2.1.1 倾斜角与斜率课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

人教2019A版选择性必修 第一册 2.1 直线的倾斜角与斜率 第二章 直线和圆的方程 2.1.1 倾斜角与斜率 点是构成直线的基本元素，在平面直角坐标系中，可以用坐标表示点，那么，如何用坐标表示直线呢？ 问题：怎么确定一条直线？ 两点确定一条直线 一点 + 一个方向确定一条直线 B A 设 A , B 为直线上的两点，则 就是这条直线的方向向量 两点确定一条直线可以归结为一点和一个方向确定一条直线 在直角坐标系中，过点 P 的一条直线绕 P 点旋转，不管旋转多少周，它对 x 轴的相对位置有几种情形？ x o y P x o y P x o y P x o y P 其它直线的方向向上 问题：如何表示直线的方向? 水平直线的方向向右 倾斜角 当直线 l 与 x 轴相交时，我们以 x 轴为基准， x 轴正向与直线 l 向上的方向之间所成的角 α 叫做直线 l 的倾斜角 当直线 l 与 x 轴平行或重合时，倾斜角为 0o 倾斜角为直角， 倾斜角为锐角， 倾斜角为钝角， 直线的倾斜角 α 的取值范围为 一点 + 倾斜角确定一条直线 倾斜角表示了一条直线的倾斜程度 ① 平面直角坐标系中每一条直线都有确定的倾斜角 ② 倾斜程度不同的直线有不同的倾斜角 ③ 倾斜程度相同的直线其倾斜角相同 日常生活中，还有没有表示倾斜程度的量呢？ x y o α 前进量 升 高 量 “坡度比”是“倾斜角”的正切值 “坡度比” x y O 在平面直角坐标系中，设直线 l 的倾斜角为 α． 若直线 l 经过点 ， ，则 α 与点 的坐标有什么关系? x y O 斜率 直线 l 的倾斜角 α 与直线 l 上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2) ( x1  x2 )的坐标有如下关系： 我们把一条直线的倾斜角 α 的正切值叫做这条直线的斜率， 斜率常用小写字母 k 表示，即斜率 1. 任何一条直线都有倾斜角， 但倾斜角为 90°的直线没有斜率 2. 当倾斜角为锐角时，其斜率为正值，斜率随着倾斜角的增大而增大 当倾斜角为钝角时，其斜率为负值，斜率随着倾斜角的增大而增大 当倾斜角为90°时，直线的斜率不存在 斜率：k = tanα α 的大小 α = 0o 0o < α < 90o α = 90o 90o < α < 180o k 的范围 k = 0 k > 0 不存在 k < 0 k 的增减性   随 α 的增大而增大   随 α 的增大而增大 在平面直角坐标系中，设直线 l 的倾斜角为 α． 若直线 l 经过点 ， ， 则直线的方向向量与斜率 k 有什么关系？ x y O 当 x1  x2 时，即直线 P1P2 与 x 轴不垂直， 其一个方向向量为 直线的方向向量 x y O 若直线 l 的斜率为 k， 它的一个方向向量的坐标为 (x，y)， 则其一个方向向量为 (1，k) 一、直线的倾斜角 已知直线 l 向上方向与 y 轴正向所成的角为30°， 则直线 l 的倾斜角为____________. 已知直线 l1 的倾斜角 α1＝15°，直线 l1 与 l2 的交点为 A ， 直线 l1 和 l2 向上的方向所成的角为 120°，则直线 l2 的倾斜角为_______. 二、直线的斜率 求直线的斜率的三种方法 (1) 已知直线的倾斜角为 α ，且 α ≠ 90°，则 (2) 已知直线上两点坐标，则 (3) 已知直线的一个方向向量 (x，y)，则 (1) 若直线的倾斜角为120°，则直线的斜率为______. (2) 求经过两点 A (2 , 3)，B (4 , 5) 的直线的斜率. (3) 已知直线 l 的方向向量的坐标为(1， )，则直线 l 的倾斜角为______. 三、倾斜角与斜率的应用 α 的大小 α = 0o 0o < α < 90o α = 90o 90o < α < 180o k 的范围 k = 0 k > 0 不存在 k < 0 k 的增减性   随 α 的增大而增大   随 α 的增大而增大 k = tanα 若经过点 A (1－t , 1＋t) 和点 B (3 , 2t) 的直线的倾斜角为钝角， 则实数 t 的取值范围是________. (－2 , 1) 已知A(－1，－2)，B(2 ，1)，C( x ， 2)三点共线，则 x＝_____， 直线 AB 的倾斜角为_____. 直线 l 过点P(1，0)，且与以 A(2，1)，B(0，)为端点的线段有公共点， 则直线 l 斜率的取值范围为___________________. 已知两点 A(－3 , 4)，B (3 , 2)，过点P(1,0)的直线 l 与线段 AB 有公共点. 求直线 l 的斜率 k 的取值范围 √ 若直线 l1，l2，l3 的斜率分别为k1，k2，k3，则 A.k1＜k3＜k2 B.k3＜k1＜k2 C.k1＜k2＜k3 D.k3＜k2＜k1 √ 4.若某直线的斜率k∈(－∞，]，则该直线的倾斜角α的取值范围是 A. B. C.∪ D. $$