2023-2024学年人教版八年级下册期末数学模拟试卷

2023-2024学年八年级（下）期末数学试卷 一、选择题（每小题3分，满分30分） 1．（3分）下列各式是二次根式的是（　　） A． B． C． D． 2．（3分）下列各组数据中，能构成一个直角三角形三边的是（　　） A．2、3、 B．4、6、 C．5、12、13 D．、2、 3．（3分）关于函数y＝x+b的图象，下列结论错误的是（　　） A．y随x增大而增大 B．图象经过第三象限 C．当x≥0时，y≤b D．当x＜0时，y＜b 4．（3分）在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，下列条件中不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　） A．AB＝CD，AD＝BC B．AB＝CD，AO＝CO C．AB∥CD，AO＝CO D．AB∥CD，AD∥BC 5．（3分）已知某5个学生的数学成绩的和是a，另6个学生的数学成绩的和是b，则这11个学生的数学平均成绩是（　　） A． B． C． D． 6．（3分）如图，正方形ABCD的边长为4，P为正方形边上一动点，运动路线是A→D→C→B→A，设P点经过的路程为x，以点A、P、D为顶点的三角形的面积是y，则下列图象能大致反映y与x的函数关系的是（　　） A． B． C． D． 7．（3分）已知＝a，＝b，则＝（　　） A． B． C． D． 8．（3分）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若OA＝4，OH＝2，则菱形ABCD的面积为（　　） A．8 B．16 C．24 D．32 9．（3分）小红在班上做节水意识调查，收集了班上7位同学家里上个月的用水量（单位：吨）如下：5，5，6，7，8，9，10．她发现，若去掉其中两个数据后，这组数据的中位数、众数保持不变，则去掉的两个数可能是（　　） A．5，10 B．5，9 C．6，8 D．7，8 10．（3分）如图，在矩形ABCD中，E是边AD上一点，F，G分别是BE，CE的中点，连接AF，DG，FG，若AF＝3，DG＝4，FG＝5，则矩形ABCD的面积为（　　） A．12 B．24 C．36 D．48 二、填空题（每小题3分，满分18分） 11．（3分）在函数中，自变量x的取值范围是 　 　． 12．（3分）▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，请你添加一个条件 　 　，使▱ABCD为矩形． 13．（3分）若一组数据2、﹣1、0、2、﹣1、a的众数为a，则这组数据的平均数为　 　． 14．（3分）如图，直线y＝ax+b与直线y＝mx+n的图象如图所示，则关于x的不等式mx+n＞ax+b的解集为 　 　． 15．（3分）已知直角三角形的两边长为4和6，那么这个直角三角形的斜边长为 　 　． 16．（3分）如图，在平面直角坐标系中，直线l：y＝x﹣1与x轴交于点A1，以OA1为一边作正方形OA1B1C1，使得点C1在y轴正半轴上，延长C1B1交直线l于点A2，按同样方法依次作正方形C1A2B2C2、正方形C2A3B3C3、…、正方形Cn﹣1AnBn∁n，使得点A1A2A3、…An，均在直线l上，点C1，C2，C3…∁n在y轴正半轴上，则点B2024的横坐标是 　 　． 三、解答题 17．（5分）计算：； 18．（9分）某校举办以“喜迎2024巴黎奥运会，助力奥运健儿”为主题的知识竞赛，从七年级和八年级各随机抽取了50名学生的竞赛成绩（分数为整数）进行整理、描述和分析，部分信息如下： 七年级抽取成绩在70≤x＜80这一组的是： 70，72，73，73，75，75，75，76，77，77，78，78，79，79，79，79． 七、八年级抽取成绩的平均数、中位数、方差如下： 年级 平均数 中位数 方差 七年级 76.5 m 127.36 八年级 78.2 79 144.12 请结合以上信息完成下列问题： （1）七年级抽取成绩在70≤x＜80的人数是 　 　人，并补全频数分布直方图； （2）表中m的值为 　 　，七年级学生甲和八年级学生乙的竞赛成绩都是78，则 　 　（填“甲”或“乙”）的成绩在本年级抽取成绩中排名更靠前； （3）在这次调查中，竞赛成绩波动较小的是 　 　年级； （4）该校七年级的学生共有600人，请估计七年级竞赛成绩80分及以上的学生人数． 19．（8分）如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，以AD，OD为邻边作平行四边形ADOE，连接BE． （1）求证：四边形AOBE是菱形； （2）若∠EAO+∠DCO＝180°，DC＝2，求四边形ADOE的面积． 