精打细算（教案）-2024-2025学年五年级上册数学北师大版

教学设计 第一部分： 课程基本信息 学科 小学数学 年级 五年级 学期 秋季 课题 精打细算 教科书 书 名：义务教育教科书数学教材 出版社：北京师范大学出版社 第二部分：单元教学设计 单元主题 小数除法——剩之愈小 割之弥细 1.单元内容分析 理解课标：课程标准是设计和组织教学的基本依据，首先要准确理解标准的理念、目标，以及与本单元内容相关的要求。 1.“小数除法”是 “数与运算”主题的核心内容 《义务教育数学课程标准（2022年版）》指出，“数与运算”主题是小学阶段“数与代数”领域的重要学习内容之一，包括整数、小数和分数的认识及其四则运算。小数除法单元是“数与运算”主题的核心内容，是学生学习小数四则运算的最后阶段，也是对小数意义的运用和再认识。小数除法是培养学生数感、推理意识和运算能力的重要载体。 我们从运算对象、运算意义、算理与算法、实际应用四个维度，对小学阶段“数与运算”进行了梳理（如下图）。其中“运算对象”按整数、分数、小数的顺序排列，小数是特殊的分数，小数的表达是十进制计数法的延伸。 以计数单位是否为十进制为标准，划分为“整数、小数的运算”和“分数的运算”，旨在系统地感受计数单位在运算中的作用。小数除法作为“数与运算”的核心内容，其本质是计数单位的细分，体现数与运算的一致性。 2.小数除法单元的大观念 小数除法作为“数与运算”主题的核心内容，体现数与运算的学科本质。数是数量的抽象，小数作为特殊的分数本质上表示小于1的数，表示十分之一的十分位（0.1），表示百分之一的百分位（0.01）的小数数位，是整数数位的拓展，小数与整数的表达本质相通，都是在表达计数单位及其个数，如0.62是由6个0.1和2个0.01组成，而3.62则看作是整数3和小数0.62的和。小数运算的算理与整数运算具有一致性，都是计数单位的“累加”，运算律保证其运算的合理性。计数单位、运算律可以作为数的运算的大观念，也是小数除法的大观念。通过大观念的建立逐步引导儿童从非本质的形式走向数学本质的理解，体会数概念的一致性、数运算的一致性，沟通数概念与数运算的关联。 ①计数单位及其个数的“累加” 计数单位是数的表达所用的更一般的观念。位值制在自然数和小数的表达中使用,在分数表达中行不通。分数表达的基本方式是分数单位。一个分数由 “数字＋分数单位”构成。整数、小数、分数都可以用“数字+计数单位”来表示。小数除法的本质是计数单位的不断细分，并用小数精准的表达出来。 ②基于运算意义和运算律的算理的一致性。 运算律是进行运算的依据和基本法则，是理解算理不可缺少的，也是理解数量关系的基础。运算律是“一切初等运算的依据”，可以把整数、小数、分数、代数式等等的运算贯通起来，是进行加减乘除四则运算的基本法则，是理解运算算理的基本依据。 3.小数除法体现的核心素养 “小数除法”是数学学科中“数与运算”主题中核心内容之一，数的运算体现的核心素养具体表现主要是运算能力和推理意识，重点在于学生对算理的理解。在运算教学中也有助于培养学生的逻辑推理能力，特别是演绎推理能力及数感。 运算能力主要是指根据法则和运算律进行正确运算的能力。能够明晰运算的对象和意义，理解算法与算理之间的关系；能够理解运算的问题，选择合理简洁的运算策略解决问题；能够通过运算促进数学推理能力的发展。运算能力有助于形成规范化思考问题的品质，养成一丝不苟、严谨求实的科学态度。 4.小数除法单元教材分析 首先，纵向梳理教材，把握来龙去脉。小数除法单元离不开小数概念和除法概念。从小数角度看，本单元的源头在小数的初步认识，进而到小数的意义，再到大小比较，最后进入运算阶段，即：小数加减法、小数乘法都是学习小数除法的重要基础，也体现了学生对小数概念认识上的不断丰富，小数除法是对小数意义的再理解；从除法角度看，本单元立足于三大基石：除法意义——对运算意义的再认识；除法性质——对运算性质的再感悟；计数单位细分——小数除法是在整数除法的基础上，对于余数继续分下去，也就是计数单位的不断细分。 其次，横向的梳理，凸显核心本质。我们对比了北师版、人教版、苏教版等版本的教材，小数除法单元都包括小数除以整数、整数除以整数、小数除以小数、整数除以小数的内容。教材编写都大致遵循以下四个环节：解决真实问题引入——借助实际量进行单位换算——抽象竖式算法——提炼算法。从表现形式上看，各版本的教材在前面的小数教学中均伴有单位正方形、数线等直观模型。在新加坡的教材中，我们看到了位值板（从一年级整数学习开始贯穿常用）；在我国台湾地区教材（翰林出版）中，使用了百格板、千格块这样的体积模型，北师版教材则使用的是单位正方形这样的面积模型。 2.单元教学目标（含重、难点） 单元教学目标： 1.体会小数除法意义，激发运算需求，沟通实物原型、直观模型与竖式之间的联系，探寻小数除法的通法，掌握标准算法。 2.探索小数除法算理，体会计数单位细分，感悟计数单位作用，理解小数、循环小数意义。 3.增强交流、合作、质疑等能力，激发自主研究问题的热情。 教学重点：沟通具体情境、直观模型与竖式之间的联系，探寻小数除法的算理，掌握算法。 教学难点：感受计数单位的细分必要性和方法，理解小数除法的算理。 3.单元整体教学思路（可附教学结构图） 第三部分：课时教学设计 课 题 精打细算 1.内容分析 “小数除法”是小学阶段十进制计数单位运算的收尾。“整数除以整数”“小数除以整数”的小数除法体现了小数除法是整数除法的自然延续，是对余数能否细分、如何细分的再讨论，体现出小数作为运算的结果是在运算中自然产生的，丰富了小数的现实背景。因此，“整数除以整数”的小数除法是“小数除法”主题的关键内容，用“整数除以整数”推开“小数除法”的大门，体会计数单位的不断细分，探寻小数除法的通法，凸显数与运算的联系。 小数除法包括小数除以整数、整数除以整数、小数除以小数、整数除以小数的内容。其中整数除以整数的小数除法（如21÷4）是单元的关键内容。为什么将整数除以整数的小数除法作为单元的关键内容呢？ 首先，小数除法是整数除法的自然延续。有余数除法（21÷4=24……1）作为学生学习小数除法的“前概念”，对接余下的1能不能分？该怎么分？能引起学生探索小数除法新问题的认知冲突，能激发每一名学生思维的深入，而产生继续分的需求，这是对计数单位不断细分的承接，体现了数意义、数运算的一致性。 其次，将整数除以整数的小数除法作为单元关键内容，它建立了计数单位不断细分的承重墙，打通了整数除法与小数除法的联系，打通了小数意义与小数除法的联系。而单元后续的学习内容除数是小数的除法，都可以依据运算律同步转化为除数是整数的小数除法，将单位不断细分实现从算理的理解到算法的提炼，因此用整数除以整数的小数除法推开小数除法的大门，承载着奠基与打通的意义与价值。 2.学习者分析 【主题】除数是整数的小数除法 学生基本情况：五年级两个班由同一名教师执教，学生学习水平相当。 调研方法：问卷法、观察法、访谈法 为了更好地发现学生的思维“结点”，对比直观模型的价值和有效性，我们设计了两道题目对两个平行班分别进行前测调研。 调研题目 调研意图 无 无 现 直 实 观 背 模 景 型 A班：11.5÷5等于多少？请想办法解决，尽可能详细地记录下你的思考过程。（注明：不提供模型学具） 1. 学生的思维搁浅在哪里？ 1. 学生是否有主动寻求模型帮助的意识，他们会想到哪些模型。 有 有 现 直 实 观 背 模 景 型 B班：买5袋奶一共花11.5元，每袋奶多少元？请利用学具研究，并尽可能详细地记录下你的思考过程。（注明：提供模型） 1. 学生思维又会搁浅在哪里？ 1. 直观模型的价值和有效性是什么？ 在问卷调研过程中，每位教师负责观察4—6名学生在作答时的行为表现和思维表现，问卷完成后对学生进行追访。 数据分析： ①学生的思维难点在哪里？ 