第十二章全等三角形单元试题 2024—2025学年人教版数学八年级上册

人教版八年级上册数学第十二章 全等三角形单元试题 一、单选题（每题3分，共30分） 1．如图，与相交于点，，若用“”说明，则还需添加的一个条件是（    ） A． B． C． D． 2．观察图中尺规作图痕迹，下列结论错误的是（    ） A．为的平分线 B． C．点到、的距离不相等 D． 3．如图，，若要补充一个条件使，则下列条件中不符合的是（    ） A． B． C． D． 4．如图，已知，，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是　　 （　　） A． B． C． D． 5．如图，在中，，，，一条线段，，两点分别在线段和的垂线上移动，若以、、为顶点的三角形与以、、为顶点的三角形全等，则的值为（    ） A． B． C．或 D．以上答案都不对 6．如图，在中，分别是和的平分线，过点作交于，交于，若，，则周长为（    ） A． B． C． D． 7．如图，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 8．如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃， 那么，最省事的方法是（ ） A．带①去 B．带②去 C．带③去 D．带①去和带②去 9．如图，点是的三个内角平分线的交点，若的周长为，面积为，则点P到边的距离是（ ） A． B． C． D． 10．如图1，，，过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，由 ，得 . 又，可以推理得到 ，进而得到，，我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型：[模型应用]如图2，且 ，且，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积为（    ） A． B． C． D． 二、填空题（每题3分，共30分） 11．如图，，点、、、在一条直线上，，，则 ． 12．如图，在中，于，于，与交于点，，，，则的长为 ． 13．如图，在中，为边上的中线，若，，则的取值范围是 ． 14．如图，在中，，平分，交于点．若，，则点到的距离是 ． 15．如图，，若，，，则 ． 16．如图，，，，，垂足分别为D，E，，，求 cm． 17．三角形的三边为 3、5、x ，另一个三角形的三边为 y 、3、4，若这两个三角形全等，则 ． 18．如图，中，，用尺规作图法作出射线，交于点，，为上一动点，则的最小值为 ． 19．如图，在中，，BD平分，若，，则点到的距离是 ．    20．如图，，，，分别为线段和射线上的一点，若点从点出发，以的速度向点运动，同时点以的速度从点出发沿射线的方向运动，运动到某时刻同时停止，在射线上取一点G，使与全等，则的长为 ． 三、解答题（共60分） 21．如图，在和 中，边，交于点，，，． (1)若，，求的度数； (2)求证：． 22．如图，已知，，． 求证： (1)； (2)，． 23．如图，，交于点，且，．求证：． 24．如图，，E是的中点，平分． (1)求证：是的平分线： (2)求证：． 25．如图，已知点、是内两点，且，，，． (1)求证：≌； (2)延长、交于点，若，，求的度数． 26．已知是的高，过作一直线，是直线上一点，是上一点，连接，． (1)求证：； (2)若，，，的面积是面积的3倍．求线段的长； (3)若，，，请直接写出的面积与面积的比值（用含有的式子表示）． 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．D 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据题意即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：在和中，由题意可知，，， ∴若用“”说明，则还需添加的一个条件是， 故选：． 2．C 【分析】本题考查角平分线的尺规作图，涉及角平分线的定义、角平分线的性质等知识，根据题中尺规作图即可得到答案，熟记角平分线的尺规作图方法是解决问题的关键． 【详解】解：由题意可知，图中尺规作图是作的平分线， A、有尺规作图可知为的平分线，说法正确，不符合题意； B、由尺规作图可知，说法正确，不符合题意； C、由角平分线性质可知点到、的距离相等，选项原说法错误，符合题意； D、由角平分线定义可得，说法正确，不符合题意； 故选：C． 3．B 【分析】本题主要考查全等三角形的判定，掌握三角形全等的判定定理是解题的关键．和中，已知的条件有，；要判定两三角形全等只需条件一组对应角相等，或或者即可．可据此进行判断，两边及一边的对角相等是不能判定两个三角形全等的． 【详解】解：∵，， ∴、当时，符合的判定条件，故正确，不符合题意； 、当时，给出的条件是，不能判定两个三角形全等，故错误，符合题意； 、当时，符合的判定条件，故正确，不符合题意； 、当时，，即，符合的判定条件，故正确，不符合题意； 故选：． 4．B 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，根据求出，根据平行线的性质求出，再根据全等三角形的判定定理逐个判断即可． 【详解】解：， ， 即， A．，，，符合全等三角形的判定定理，能证明，故本选项不符合题意； B．，，，不符合全等三角形的判定定理，不能证明，故本选项符合题意； C．，，，符合全等三角形的判定定理，能证明，故本选项不符合题意； D．， ， ，，，符合全等三角形的判定定理，能证明，故本选项不符合题意； 故选：B． 5．C 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，熟知全等三角形的性质是解题的关键．先根据题意得到，则以A、B、C为顶点的三角形与以A、P、Q为顶点的三角形全等，只有和两种情况，由此利用全等三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵是的垂线， ∴， ∵以A、B、C为顶点的三角形与以A、P、Q为顶点的三角形全等，只有和两种情况， 当， ∴； 当， ∴， 故选：C． 6．D 【分析】本题主要考查了平行线和角平分线的性质，先根据已知条件，证明，、，从而证明，，从而求出的周长即可． 【详解】解：分别是和的平分线 ， ， 的周长 ， 故选：D． 7．B 【分析】本题考查了全等三角形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的性质．根据全等的性质得到，然后根据等式的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故选B． 8．A 【分析】本题主要考查全等三角形的判定方法，已知三角形破损部分的边角，得到原来三角形的边角，根据三角形全等的判定方法，即可求解． 【详解】解：第③块，仅保留了原三角形的一个角和部分边，不符合任何判定方法； 第②块，仅保留了原三角形的一部分边，所以该块不行； 第①块，不但保留了原三角形的两个角还保留了两个角的夹边，符合判定定理“”，所以应该拿这块去． 故选：A． 9．A 【分析】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．过点P作于D，于E，于F，根据角平分线的性质得到，根据三角形的面积公式计算，得到答案． 【详解】解：过点P作于D，于E，于F，如图， ∵点P是的内角平分线的交点， ∴， 又的周长为，面积为， ∴， ∴ ∴ ∴点P到边的距离是3cm 故选：A． 