1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题（第二课时） 课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

人教2019A版选择性必修 第一册 1.4 空间向量的应用 第一章 空间向量与立体几何 1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题 空间向量 立体几何 距离问题 夹角问题 与距离类似,角度是立体几何另一个重要的度量 下面我们用向量方法研究: 直线与直线所成的角 直线与平面所成的角 平面与平面的夹角 直线与直线所成的角 空间中两条直线 a,b,经过空间任一点 O 分别作直线a′∥a,b′∥b,我们把直线 a′ 与 b′ 所成的角叫做 异面直线 a 与 b 所成的角(或夹角) 空间中两条直线所成角 的取值范围是: l1 问题:两条直线的夹角 与两直线的方向向量的夹角有什么关系? l2 l1 l2 l1 l2 l1 l2 用空间向量求两条直线 l1,l2 夹角 的步骤与方法: 化为向量问题 ① 转化为求两直线 l1,l2 的方向向量 u,v 的夹角 进行向量运算 ② 计算 回到图形问题 ③ 两直线 l1,l2 夹角 的余弦值 l1 l2 直线与平面所成的角 l 一条斜线和它在平面上的射影所成的角, 叫做这条直线和这个平面所成的角 直线与平面所成角 的取值范围是: 问题:直线与平面所成的角 与直线的方向向量和平面的法向量夹角有什么关系? l l l l 用空间向量求直线 l 和平面 夹角 的步骤与方法: 化为向量问题 ① 转化为直线 l 的方向向量 u 和平面 的法向量 n 的夹角 进行向量运算 ② 计算 回到图形问题 ③ 直线 l 和平面 所成角 的正弦值 l 二面角的平面角 以二面角的棱上任意一点为顶点,在两个面内分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线所成的角叫做二面角的平面角 l O A B ∠AOB 即为二面角 -l- 的平面角 二面角的范围:[ 0o, 180o ] 平面与平面所成的角 空间中,平面 与平面 相交,形成四个二面角,我们把这四个二面角中不大于 90 的二面角称为平面 与平面 的夹角 平面与平面所成角 的取值范围是: 两个平面的夹角等于相应二面角或其补角 问题:两个平面的夹角 与这两个平面的法向量的夹角有什么关系? 用空间向量求平面 和平面 夹角 的步骤与方法: 化为向量问题 ① 转化为平面 的法向量 n 和平面 的法向量 m 的夹角 进行向量运算 ② 计算 回到图形问题 ③ 平面 和平面 所成角 的余弦值 角的类型 角的取值范围 方向向量与法向量 与向量夹角的关系 两条直线的夹角 两条直线的 方向向量 u,v 直线与平面的夹角 直线的方向向量 u, 平面的法向量 n 两个平面的夹角 两个平面的 法向量 n,m 一、求异面直线所成角的问题 ① 分别求两直线 l1,l2 的方向向量 u,v ② 计算 ③ 两直线 l1,l2 夹角 的余弦值 设两条异面直线 a,b 的方向向量分别为 a=(-1,1,0),b=(0,-1,1), 则直线 a 和 b 所成的角为_. 在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥底面ABC,AB=BC=AA1,∠ABC=90 ,点E,F分别是棱AB,BB1的中点, 试求直线 EF 和 BC1 所成角的大小. 在正方体 ABCD-A1B1C1D1中,E,F 分别为 D1C1,BB1 的中点, 则异面直线 AE,FC 所成角的余弦值为 若异面直线 l1 的方向向量与 l2 的方向向量的夹角为 , 则 l1 与 l2 所成的角为 √ 二、求线面角的问题 ① 求直线 l 的方向向量 u 和平面 的法向量 n ② 计算 ③ 直线 l 和平面 所成角 的正弦值 在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=BC=2,AA1=1,则 BC1 与平面 BB1D1D 所成角的正弦值为 在直三棱柱 ABC-A1B1C1中,AB=AC=AA1=2,∠BAC=90 ,E,F 分别为 C1C,BC 的中点. 求 A1B 与平面 AEF 所成角的正弦值. 三、求平面与平面夹角的问题 ① 求平面 的法向量 n 和平面 的法向量 m ② 计算 ③ 平面 和平面 所成角 的余弦值 点 A,B,C 分别在空间直角坐标系 Oxyz 的三条坐标轴上, =(0 , 0 , 2),平面 ABC 的一个法向量为 n=(2 , 1 , 2), 平面 ABC 与平面 ABO 的夹角为 ,则 cos =_. 已知正方形 ABCD 所在平面外一点 P,PA⊥平面ABCD,若 PA=AB, 则平面 PAB 与平面 PCD 的夹角为 A.30 B.45 C.60 D.90 √ 在直三棱柱 ABC-A1B1C1中,AB⊥AC,AB=AC=2, AA1=4,点 D 是 BC 的中点, 则平面 ADC1 与平面 A1BA 夹角的余弦值为_. A. B. C.或 D.以上均不对 $$