从“不知道”到“我会做”，学生在从整数除法向小数除法迈进的过程中，思维往往会在“可否继续分”和“小数点怎么办”这两个问题上搁浅。 “可否继续分”其实就是数系扩充引发的关于“余数”的重新讨论，“小数点怎么办”其实就是小数的计数单位如何转换的问题。此二者比较，前者是基础，只有学生认可了“分”，才能进一步讨论怎么“点”。因此，说明学生的思维搁浅在了对小数概念和除法意义的深入理解上，教师在教学设计中要给予学生深度思考的机会。 ②“我会做”就一定“懂”吗？ 先来看A班的统计图，访谈中A班“我会做”的学生比例大幅下降，说明“会做”不代表“能懂”，学生的“会做”，尤其是竖式写法往往出于对整数除法的迁移模仿。这一点在后续访谈中也得到了印证。 再看B班的统计图，“我会做”的学生比例也有所下降，但没有A班那么大的落差，说明学具的提供对于学生理解和解释算理是很有帮助的，但这不代表所有学生都能够利用学具独立探索出小数除法理与法的全部内涵，相当一部分的学生还是需要教师点拨和同伴启发的。 所以，此岸与彼岸之间，绝大多数学生既没有乖乖地等在此岸，也没有安全的着陆彼岸，他们中的大多数都滞留在“除法意义扩充”和“小数位值转换”这两座孤岛上。因此，实现学生从“会做”到“能懂”，少不了直观模型的支撑，少不了教师和伙伴深度的碰撞与交流。 1. 学生真的思考过“还能分么”？ 基于此，我们继续深挖“还能分么”这个问题。同样是平均分成5份，将被除数11.5换做12之后我们得到了指向性不同的答案。对于11.5除以5，把10平均分成5份之后，学生思考的是怎么把剩下1.5平均分。本身作为小数的1.5并没有让学生大范围的产生能不能分下去的疑问，更多的学生认同能够继续分下去，计算失败的原因是没有找到正确的数学表达。而12除以5带给学生思维上的挑战远远大于之前，认为剩下的整数2不能再分的学生百分比达到32.5%，几乎是之前的3倍。从问卷中“还能分吗”的数据分析可以看出，学生的表达反映了其思维上的停滞。看来脱离了11.5的顺势思维，对两个整数相除学生并没有继续分的需求，那是不是说11.5的“.5”掩盖了学生细分单位的过程呢？基于这样的学情，教师在教学设计要体现这个环节，引发学生的深度思考。将小数除以整数这节起始课调整为整数除以整数、而商是小数的除法，脱离了被除数是小数的顺势思维，两个整数相除产生了余数，学生就要思考：这个余数怎么处理？能不能分？怎么分？在真实的情境中，学生要想办法，从无意识的顺应到有意识的创造，在这个过程中，激发了学生单位细分的需求，进而打通了有余数的整数除法到小数除法的隔断墙，体现了整数除法与小数除法运算的一致性，凸显了单位无限细分的本质。 【我们的思考】 通过以上学习内容与学习者分析，我们对小数除法的核心本质有了如下思考： ①从运算对象——小数意义的角度看：小数既是特殊的十进分数，同时在数的表示上又与自然数相同。 ②从运算意义——除法意义的角度看：小数除法同整数除法的运算意义相同。③从算理与法则——运算律的角度看：商不变的规律作为转化的保障，将除 数是小数的除法转化为除数是整数的小数除法，其本质都是计数单位的同步转换。 因此，可以从除数是整数的小数除法入手，在探索发现中理解小数除法的意义，体会计数单位的不断细分，进而发展运算能力。 3.教学目标 （1） 核心素养导向的课时教学目标 1.体会小数除法的意义，探寻整数除以整数的小数除法算理，体会计数单位细分，感悟计数单位的作用，发展运算能力及数感。 2.掌握除数是整数的小数除法的竖式标准算法，能解决一些简单的实际问题，形成推理意识。 3.体会小数除法在日常生活中的应用，感受数学与生活的联系，学会合作交流，大胆表达，培养问题意识。 4.教学重难点 教学重点：沟通实物原型、直观模型与竖式之间的联系，探寻小数除法的通法，掌握标准算法。 教学难点：感受计数单位的不断细分，理解小数除法的算理。 5.教学过程 教学过程： 环节一：真实情境，引出挑战任务 笑笑和妈妈去超市买酸奶，甲超市和乙超市都正在搞促销： 师：哪家超市的酸奶更便宜呢？ 