20．（9分）已知：甲、乙两车分别从相距300千米的A，B两地同时出发相向而行，甲车到达B地后休息了一段时间，然后原路原速返回A地，结果甲车比乙车早半小时到达A地．如图是甲、乙两车距A地的距离y（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数图象． （I）甲车行驶过程中的速度是 　 　千米/时，甲车到B地后休息的时间为 　 　小时； （2）求图象中线段EF对应的函数解析式，并写出自变量x的取值范围； （3）请直接写出甲乙两车出发多长时间，在途中相遇． 21．（9分）综合与实践 折纸是同学们喜欢的手工活动之一，通过折纸我们既可以得到许多美丽的图形，同时折纸的过程还蕴含着丰富的数学知识． 矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，点P在边CD上，且不与点C、D重合，直线AP与BC的延长线交于点E． （1）如图①，当点P是CD的中点时，猜想△ADP与△ECP的关系为 　 　，证明你的结论； （2）如图②，将△ADP沿直线AP折叠得到△AD′P，点D′落在矩形ABCD的内部，延长PD′交直线AB于点F． ①猜想AF与PF的数量关系为 　 　，在（1）条件下可求AF＝　 　； ②连接D′C，△PCD′周长的最小值为 　 　． 22．（12分）综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点．把△AOB沿过点B的直线折叠，使点A落在y轴上的点E处，折痕交x轴于点C．直线CE与直线AB相交于点D． （1）求BE的长： （2）求直线CE的解析式： （3）在x轴上存在点P，当BP+DP的值最小时，点P的坐标为 　 　； （4）在x轴上方的平面内存在一点M，平面内存在一点N，使以A、B、M、N为顶点的四边形是正方形，请直接写出点M的坐标． 2023-2024学年八年级（下）期末数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（每小题3分，满分30分） 1．（3分）下列各式是二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据二次根式的定义进行判断即可． 【解答】解：A．中被开方数﹣2＜0，不是二次根式，故不符合题意； B．的根指数是3，不是2，不是二次根式，故不符合题意； C．中被开方数a不一定大于0，不是二次根式，故不符合题意； D．是二次根式，故符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查了二次根式的定义，能数据二次根式的定义（当a≥0时，形如的式子叫二次根式）是解此题的关键． 2．（3分）下列各组数据中，能构成一个直角三角形三边的是（　　） A．2、3、 B．4、6、 C．5、12、13 D．、2、 【分析】欲求证是否为直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可． 【解答】解：A、22+32≠（）2，故为不直角三角形，不符合题意； B、42+（）2≠62，故不为直角三角形，不符合题意； C、52+122＝132，故为直角三角形，符合题意； D、（）2+22≠（）2，故不为直角三角形，不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．勾股定理的逆定理：若三角形三边满足a2+b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形． 3．（3分）关于函数y＝x+b的图象，下列结论错误的是（　　） A．y随x增大而增大 B．图象经过第三象限 C．当x≥0时，y≤b D．当x＜0时，y＜b 【分析】根据一次函数的性质和题目中的函数解析式，可以判断出各个选项中的说法是否正确，本题得以解决． 【解答】解：∵函数y＝x+b，k＝1＞0， ∴y随x的增大而增大，故选项A正确，不符合题意； 该函数图象一定经过第一、三象限，故选项B正确，不符合题意； 当x≥0时，y≥b，故选项C错误，符合题意； 当x＜0时，y＜b，故选项D正确，不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查一次函数的性质、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答． 4．