7.4 事件的独立性同步练习-2024-2025学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册

§4　事件的独立性 一、必备知识基础练 1.[探究点二]某闯关游戏规则如下:在主办方预设的6个问题中,选手若能连续正确回答出两个问题,即停止答题,闯关成功.假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.6,且每个问题的回答结果相互独立,则该选手恰好回答了4个问题就闯关成功的概率等于(　　) A.0.064 B.0.144 C.0.216 D.0.432 2.[探究点二](多选题)从甲袋中摸出一个红球的概率是,从乙袋中摸出一个红球的概率是,从两袋中各摸出一个球,下列结论正确的是(　　) A.2个球都是红球的概率为 B.2个球不都是红球的概率为 C.至少有1个红球的概率为 D.2个球中恰有1个红球的概率为 3.[探究点一]从一副不含大小王的扑克牌(52张)中任抽一张,记事件A为“抽得K”,记事件B为“抽得红牌”,则事件A与事件B　　　　　(填“是”或“不是”)相互独立事件.  4.[探究点二]某人有4把钥匙,其中2把能打开门,现随机地取1把钥匙试着开门,不能开门的就扔掉,问第二次才能开门的概率是　　　　　;如果试过的钥匙不扔掉,这个概率是　　　　　.  5.[探究点二]某公司招聘员工,指定三门考试课程,有两种考试方案. 方案一:考三门课程,至少有两门及格为考试通过. 方案二:在三门课程中,随机选取两门,这两门都及格为考试通过. 假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别为0.5,0.6,0.9,且三门课程考试是否及格相互之间没有影响.求: (1)该应聘者用方案一考试通过的概率; (2)该应聘者用方案二考试通过的概率. 二、关键能力提升练 6.已知A,B是相互独立事件,若P(A)=0.2,P(AB+B+A)=0.44,则P(B)=(　　) A.0.3 B.0.4 C.0.5 D.0.6 7.投壶是我国古代的一种娱乐活动,比赛投中得分情况有“两筹”“四筹”“五筹”“六筹”“十筹”共五种情况,三场比赛得筹数最多者获胜.假设甲投中“两筹”的概率为,投中“四筹”的概率为,投中“五筹”的概率为,投中“六筹”的概率为,投中“十筹”的概率为,未投中(零筹)的概率为.乙的投掷水平与甲相同,且甲、乙投掷相互独立.比赛第一场两人平局,第二场甲投中“两筹”,乙投中“六筹”,则三场比赛结束时,甲获胜的概率为(　　) A. B. C. D. 8.同学甲参加某科普知识竞赛,需回答三个问题,竞赛规则规定:答对第一、二、三个问题分别得100分、100分、200分,答错或不答均得零分.假设同学甲答对第一、二、三个问题的概率分别为0.8,0.6,0.5,且各题答对与否相互之间没有影响,则同学甲得分不低于300分的概率是　　　　　.  9.田忌赛马的故事出自司马迁的《史记》,话说齐王、田忌分别有上、中、下等马各一匹,赛马规则是:一场比赛需要比赛三局,每匹马都要参赛,且只能参赛一局,最后以获胜局数多者为胜.记齐王、田忌的马匹分别为A1,A2,A3和B1,B2,B3,每局比赛之间都是相互独立的,而且不会出现平局.用(i,j∈{1,2,3})表示马匹Ai与Bj比赛时齐王获胜的概率,若=0.8,=0.9,=0.95;=0.1,=0.6,=0.9;=0.09,=0.1,=0.6.则一场比赛共有　　　　　种不同的比赛方案;在上述所有的方案中,有一种方案田忌获胜的概率最大,此概率的值为　　　　　.  10.在一个选拔节目中,每个选手都需要进行四轮考核,每轮设有一个问题,能正确回答者进入下一轮考核,否则被淘汰.已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮问题的概率分别为,且各轮问题能否正确回答互不影响. (1)求该选手进入第三轮才被淘汰的概率; (2)求该选手至多进入第三轮考核的概率. 11.已知某种高炮在它控制的区域内击中敌机的概率为0.2. (1)假定有5门这种高炮控制某个区域,求敌机进入这个区域后未被击中的概率; (2)要使敌机一旦进入这个区域后有0.9以上的概率被击中,需至少布置几门高炮? 三、学科素养创新练 12.一个系统如图所示,A,B,C,D,E,F为6个部件,其正常工作的概率都是,且是否正常工作是相互独立的,当A,B都正常工作,或C正常工作,或D正常工作,或E,F都正常工作时,系统就能正常工作,则系统正常工作的概率是(　　) A. B. C. D. 参考答案 1.B　选手恰好回答了4个问题就闯关成功,则第1个问题可能正确,也可能不正确,第2个问题不正确,第3,4个问题正确.故P=0.6×0.4×0.6×0.6+0.4×0.4×0.6×0.6=0.144.故选B. 2.ACD　设“从甲袋中摸出一个红球”为事件A1,“从乙袋中摸出一个红球”为事件A2,则P(A1)=,P(A2)=,且A1,A2相互独立. A中,概率为P(A1A2)=P(A1)P(A2)=,正确;B中,是“两个都是红球”的对立事件,其概率为1-P(A1A2)=,错误;C中,2个球中至少有1个红球的概率为1-P()P()=1-,正确;D中,2个球中恰有1个红球的概率为P(A1)+P(A2)=,正确.故选ACD. 3.是　由题可得,P(A)=,P(B)= 事件AB即为“既抽得K又抽得红牌”,也可以表示“抽得红桃K或方块K”,故P(AB)=,从而有P(A)P(B)=P(AB),因此事件A与B相互独立. 4　由题意知,第二次打开门,说明第一次没有打开门,故第二次打开门的概率为如果试过的钥匙不扔掉,这个概率为 5.解 记“该应聘者对三门指定课程考试及格”的事件分别为A,B,C,则P(A)=0.5,P(B)=0.6,P(C)=0.9. (1)应聘者用方案一考试通过的概率为P1=P(AB)+P(BC)+P(AC)+P(ABC)=0.5×0.6×0.1+0.5×0.6×0.9+0.5×0.4×0.9+0.5×0.6×0.9=0.75. (2)应聘者用方案二考试通过的概率为P2=P(AB)+P(BC)+P(AC)=0.5×0.6+0.6×0.9+0.5×0.9=0.43. 6.A　因为A,B是相互独立事件,所以,B和A,均相互独立.因为P(A)=0.2,P(AB+B+A)=0.44,所以P(A)P(B)+P()P(B)+P(A)P()=0.44,所以0.2P(B)+0.8P(B)+0.2[1-P(B)]=0.44,解得P(B)=0.3. 7.C　由题可知, 筹数 2 4 5 6 10 0 P 甲要想赢得比赛,在第三场比赛中,比乙至少多得五筹,甲得“五筹”,乙得“零筹”,甲可赢,概率为P1=; 甲得“六筹”,乙得“零筹”,甲可赢,概率为P2=; 甲得“十筹”,乙得“零筹”或“两筹”或“四筹”或“五筹”,甲可赢,概率为P3=三场比赛结束时,甲获胜的概率为P=P1+P2+P3= 8.0.46　设“同学甲答对第i个题”为事件Ai(i=1,2,3),则P(A1)=0.8,P(A2)=0.6,P(A3)=0.5,且事件A1,A2,A3相互独立,同学甲得分不低于300分即为事件A1A2A3∪A1A3A2A3发生, 故所求概率为P=P(A1A2A3∪A1A3A2A3)=P(A1A2A3)+P(A1A3)+P(A2A3)=P(A1)P(A2)P(A3)+P(A1)P()P(A3)+P()P(A2)P(A3)=0.8×0.6×0.5+0.8×0.4×0.5+0.2×0.6×0.5=0.46. 9.6　0.819　由题意可知,所有的比赛方案为(A1B1,A2B2,A3B3),(A1B1,A2B3,A3B2),(A1B2,A2B1,A3B3),(A1B2,A2B3,A3B1),(A1B3,A2B2,A3B1),(A1B3,A2B1,A3B2),故一场比赛共6种不同的比赛方案.其中采用方案(A1B3,A2B1,A3B2),则田忌获胜的概率最大,记田忌三局全胜和恰胜两局的概率分别为P1,P2,则P1=0.05×0.9×0.9=0.040 5,P2=0.05×0.9×0.1×2+0.95×0.9×0.9=0.778 5,所以有一种方案田忌获胜的概率最大,此概率的值为0.040 5+0.778 5=0.819. 10.解设事件Ai(i=1,2,3,4)表示“该选手能正确回答第i轮问题”,则P(A1)=,P(A2)=,P(A3)=,P(A4)= (1)设事件B表示“该选手进入第三轮才被淘汰”, 则P(B)=P(A1A2)=P(A1)P(A2)P()=1-= (2)设事件C表示“该选手至多进入第三轮考核”, 则P(C)=P(+A1+A1A2)=P()+P(A1)+P(A1A2)=1-1-+1-= 11.解 (1)设“敌机被第k门高炮击中”的事件为Ak(k=1,2,3,4,5),那么“5门高炮都未击中敌机”的事件为 ∵事件A1,A2,A3,A4,A5相互独立, ∴敌机未被击中的概率为P()=P()P()P()P()P()=(1-0.2)5= ∴敌机未被击中的概率为 (2)设至少需要布置n门高炮才能有0.9以上的概率被击中, 由(1)可得,敌机被击中的概率为1-,令1-0.9,得,两边取常用对数,得n10.3.∵n∈N+,∴n=11,故至少需要布置11门高炮才能有0.9以上的概率击中敌机. 12.A　设“C正常工作”为事件G,“D正常工作”为事件H,“A与B中至少有一个不正常工作”为事件T,“E与F中至少有一个不正常工作”为事件R,则P(G)=P(H)=,P(T)=P(R)=1-,故系统正常工作的概率P=1-P(T)P(R)P()P()= 学科网（北京）股份有限公司 $$