学生聚焦需要比较“每瓶酸奶多少钱？” 预设1：甲超市4瓶酸奶21元，每瓶酸奶5元多一些。乙超市5瓶酸奶26.4元，每瓶酸奶也是5元多一些。 预设2：需要准确的算算两个超市每瓶酸奶到底多少钱？ 【设计意图】：比较甲乙超市哪家的酸奶更便宜？在信息的筛选、提取过程中，聚焦问题要比较每瓶酸奶的单价是多少，让学生在沉浸式体验中理解了除法的意义即平均分，学生产生了“分”的需求。 环节二：开放性活动，产生细分需求 学生提出问题后，学生自主开始尝试解决“甲超市每瓶酸奶多少元？” 大部分学生都写出了这样的算式： 21÷4=5（元）……1（元） 一名同学写到了黑板上 师：甲超市每瓶酸奶多少钱？ 生1：5元。 生2：比5元多一些。 生3：不到6元，5元到6元中间。 小结：钱数既不是整5元，也不是整6元，而是在它们之间。我们曾经学习的有余数除法到这儿就结束了，今天我们遇到了新问题。问题在哪儿呢？ 预设1：就是比5元多一些。5元余1元到底是多少元？ 预设2：这个数不准确。就是余下1元，没法分。 师提炼问题：要想求得每瓶酸奶到底多少钱？余下的1元还需要分吗？怎么分？这就是这节课我们要研究的新问题。你们有办法解决嘛？ （2）学生独立思考，来看看大家不同的解决方法吧 生1：我是这样想的：1元＝100分，1004=25（分），结果是2角5分。 师：他这样解决问题，将100分分给4个人，每个人25分。 可是，我有一个问题，你怎么想到的？你为什么要把1元换成100分？ 生1：1元不能直接分成4份，我就把1元变成100分，100分就可以再继续分了。 生2：因为1元＝10角，102（角） 师：她又遇到麻烦了，余了2角走不通了，怎么办？ 生3：1元钱不够分了，就换成10角，继续分，每人2角还剩2角，2角又不够分了，继续把2角换成20分，再继续分，每人5分。结果是2角5分。 【设计意图】：在用不同形式表示结果的过程中，学生产生了进一步“分”的需求，感悟“分”的过程，理解“分”的道理，在不断深入探究的过程中，拉长学生理解的过程，引发思维逐步深入，感悟到除法就是不断“平均分”。 环节三：一般化表达，深化小数意义 得出“每瓶酸奶5元2角5分”的结论后，孩子们并没有就此而止，继续提出了新问题“这样换来换去太麻烦了，能不能有更简单的办法呢？ 老师提议：（将分的过程记录下来）能不能把这个过程写在一个算式里呢？”学生有了这样的记录： 学生讨论这一写法： 生发现：我感觉每瓶酸奶是是525元。 学生回应：“我算的结果不是525元，就是5元2角5分啊。” 学生不同意：我们大家却看不出来是5元2角5分呀。 老师追问：是啊，数学是大家共同交流的语言，怎么让大家一目了然呢？ 预设1：在“525”中间点上一个圆圆的“小数点”。 师：谁来了？ 生：（齐声说）小数点！ 生：我觉得你的算式可以简化一下（生主动演示）。 “除法竖式里的单位能不能去掉？”写出了这样的竖式： 去掉单位后，“1”变成了“10”，有了10倍的误差。如何解决这个误差呢？又是“小数点”！点上“小数点”，就是把1个“1”细化为10个“0.1”。小数点的自然出现，又一次凸现了其定位的重要作用。 生：1元不够分了，就变成10角了。 生：因为余的1要换成10个0.1。 师：谁在起作用？ 生：（齐声说）小数点！ 师：你们想对小数点说点什么嘛？ 生：小数点真神奇啊，就像定海神针！ 老师小结：得到甲超市每瓶酸奶5.25元。 【设计意图】：学生从寻求运算的结果到表达运算的过程，体会小数点在这里无可替代的价值，深刻地理解了小数除法的算理，运算能力也就在一个个对问题的追问中得到了提升。 巩固练习，加深理解：乙超市每瓶酸奶多少元？ 通过计算、比较出：甲超市每瓶酸奶5.25元，甲超市每瓶酸奶5.28元， 所以，甲超市的酸奶便宜。 环节四：逐步抽象，从计量到计数 老师在黑板上写了两个算式： 计算并讲故事，（1）51＝？（2）5.7=? 