（3分）在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，下列条件中不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　） A．AB＝CD，AD＝BC B．AB＝CD，AO＝CO C．AB∥CD，AO＝CO D．AB∥CD，AD∥BC 【分析】由平行四边形的判定分别对各个选项进行判断即可． 【解答】解：如图， A、∵AB＝CD，AD＝BC， ∴四边形ABCD是平行四边形，故选项A不符合题意； B、由AB＝CD，AO＝CO，不能判定四边形ABCD是平行四边形，故选项B符合题意； C、∵AB∥CD， ∴∠OAB＝∠OCD， 在△AOB和△COD中， ， ∴△AOB≌△COD（ASA）， ∴OB＝OD， 又∵OA＝OC， ∴四边形ABCD是平行四边形，故选项C不符合题意； D、∵AB∥CD，AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形，故选项D不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查了平行四边形的判定等知识，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键． 5．（3分）已知某5个学生的数学成绩的和是a，另6个学生的数学成绩的和是b，则这11个学生的数学平均成绩是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据平均数的定义列出代数式即可． 【解答】解：∵某5个学生的数学成绩的和是a，另6个学生的数学成绩的和是b， ∴这11个学生的数学平均成绩是． 故选：A． 【点评】本题考查列代数式、加权平均数，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式． 6．（3分）如图，正方形ABCD的边长为4，P为正方形边上一动点，运动路线是A→D→C→B→A，设P点经过的路程为x，以点A、P、D为顶点的三角形的面积是y，则下列图象能大致反映y与x的函数关系的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据动点从点A出发，首先向点D运动，此时y不随x的增加而增大，当点P在DC上运动时，y随着x的增大而增大，当点P在CB上运动时，y不变，据此作出选择即可． 【解答】解：当点P由点A向点D运动，即0＜x≤4时，y的值为0； 当点P在DC上运动，即4＜x≤8时，y随着x的增大而增大； 当点P在CB上运动，即8＜x≤12时，y不变； 当点P在BA上运动，即12＜x≤16时，y随x的增大而减小． 故选：B． 【点评】本题考查了动点问题的函数图象，解决动点问题的函数图象问题关键是发现y随x的变化而变化的趋势． 7．（3分）已知＝a，＝b，则＝（　　） A． B． C． D． 【分析】把0.063写成分数的形式，化简后再利用积的算术平方根的性质，写成含ab的形式． 【解答】解：＝＝ ＝ ∵＝a，＝b， ∴原式＝． 故选：D． 【点评】本题考查了二次根式的化简及积的算术平方根的性质．积的算术平方根的性质：＝•（a≥0，b≥0） 8．（3分）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若OA＝4，OH＝2，则菱形ABCD的面积为（　　） A．8 B．16 C．24 D．32 【分析】由Rt△BHD中，点O是BD的中点，根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，OH＝2，则，BD＝4，由菱形对角线的性质可得AC＝8，应用菱形的面积等于两条对角线乘积的一半，即可得出答案． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD， ∵DH⊥AB， ∴∠BHD＝90°， ∴BD＝2OH， ∵OH＝2， ∴BD＝4， ∵OA＝4， ∴AC＝8， ∴菱形ABCD的面积＝AC•BD＝＝16． 故选：B． 【点评】本题主要考查了菱形的性质和面积及直角三角形的性质，合理利用菱形的性质及直角三角形的性质进行计算是解决本题的关键． 9．（3分）小红在班上做节水意识调查，收集了班上7位同学家里上个月的用水量（单位：吨）如下：5，5，6，7，8，9，10．她发现，若去掉其中两个数据后，这组数据的中位数、众数保持不变，则去掉的两个数可能是（　　） A．5，10 B．5，9 C．6，8 D．7，8 【分析】根据中位数和众数的定义确定中位数和众数分别是多少，然后即可确定答案． 【解答】解：数据5，5，6，7，8，9，10的众数为5，中位数为7， 若去掉其中两个数据后，这组数据的中位数、众数保持不变，则5不能去掉，7不能去掉， 所以去掉可能是6，8， 故选：C． 【点评】本题考查了众数及中位数的定义，解题的关键是能够牢记方法并正确的计算． 10．（3分）如图，在矩形ABCD中，E是边AD上一点，F，G分别是BE，CE的中点，连接AF，DG，FG，若AF＝3，DG＝4，FG＝5，则矩形ABCD的面积为（　　） A．12 B．24 C．36 D．48 【分析】根据矩形的性质可得∠BAD＝∠ADC＝90°，根据F，G分别是BE，CE的中点，可得AF＝BE，DG＝CE，FG是△BEC的中位线，求出BE，CE和BC的长，进一步可知△BEC是直角三角形，∠BEC＝90°，根据S△BEC＝求出△BEC的面积，根据△BEC和矩形ABCD同底等高，可知矩形ABCD的面积＝2S△BEC，即可求出矩形ABCD的面积． 【解答】解：在矩形ABCD中，∠BAD＝∠ADC＝90°， ∵F，G分别是BE，CE的中点， ∴AF＝BE，DG＝CE，FG是△BEC的中位线， ∴FG＝BC， ∵AF＝3，DG＝4，FG＝5， ∴BE＝6，CE＝8，BC＝10， ∵BE2+CE2＝36+64＝100，BC2＝100， ∴BE2+CE2＝BC2， ∴△BEC是直角三角形，∠BEC＝90°， ∴S△BEC＝＝＝24， ∴矩形ABCD的面积＝2S△BEC＝2×24＝48， 故选：D． 【点评】本题考查了矩形的性质，三角形中位线定理，直角三边形斜边的中线的性质，勾股定理逆定理，熟练掌握这些性质是解题的关键． 二、填空题（每小题3分，满分21分） 11．（3分）在函数中，自变量x的取值范围是 　x＞﹣2　． 【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为0列出不等式，解不等式得到答案． 【解答】解：由题意得：x+2＞0， 解得：x＞﹣2， 故答案为：x＞﹣2． 【点评】本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，掌握二次根式的被开方数是非负数、分母不为0是解题的关键． 12．（3分）▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，请你添加一个条件 　AC＝BD（答案不唯一）　，使▱ABCD为矩形． 【分析】根据矩形的定义得出答案即可． 【解答】解：∵对角线相等的平行四边形是矩形， ∴当AC＝BD，▱ABCD为矩形； 故答案为：AC＝BD（答案不唯一）． 【点评】此题主要考查了矩形的判定以及平行四边形的性质，根据矩形的定义得出是解题关键． 13．（3分）若一组数据2、﹣1、0、2、﹣1、a的众数为a，则这组数据的平均数为　或　． 【分析】根据题意可知a＝﹣1或a＝2，然后分别求出这组数据的平均数即可解答本题． 【解答】解：∵一组数据2、﹣1、0、2、﹣1、a的众数为a， ∴当a＝﹣1时，这组数据的平均数为：＝， 当a＝2时，这组数据的平均数为：， 故答案为：或． 【点评】本题考查众数和算术平均数，解题的关键是明确众数的定义，会求一组数据的平均数，运用分类讨论的数学思想解答问题． 14．（3分）如图，直线y＝ax+b与直线y＝mx+n的图象如图所示，则关于x的不等式mx+n＞ax+b的解集为 　x＞﹣3　． 【分析】根据所给函数图象，利用数形结合的数学思想即可解决问题． 【解答】解：由函数图象可知， 当x＞﹣3时，一次函数y＝mx+n的图象在一次函数y＝ax+b图象的上方，即mx+n＞ax+b， 所以关于x的不等式mx+n＞ax+b的解集为：x＞﹣3． 故答案为：x＞﹣3． 【点评】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式及一次函数的图象，熟知一次函数与一元一次不等式之间的关系及巧用数形结合的数学思想是解题的关键． 15．（3分）已知直角三角形的两边长为4和6，那么这个直角三角形的斜边长为 　6或　． 【分析】分两种情形：4，6第四直角边．6是斜边分别求解． 【解答】解：当4，6第四直角边时，斜边＝＝2． 当6的斜边时，斜边为6． 故答案为：6或2． 【点评】本题考查勾股定理，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题． 16．（3分）如图，在平面直角坐标系中，直线l：y＝x﹣1与x轴交于点A1，以OA1为一边作正方形OA1B1C1，使得点C1在y轴正半轴上，延长C1B1交直线l于点A2，按同样方法依次作正方形C1A2B2C2、正方形C2A3B3C3、…、正方形Cn﹣1AnBn∁n，使得点A1A2A3、…An，均在直线l上，点C1，C2，C3…∁n在y轴正半轴上，则点B2024的横坐标是 　22023　． 