10．B 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，三角形面积的计算，由“字”模型可知，，，则有，，，，然后根据割补法求面积即可； 【详解】解：由“字”模型可知，，， ，，，， ， 图中实线所围成的图形的面积为： ． 故选：B； 11．3 【分析】此题主要考查了全等三角形的性质，正确得出是解题关键． 直接利用全等三角形的性质得出，进而得出，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：3． 12．2 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识．先证，再证明，由全等三角形的性质得，，即可得出结论． 【详解】解：，， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ，， ， ． 故答案为：2． 13． 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系．画出图形，延长至，使，连接，证明得到，利用三角形的三边关系即可解答． 【详解】解：如图，延长至，使，连接， ∵为边上中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，，， ∴，即， ∴． 故答案为：． 14． 【分析】本题考查角平分线的性质．熟练掌握角平分线的性质定理是解题的关键．首先过点作于，由在中，，平分，根据角平分线的性质，即可得，继而求得答案． 【详解】解：过点作于， ∵在中，， ∴， ∵平分，， ∴， ∴点到的距离是． 故答案为． 15．/度 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，先由三角形内角和定理得到，再由全等三角形的性质得到，则． 【详解】解：∵，， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 16．6 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，证明，即可得到，． 【详解】∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 17．9 【分析】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键．根据全等三角形的对应边相等分别求出x、y，计算即可． 【详解】解：∵两个三角形全等， ∴，， ∴， 故答案为：9． 18． 【分析】本题考查尺规作图、角平分线的性质、垂线段最短，熟练掌握角平分线的性质是解答本题的关键．过点作于点，由尺规作图痕迹可知，为的平分线，则，由图可知，当点与点重合时，取得最小值，即可得出答案． 【详解】解：过点作于点， 由尺规作图痕迹可知，为的平分线， ， ， 为上一动点， 当点与点重合时，取得最小值， 的最小值为2． 故答案为：2 19．2 【分析】本题考查了角平分线的性质，点到直线的距离：过直线外一点作直线的垂线，则垂线段的长叫这个点到直线的距离，掌握角平分线的性质是解题的关键． 作于，根据与得到的长，由平分，根据角平分线的性到即可得到答案． 【详解】 解：如图，作于，    ，， ， 平分， 而， ， 点到的距离是． 故答案为：． 20．或 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质；利用分类讨论思想是解答此题的关键． 设运动时间为设，，，因为，使与全等，可分两种情况，情况一：当时，列方程解得t，可求出，情况二：当时，列方程解得t，可求出． 【详解】解：设运动时间为设，，， 因为，使与全等，可分两种情况： 情况一：当时， 有：， 解得：， ， 情况二：当时， 有， 解得：， ， 综上所述，或； 故答案为：或． 21．(1)； (2)证明见解析． 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，平行线的性质，全等三角形的判定，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据三角形内角和定理求出，再根据平行线的性质得出即可； （）根据平行线的性质得出，求出，再根据全等三角形的判定定理推出即可； 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴； （2）证明：∵， ∴， 在和中， ∴． 22．(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，平行线的判定，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，，，，，． （1）根据证明即可； （2）根据，得出，，根据平行线的判定方法即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即． 在和中，， ∴． （2）证明：由（1）可得， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 23．证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，平行线的性质，先由两直线平行，内错角相等得到，再利用即可证明． 【详解】证明：∵， ∴， 又∵， ∴． 24．(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质与判定，证明三角形全等是解题的关键． （1）过点作于点，首先根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等可得，根据等量代换可得，再根据角平分线的判定可得平分； （2）首先证明，可得，同理可得，再由利用等量代换可得结论． 【详解】（1）证明：如图，过点作于点， ，平分，， ， 是的中点， ， ， 又，， 平分； （2）证明：， ， 在和中， ， ， ， 同理， ， ． 25．(1)证明见解析 (2) 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识，正确的找出全等三角形的对应边和对应角是解题的关键． （1）先由推导出，再根据全等三角形的判定定理“”证明； （2）由求得，再由全等三角形的对应角相等求得，则，再由求得的度数． 【详解】（1）， ， ， 在和中， ， ∴≌． （2）， ， ， ． 26．(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形的面积等，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键. （1）延长至点， 由得出得到 ； （2）过点作交的延长线于点，证明 根据面积得到的长； （3）设则 ， 由（2）得， 得到根据 得出． 【详解】（1）证明：延长至点， 为的外角， ， ， ， ； （2）过点作 交的延长线于点， ， ， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵的面积是面积倍， ， ∵， ∴， 设， 则， ∴， ∴， ∴， ∴，解得， ∴； （3）设，， 则，， 由 (2) 得， ∴， ∴， ， ， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $$