故A正确； ，所以，故B正确； ，所以， 又因为，所以，故C错误； 在上的投影向量为，故D错误； 故选：AB． 10．BCD 【分析】结合相关性的含义，可判定A不正确.根据百分位数的概念及求法，可判定B正确；根据正态分布曲线的对称性，可判定C正确；根据数据的方差性质的计算公式，可判定D正确； 【详解】对于A中，若两组成对数据的样本相关系数分别为，因为，所以组数据比组数据的相关性较强，A错误； 对于B，数据排序，共8个数据，则，所以数据的第60百分位数为38，B正确； 对于C，若随机变量，且，根据正态分布的对称性，，则，C正确； 对于D，样本数据的方差为1，则数据的方差为，D正确. 故选：BCD. 11．ACD 【分析】根据三角函数性质分别判断余弦函数的对称轴，余弦函数的值域与最值，余弦函数的单调性，余弦函数的零点对选项逐一判定即可． 【详解】时，，因为， 所以关于对称，故A正确； 时，由可得， 根据余弦函数的单调性可知的最大值为，故B错误； 若，则，，所以，，且， 所以的最小值为1，故C正确； 因为在上单调递减，且， 根据余弦函数的单调性可知的单调递减区间为： ，，，， 所以，，所以，故D正确． 故选：ACD． 12． 【分析】利用二项式展开式的通项公式可得答案. 【详解】因为， 令，得， 所以展开式中含项的系数是. 故答案为：. 13． 【解析】设，根据直角三角形中角所对的边等于斜边的一半以及勾股定理，得出、、，根据椭圆的定义以及离心率公式求解即可. 【详解】在中，设，因为，所以， . 故 . 故答案为： 【点睛】本题主要考查了椭圆的定义以及离心率的求法，属于基础题. 14．/ 【分析】根据给定条件，求出等差数列的通项及前项和，再利用裂项相消法求和即得. 【详解】等差数列中，，又，则， 因此等差数列的公差，则，， 于是， 数列的前项和， 所以数列的前2024项和为. 故答案为： 15．(1)； (2)20. 【分析】（1）由正弦定理得到，求出； （2）由三角形面积得到，根据余弦定理得到，从而得到周长. 【详解】（1）由及正弦定理，得， 又，得， 所以，又为锐角，所以； （2）由（1）得，则， 由余弦定理，得， 所以，所以， 所以的周长为． 16．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取的中点为，接，可证四边形为平行四边形，由线面平行的判定定理可得平面. （2）建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量后可求夹角的余弦值. 【详解】（1）取的中点为，接，则， 而，故，故四边形为平行四边形， 故，而平面，平面， 所以平面. （2） 因为，故，故， 故四边形为平行四边形，故，所以平面， 而平面，故，而， 故建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 则 设平面的法向量为， 则由可得，取， 设平面的法向量为， 则由可得，取， 故， 故平面与平面夹角的余弦值为 17．(1) (2)分布列见解析， 【分析】（1）根据相互独立事件的乘法公式以及对立事件的概率，即可求解. （2）根据二项分布的概率公式即可求解概率，进而可得分布列以及方差. 【详解】（1）产品正品的概率为：， 所以为次品的概率为 （2）由题意得，1，2，3，且, ，， ， . ∴X的分布列如下： X 0 1 2 3 P      ∴ 18．(1)，； (2)1. 【分析】（1）根据离心率以及实轴长即可求解，即可求解方程， （2）联立直线与双曲线方程得韦达定理，即可根据数量积的坐标运算求解. 【详解】（1）由离心率，又，则， 又长轴长，所以，所以， 故双曲线的标准方程为； 其渐近线方程为. （2）直线的倾斜角为，故其斜率为1，又过点， 的方程为； 设 由，得， 19．(1) (2)答案见解析 (3)； 【分析】（1）由题意可得，从而可求出的值； （2）求出函数的定义域，对函数求导后，分和两种情况讨论导数的正负，从而可求出函数的单调区间； （3）将问题转化为恒成立，构造函数，利用导数求出其最大值，即可求出a的取值范围. 【详解】（1）由，得， 因为是的极值点， 所以，即，所以，经检验符合题意. （2）. 当时，，所以在上单调递增； 当时，令，解得， 当时，； 当时，； 所以在上单调递增，在上单调递减， 综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减； （3）的定义域为，若恒成立，则恒成立， 即恒成立， 令，只需，又， 令得， 时，，则单调递增； 时，，则单调递减； 所以，解得：； 【点睛】关键点点睛：第（3）问解题的关键是分离参数后，构造函数，然后利用导数求出函数的最值即得. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$