【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征结合正方形的性质，可得出点A1、B1的坐标，同理可得出A2、A3、A4、A5、…的坐标，进而得到B2、B3、B4、B5、…的横坐标，根据点的坐标变化可找出变化规律，依此规律即可得出结论． 【解答】解：当y＝0时，有x﹣1＝0， 解得：x＝1， ∴点A1的坐标为（1，0）． ∵四边形A1B1C1O为正方形， ∴点B1的坐标为（1，1）． 同理，可得出：A2（2，1），A3（4，3），A4（8，7），A5（16，15），…， ∴B2的横坐标为2，B3的横坐标为4，B4的横坐标为8，B5的横坐标为16，…， ∴Bn的横坐标为2n﹣1（n为正整数）， ∴点B2024的横坐标是22023． 故答案为：22023． 【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、正方形的性质以及规律型：点的坐标，根据点的坐标的变化找出变化规律Bn的横坐标为2n﹣1（n为正整数）是解题的关键． 三、解答题（本题共6道大题，共69分） 17．（5分）计算：； 【分析】先化简，同时将除法转化为乘法，再约分即可； 【解答】解： ＝9×× ＝6； 【点评】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 18．（9分）某校举办以“喜迎2024巴黎奥运会，助力奥运健儿”为主题的知识竞赛，从七年级和八年级各随机抽取了50名学生的竞赛成绩（分数为整数）进行整理、描述和分析，部分信息如下： 七年级抽取成绩在70≤x＜80这一组的是： 70，72，73，73，75，75，75，76，77，77，78，78，79，79，79，79． 七、八年级抽取成绩的平均数、中位数、方差如下： 年级 平均数 中位数 方差 七年级 76.5 m 127.36 八年级 78.2 79 144.12 请结合以上信息完成下列问题： （1）七年级抽取成绩在70≤x＜80的人数是 　16　人，并补全频数分布直方图； （2）表中m的值为 　77　，七年级学生甲和八年级学生乙的竞赛成绩都是78，则 　甲　（填“甲”或“乙”）的成绩在本年级抽取成绩中排名更靠前； （3）在这次调查中，竞赛成绩波动较小的是 　七　年级； （4）该校七年级的学生共有600人，请估计七年级竞赛成绩80分及以上的学生人数． 【分析】（1）根据已知得出70≤x＜80的人数，并补全频数分布直方图； （2）根据中位数的定义求解即可；根据该学生的成绩大于七年级的中位数，而小于八年级的中位数，即可判断； （3）根据方差的意义判断即可； （4）用样本估计总体的思想解决问题． 【解答】解：（1）∵七年级抽取成绩在70≤x＜80这一组的是：70，72，73，73，75，75，75，76，77，77，78，78，79，79，79，79， ∴七年级抽取成绩在70≤x＜80的人数是16人， 补全统计图： 故答案为：16； （2）第25个数据为77，第26个数据为77， ∴中位数m＝＝77， ∵78大于七年级的中位数，而小于八年级的中位数． ∴甲的成绩在本年级抽取成绩中排名更靠前； 故答案为：77，甲； （3）∵127.36＜144.12， ∴在这次调查中，竞赛成绩波动较小的是七年级． 故答案为：七； （4）（人）， 答：估计七年级竞赛成绩80分及以上的学生人数约为216人． 【点评】本题考查频数分布直方图、用样本估计总体、中位数的意义及求法，理解各个统计量的意义，明确各个统计量的特点是解决问题的前提和关键． 19．（8分）如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，以AD，OD为邻边作平行四边形ADOE，连接BE． （1）求证：四边形AOBE是菱形； （2）若∠EAO+∠DCO＝180°，DC＝2，求四边形ADOE的面积． 【分析】（1）先证明四边形AOBE是平行四边形，再证明AB⊥OE即可； （2）根据∠EAO+∠DCO＝180°，以及矩形性质可求得∠EAO＝120°，求出△AEO面积，利用四边形ADOE的面积等于△AEO面积的2倍即可求解． 