预设1：用51元买2本同样的书，每本多少钱？ 预设2：51个苹果平均分给两个班，每个班多少个？ 预设3：把51米的绳子分成2段，每段多少米？ …… 师：（将黑板上的书、苹果、元角分、绳子擦掉）书、苹果、元角分、绳子都走了，51能分吗？51是什么？ 生：（齐声说）51个1。 师：谁读懂了这个竖式，解释一下？ 生4：把51平均分成两份，每份25个1，还剩1个“1”，1个1平均分成2份，不够分，把1个1变成10个“0.1”，每份分5个0.1。 师追问：“1”是什么？ 生：计数单位。 师：共同看5.7，5是5个“1”，分4份，1份是多少？还剩1个“1”，不够分了，变成10个“0.1”加上7个“0.1”，17个0.1分4份，一份是4个0.1。为什么在这里点小数点？ 预设1：因为1份是4个0.1，不点小数点，商4就不能表示4个0.1了。 预设2：小数点起定位的作用。 【设计意图】：从给算式讲故事，到讲竖式的每一步意思，不断深化数学的本质——“计数单位”的细分。从个别具体到个别抽象，再从一般具体上升到一般抽象，以计量单位的转化支撑计数单位的细分，逐步走向小数除法的深处，把整数除法的经验迁移过来，做到了小数除法在整数除法中的继承与发展。 环节五：溯本求源，思维走向深入 师：关于小数除法，你们还有问题吗？ 预设1：还有余数怎么办？ 师：一直分，一直分，就好了…… 预设追问：要是分不完怎么办？ 生：会不会分到0.00还有余数呢？ 师：那就一直分、分、分 师：说说你们的收获吧。 生：这节课就在“分余数”“分、分、分，继续分”。 生：今天我发现，小数除法并不难。它和整数除法是一样的，整数除法余下的数不够除了，就换成小一点的单位继续分，道理是一样。” 【设计意图】：学生的思考从直面生活中的问题开始，在不断细分需求的指引下，逐步走向深入，学生还自发提问，带着问题走出了课堂，小数除法的本质扎根于学生的内心。 反思性教学改进 1.创设有运算需求的情境，引出挑战性任务 作为突破整数计数单位参与运算的第一次尝试和探索，把学生带入有运算需求的真情境中。“哪家超市的酸奶便宜”这一熟悉的情境，激发了学生细分的需求。“每瓶牛奶多少元？”这件平平常常的事，却被已知的21÷4 所余下的1元钱卡住了，如今老经验遇到了新问题，原本可以“有剩余”的除法，在这里已经行不通，如果不把这个余数平均分了，又解决不了问题。于是，伴随着“还能不能继续分”“究竟该怎样分”这一关键问题的产生，学生原有的生活经验和已有的除法知识积累，顺理成章地成为寻找新算法的生长点，逐步融入“必须继续分”的需求当中。 2.理解小数除法算理，深入挖掘数学本质 小数除法是整数除法的自然延续，小数点是基于等式性质的特殊标记，是运算的结果。当计算到剩余1元钱如何处理时，引发了认知冲突，而换钱的目的是把单位换小，单位的数量变多后就可以继续除了。小数除法最本质的内容是把明明没有单位的数硬要按有单位的数那样去除，明明1除不了2，为了“必须继续分”就要把“1”当成“10”，以保持运算的可持续性。所以，小数除法本质就在于如何记录把余数1放大10倍后再除产生的商，而这个记录方法就是用小数点把整数部分和小数部分隔开。小数点是每当遇到除不尽就必须除下去时的“定海神针”，对学生的影响必定是深远的。 3.亲历探索发现过程，把握运算能力内涵 《义务教育数学课程标准（2022年版）》中作为核心素养具体表现提出的运算能力，值得特别关注的是关于“理解算理、选择算法”的要求，即这个运算能力中的运算不是现成的，而是需要经由学生的发现得到。 小数除法这节课从现实中的问题到数学中的问题（21÷4），从有余数的除法到小数除法（余数必须继续分），这个从头到尾引导学生寻找问题答案的完整过程，始终聚焦于引导学生对余数的一分再分，在探索、发现的过程中呈现出课标所期待的运算能力的内涵。学生在体会单位不断细分中，呈现出对算理的本质理解，发展运算能力。 学科网（北京）股份有限公司 $$