【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴DO＝BO． ∵四边形ADOE是平行四边形，∴AE∥DO，AE＝DO，AD∥OE． ∴AE∥BO，AE＝BO，∴四边形AOBE是平行四边形． ∵AD⊥AB，AD∥OE， ∴AB⊥OE． ∴四边形AOBE是菱形； （2）设AB与EO交点为M． ∵AB∥CD，∴∠DCO＝∠BAO． ∵四边形AOBE是菱形，∴∠EAO＝2∠BAO． ∵∠EAO+∠DCO＝180°， ∴∠BAO＝120°，∠EAM＝60°． 又AM＝AB＝1，∴EM＝． ∴EO＝2，∴△AEO面积为×2×1＝， ∴四边形ADOE面积＝2． 【点评】本题主要考查平行四边形的性质、菱形的判定和性质，矩形的性质． 20．（9分）已知：甲、乙两车分别从相距300千米的A，B两地同时出发相向而行，甲车到达B地后休息了一段时间，然后原路原速返回A地，结果甲车比乙车早半小时到达A地．如图是甲、乙两车距A地的距离y（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数图象． （I）甲车行驶过程中的速度是 　100　千米/时，甲车到B地后休息的时间为 　1　小时； （2）求图象中线段EF对应的函数解析式，并写出自变量x的取值范围； （3）请直接写出甲乙两车出发多长时间，在途中相遇． 【分析】（1）根据函数图象可以分别求得答案； （2）根据待定系数法即可得图象中线段EF对应的函数解析式； （3）根据函数图象可以求得甲车各段的函数解析式，从而可以求得甲乙两车出发多长时间，在途中相遇． 【解答】解：（1）由图可得， 甲车的速度：300÷3＝100（千米/小时）， 甲车到B地后休息的时间为7.5﹣0.5﹣（3×2）＝1（小时）， 故答案为：100，1； （2）设线段EF的函数解析式y＝kx+b（k≠0），将E（0，300）和F（7.5，0）代入解析式， ， 解得， ∴图象中线段EF对应的函数解析式为y＝﹣40x+300（0≤x≤7.5）； （3）设甲车从A到B地对应的解析式为y＝ax， 则300＝3a，得a＝100， ∴y＝100x（0≤x≤3）， 设甲车从B地返回到A地的过程中，y与x之间的函数关系式为y＝k′x+b′． 将（4，300），（7，0）代入可得， 解得， 即甲车从B地返回到A地的过程中，y与x之间的函数关系式是y＝﹣100x+700（4≤x≤7）；， 由得， 由得， ∴甲乙两车出发小时或小时，在途中相遇． 【点评】本题考查一次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． 21．（9分）综合与实践 折纸是同学们喜欢的手工活动之一，通过折纸我们既可以得到许多美丽的图形，同时折纸的过程还蕴含着丰富的数学知识． 矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，点P在边CD上，且不与点C、D重合，直线AP与BC的延长线交于点E． （1）如图①，当点P是CD的中点时，猜想△ADP与△ECP的关系为 　△ADP≌△ECP　，证明你的结论； （2）如图②，将△ADP沿直线AP折叠得到△AD′P，点D′落在矩形ABCD的内部，延长PD′交直线AB于点F． ①猜想AF与PF的数量关系为 　AF＝PF　，在（1）条件下可求AF＝　　； ②连接D′C，△PCD′周长的最小值为 　6　． 【分析】（1）证出∠DAP＝∠E，∠D＝∠DCE，根据AAS可证明△ADP≌△ECP； （2）①由折叠的性质得出AD'＝AD＝3，PD'＝PD＝2，∠D＝∠AD'P＝∠AD'F＝90°，设FA＝x，则FP＝x，由勾股定理可得出答案； ②连接AC，当点D恰好位于对角线AC上时，CD'+AD'最小，由勾股定理可得出答案． 【解答】解：（1）△ADP≌△ECP． 证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥CB， ∴∠DAP＝∠E，∠D＝∠DCE， ∵点P是DC的中点， ∴BP＝CP， ∴△ADP≌△ECP（AAS）； 故答案为：△ADP≌△ECP； （2）①∵四边形ABCD是矩形， ∴AB∥DC， ∴∠APD＝∠FAP， 由折叠得∠APD＝∠APF， ∴∠FAP＝∠APF， ∴FA＝FP， 矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3， ∴DC＝AB＝4， ∵点P是DC的中点， ∴DP＝CP＝2， ∵将△ADP沿直线AP折叠得到△AD′P， ∴AD'＝AD＝3，PD'＝PD＝2，∠D＝∠AD'P＝∠AD'F＝90°， 设FA＝x，则FP＝x， ∴FD'＝x﹣2， 在Rt△AD′F中，AF2＝D'F2+D'A2， ∴x2＝（x﹣2）2+32， 解得，即； 故答案为：AF＝PF，； ②∵将△ADP沿直线AP折叠得到△AD′P， ∴AD'＝AD＝3，PD'＝PD， ∴△PCD'的周长＝CP+PD'+CD'＝CD+CD'＝4+CD'， 连接AC， ∵AD'+D'C＞AC， ∴当点D恰好位于对角线AC上时，CD'+AD'最小， 在Rt△ABC中，AB＝4，DC＝3， ∴， ∴CD'的最小值＝AC﹣AD'＝5﹣3＝2， ∴△PCD'周长的最小值＝4+CD'＝4+2＝6． 【点评】本题是几何变换综合题，考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，全等三角形的性质和判定等知识，掌握矩形的性质和全等三角形的性质和判定是解本题的关键． 22．（12分）综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点．把△AOB沿过点B的直线折叠，使点A落在y轴上的点E处，折痕交x轴于点C．直线CE与直线AB相交于点D． （1）求BE的长： （2）求直线CE的解析式： （3）在x轴上存在点P，当BP+DP的值最小时，点P的坐标为 　　； （4）在x轴上方的平面内存在一点M，平面内存在一点N，使以A、B、M、N为顶点的四边形是正方形，请直接写出点M的坐标． 【分析】（1）求出OA＝8，OB＝6，由勾股定理求出AB＝10，由折叠的性质可得出答案； （2）求出C（﹣3，0），由待定系数法可得出答案； （3）求出D（﹣，），如图，取点B关于x轴的对称点B'，连接B′D交x轴于一点P，求出直线DB'的解析式，则可得出答案； （4）分三种情况，由正方形的性质及勾股定理可得出答案． 【解答】解：（1）当x＝0时，y＝6， ∴B （0，4）， 当y＝0时，x+6＝0， ∴x＝﹣8， ∴A（﹣8，0）， ∴OA＝8，OB＝6， ∴AB＝＝＝10， ∵把△AOB沿过点B的直线折叠，使点A落在y轴上的点E处， ∴BE＝AB＝10； （2）依题意，OE＝BE﹣OB＝10﹣6＝4， ∴E（0，﹣4）， 由（1）知△ABC≌△EBC， ∴AC＝CE， 设C（t，0），则AC2＝（t+8）2，CE2＝t2+16， ∴（t+8）2＝t2+16， 解得t＝﹣3， ∴C（﹣3，0）， 设直线CE的解析式为y＝kx+b（k≠0）， 把C（﹣3，0）和 E（0，﹣4）代入y＝kx+b（k≠0）， ∴，解得 ， ∴直线CE的解析式为； （3）依题意，， 解得， 把 代入y＝﹣，得， ∴D（﹣，）， 如图，取点B关于x轴的对称点B'，连接B′D交x轴于一点P， 该点P是满足BP+DP的值是最小值， 则BP+DP≥DB'， ∵B（0，6）， ∴B'（0，﹣6）， ∵D（﹣，）， ∴设直线DB'的解析式为y＝k1x+b1（k≠0）， 把 B'（0，﹣6）和 代入 y＝k1x+b1， 得出 ，解得 ， 直线BD的解析式为， 令 y＝0，则， ∴， ∴； 故答案为：； （4）设点M（m，n）， ∵点M在x轴上方， ∴yM＝n＞0， 当AB为对角线时，则△ABM是等腰直角三角形， ∴∠AMB＝90°， ∴AM＝BM， ∴AM2+BM2＝AB2， 把AM2＝（m+8）2+n2 BM2＝m2+（n﹣6）2，AB2＝10代入AM2+BM2＝AB2， 整理 ， 解得 n1＝7 n2＝﹣1 （舍去）， ∴， ∴M（﹣7，7）． 当AM为对角线时，则△ABM是等腰直角三角形， ∴∠ABM＝90°， ∴AB＝BM， ∴AB2+BM2＝AM2， 把AM2＝（m+8）2+n2，BM2＝m2+（n﹣6）2，AB2＝10 代入AB2+BM2＝AM2， 整理得， 解得 n1＝14，n2＝﹣2 （舍去）， ∴， ∴M（﹣6，14）， 当AN为对角线时，则△ABM是等腰直角三角形． ∴∠MAB＝90°， ∴AB＝AM， ∴AB2+AM2＝BM2， 把AM2＝（m+8）2+n2，BM2＝m2+（n﹣6）2，AB2＝10 代入AB2+AM2＝BM2， 整理得， 解得 n1＝8，n2＝﹣8 （舍去）， ∴∴， M（﹣14，8）． 综上所述，点M的坐标为 （﹣7，7），（﹣6，14），（﹣14，8）． 【点评】本题是一次函数的综合题，考查了求一次函数关系式，正方形的判定和性质，勾股定理，折叠的性质，轴对称性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握以上知识． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/8/10 18:28:20；用户：初中数学14；邮箱：tlshiyan017@xyh.com；学号：27405248 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$